2.5.1直线与圆的位置关系 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
1.能根据给定直线与圆的方程,判定直线与圆的位置关系.
2.利用圆的几何性质探索解决直线与圆的位置关系相关问题的方法.
3.能用直线与圆的方程解决一些简单数学问题与实际问题.
设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d= ,
由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ①　2 ②　1 ③　0
几何法 ④ dr
代数法 ⑦ Δ>0 ⑧ Δ=0 ⑨ Δ<0
直线与圆的位置关系
1.若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线;
2.若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点;
3.若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.
圆的切线
1.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. ( 　)
提示:直线与圆有公共点,它们可能相交,也可能相切,故结论不正确.
2.若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解. (　√　)
提示:若直线与圆相交,则它们必有公共点,方程组必有解,故结论正确.
3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.
(　√　)
提示:圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,方程组一定无解,故结论正确.
4.过点P和圆相切的直线有两条. ( 　)
提示:当点P在圆的外部时,有两条切线;当点P在圆上时,有一条切线;当点P在圆内时,没有切
线.因此结论错误.
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ” 。
5.设直线l:y=kx+m与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的交点为A、B,d为圆心C(a,b)到直线l的距离,
则弦长|AB|=2 . (　√　)
提示:设线段AB的中点为D,则|CD|=d,在直角三角形ACD中,|AD|2=|AC|2-|CD|2,从而|AB|=2|AD|
=2 .因此结论正确.
直线与圆的位置关系的判定
1.直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离.主要区别是直线与圆的公共点的个数.
2.直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系进行判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关
系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
已知圆x2+y2=1与直线y=kx-3k,当k分别为何值时,直线与圆的位置关系满足下列条件:
①相交;②相切;③相离.
解析 解法一(代数法):联立
消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,
则Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).
①当直线与圆相交时,Δ>0,即- ②当直线与圆相切时,Δ=0,即k=± ;
③当直线与圆相离时,Δ<0,即k<- 或k> .
解法二(几何法):圆心(0,0)到直线y=kx-3k的距离d= = .
由题意知,圆的半径r=1.
①当直线与圆相交时,d②当直线与圆相切时,d=r,即 =1,解得k=± ;
③当直线与圆相离时,d>r,即 >1,解得k<- 或k> .
圆的切线相关问题的解法
过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法
(1)若点P在圆上,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜率为- ;若
斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.
(2)若点P在圆外,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即
可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).
切线长的求法
过圆外一点P,可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的线段的长称为切线长.切线长可由勾股定理来计算.如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线,则切线长为
.

过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论
(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;
(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;
(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D·
+E· +F=0.
(1)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为 (　　)
A.1　 B.2 　 C. 　 D.3
(2)过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,则其切线长为　　　 .
解析 (1)由题意得,圆心(3,0)到直线y=x+1的距离d= =2 ,圆的半径为1,故切线长的
最小值为 = = .
(2)由题意得圆心C的坐标为(3,1).设切点为B,则△ABC为直角三角形,
又|AC|= = ,|BC|=1,
所以|AB|= = =4,所以切线长为4.
答案　(1)C　(2)4
直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题
求圆的弦长的方法
(1)交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解.
(2)弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|= |x1-x2|= .
(3)几何法:如图①,半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+ ,即弦长l=
2 .

图①
　圆的中点弦问题
(1)如讲解1中的图①,线段AB是圆C的弦,D是弦AB的中点,则在解题中可应用以下性质:
①AB⊥CD,如果斜率kAB,kCD都存在,则kAB·kCD=-1;
②设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则x0= ,y0= .
(2)解决与中点弦有关的问题,有下列三种常见方法:
①利用根与系数的关系求出中点坐标;
②设出弦的两个端点的坐标,代入圆的方程利用作差法求出斜率,此法即为点差法;
③利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直.
利用直线、圆的方程解决实际问题与平面几何问题
解决实际问题的一般步骤
(1)阅读理解,认真审题,了解问题的实际情境,把握问题的数学本质.
(2)引进数学符号,具体分析问题中的数量关系,正确建立数学模型,将实际问题转化为数学
问题.
(3)利用数学方法将得到的数学问题(数学模型)予以解答,求得结果.
(4)转化为具体问题,做出解答.
　用坐标法解决平面几何问题的思维过程

已知某隧道截面是一圆拱形,路面宽为4 米,高为4米.车辆只能在道路中心线一侧行驶,一
辆宽为2.5米、高为3.5米的货车能否驶入这个隧道 请说明理由.(参考数据: ≈3.74)
解析 该货车不能驶入这个隧道.理由如下:
建立如图所示的平面直角坐标系.

A(-2 ,0),B(0,4),设圆心M(0,m),由|MA|=|MB|,得m=- ,所以|MA|=|MB|= ,所以圆的方程为x2+
= ,所以当x=2.5时,y= - ≈3.74-0.5=3.24<3.5,即宽为2.5米、高为3.5米的货车
不能驶入这个隧道.
如何解决与圆有关的最大(小)值问题
利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法
(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关
知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有:
①关于x、y的一次分式形式常转化为直线的斜率;
②关于x、y的一次式常转化为直线的截距;
③关于x、y的二次式常转化为两点间的距离等.
(2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决.
(3)利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目
标函数,利用三角函数知识求最大(小)值.