2.2.1直线的点斜式方程 同步练习（Word版含解析）

2.2　直线的方程
2.2.1　直线的点斜式方程
基础过关练
题组一　直线的点斜式方程
1.已知直线的点斜式方程为y-3=(x-4),则这条直线经过的定点、倾斜角分别是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(4,3),60° B.(-3,-4),60°
C.(4,3),30° D.(-4,-3),60°
2.若原点在直线l上的射影是P(-2,1),则直线l的方程为(　　)
A.x+2y=0 B.y-1=-2(x+2)
C.y=2x+5 D.y=2x+3
3.若直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到直线l,则直线l的点斜式方程为　　　　　　.
4.已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求:
(1)直线AB的方程;
(2)直线AC和BC的方程.
题组二　直线的斜截式方程
5.已知直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为(　　)
A.y=x+2 B.y=-x+2
C.y=-x-2 D.y=x-2
6.若k<0,且b<0,则直线y=kx+b必不过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.直线y=ax+(a≠0)的图形可能是(　　)
8.直线y-b=2(x-a)在y轴上的截距为(　　)
A.a+b B.2a-b
C.b-2a D.|2a-b|
9.已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,求直线l的斜截式方程.
题组三　直线的点斜式、斜截式方程的应用
10.已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的斜截式方程为　.
11.已知直线l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+3,若l1∥l2,则实数a=　　　　.
12.求满足下列条件的实数m的值.
(1)直线l1:y=-x+1与直线l2:y=(m2-2)x+2m平行;
(2)直线l1:y=-2x+3与直线l2:y=(2m-1)x-5垂直.
13.已知直线l:y=kx+2k+1.
(1)求证:对于任意的实数k,直线l恒过一个定点;
(2)当-3能力提升练
题组一　直线的点斜式方程
1.(2020辽宁大连高二上期中,)直线y=k(x-1)(k∈R)是(　　)
A.过点(1,0)的一切直线
B.过点(-1,0)的一切直线
C.过点(1,0)且除x轴外的一切直线
D.过点(1,0)且除直线x=1外的一切直线
2.()已知直线l过点P(2,1),且直线l的倾斜角为直线y=x+的倾斜角的2倍,则直线l的点斜式方程为　　　　　　.
3.()已知直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程.
题组二　直线的斜截式方程
4.()直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图形可能是(　　)
5.()若y=a|x|与y=x+a(a>0)的图形有两个交点,则a的取值范围是(　　)
A.a>1 B.0C. D.01
6.(2020山西大同一中高二上期中,)在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线方程是　　　　　　　　.
7.(2020河南郑州一中高一月考,)与直线y=3x+4在y轴上有相同的截距且和它关于y轴对称的直线方程为　　　　　　.
8.(2020黑龙江哈师大附中高二上期中,)在平面直角坐标系中,已知点A(8,-6),B(2,2).
(1)求线段AB的中垂线方程;
(2)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线l的方程;
(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l,若反射光线过点A,求反射光线所在的直线的方程.
题组三　直线的点斜式、斜截式方程的应用
9.(2020黑龙江哈尔滨六中高二阶段测试,)过点P(3,4),且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　　　　　　　　.
10.()如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为　　　　.
11.()设a∈R,如果直线l1:y=-x+与直线l2:y=-x-平行,那么a=　　　　.
12.(2020广东广州二中高二上期中,)已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R).
(1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
答案全解全析
基础过关练
1.A　由直线的点斜式方程的特点可知,直线经过定点(4,3),斜率为,即倾斜角为60°.
2.C　由题意得,直线OP的斜率为-,且OP⊥l,∴直线l的斜率为2.
又直线l经过点P(-2,1),
∴直线的点斜式方程为y-1=2(x+2),化简得y=2x+5.故选C.
3.答案　y-4=-(x-3)
解析　∵直线y=x+1的斜率为1,∴倾斜角为45°.将其逆时针旋转90°后得到直线l,则直线l的倾斜角为135°,∴直线l的斜率为tan 135°=-1.又点P(3,4)在直线l上,∴直线l的点斜式方程为y-4=-(x-3).
4.解析　(1)因为A(1,1),B(5,1),所以直线AB平行于x轴,所以直线AB的方程为y=1.
(2)由题意知,直线AC的倾斜角为∠A=45°,所以kAC=tan 45°=1.
又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=1×(x-1),即y=x.
同理可知,直线BC的倾斜角为180°-∠B=135°,所以kBC=tan 135°=-1.
又直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),即y=-x+6.
5.D　直线的倾斜角为60°,则其斜率为,利用斜截式得直线的方程为y=x-2.
6.A　由k<0,b<0可知直线过第二、三、四象限.故选A.
7.B　直线y=ax+(a≠0)的斜率是a,在y轴上的截距是.当a>0时,直线在y轴上的截距>0,此时直线y=ax+过第一、二、三象限;当a<0时,直线在y轴上的截距<0,此时直线y=ax+过第二、三、四象限,只有选项B符合.
8.C　由y-b=2(x-a),得y=2x-2a+b,故直线在y轴上的截距为b-2a.
9.解析　由题意知直线3x-2y=6,即y=x-3的斜率为,因此直线l的斜率为,故设直线l的方程为y=x+b(b≠0),
所以l在x轴上的截距为-b,在y轴上的截距为b,所以-b-b=1,即b=-,
所以直线l的斜截式方程为y=x-.
10.答案　y=x+1或y=x-1
解析　设直线l的方程为y=x+b(b≠0).当x=0时,y=b;当y=0时,x=-6b.由题意可得·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1.故直线l的方程为y=x+1或y=x-1.
11.答案　-1
解析　因为l1∥l2,所以a2+1=2,即a2=1,所以a=±1.又l1与l2不能重合,所以3a≠3,即a≠1,故a=-1.
12.解析　(1)∵l1∥l2,∴两直线斜率相等且在y轴上的截距不相等.
∴m2-2=-1且2m≠1,∴m=±1.
(2)∵l1⊥l2,∴(2m-1)×(-2)=-1,∴m=.
13.解析　(1)证明:由y=kx+2k+1,得y-1=k·(x+2),从而直线l恒过定点(-2,1).
(2)设函数f(x)=kx+2k+1,
由题意可得
即解得-≤k≤1.
所以实数k的取值范围是.
能力提升练
1.D　直线y=k(x-1)(k∈R),即y-0=k(x-1)(k∈R)表示过点(1,0),且斜率为k(k∈R)的直线,因此直线是过点(1,0)且除直线x=1外的一切直线,故选D.
2.答案　y-1=(x-2)
解析　由y=x+,得斜率为,设直线y=x+的倾斜角为α,直线l的倾斜角为β,斜率为k,则tan α=,k=tan β=tan 2α==.
又直线l过点P(2,1),所以直线l的点斜式方程为y-1=(x-2).
3.解析　当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经检验符合题目要求.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx-2k+2.当k=0时,显然不符合题意;当k≠0时,令y=0,得x=.由三角形的面积为2,得××2=2,解得k=,
故直线l的方程为y-2=(x-2).
综上,直线l的方程为x=2或y-2=(x-2).
4.D　对于A选项,由l1得a>0,b<0,由l2得a>0,b>0,矛盾;对于B选项,由l1得a<0,b>0,由l2得a>0,b>0,矛盾;对于C选项,由l1得a>0,b<0,由l2得a<0,b>0,矛盾;对于D选项,由l1得a>0,b>0,由l2得a>0,b>0.故选D.
5.A　y=x+a(a>0)表示斜率为1,在y轴上的截距为a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于y轴对称的两条射线.根据题意画出大致图形,如图.若y=a|x|与y=x+a的图形有两个交点,且a>0,则根据图形可知a>1.故选A.
6.答案　y=x-6或y=-x-6
解析　由直线与y轴相交成30°角知,直线的倾斜角为60°或120°,从而斜率为±.
又知直线在y轴上的截距为-6,因此直线的方程为y=±x-6.
7.答案　y=-3x+4
解析　由条件知所求直线的斜率为-3,在y轴上的截距为4,所以其直线方程为y=-3x+4.
8.解析　(1)=5,=-2,
∴AB的中点坐标为(5,-2),
∵kAB==-,
∴线段AB的中垂线的斜率为,
设线段AB的中垂线方程为y=kx+b.
∵k=,AB的中点坐标为(5,-2),
∴-2=×5+b,解得b=-.
∴线段AB的中垂线方程为y=x-.
(2)设直线l的方程为y=k'x+b'.
由题意知k'=-,且直线l过点P(2,-3),
∴-3=-×2+b',解得b'=-,
∴直线l的方程为y=-x-.
(3)设B(2,2)关于直线l的对称点为B'(m,n),
则
解得
∴B',kB'A==-.
∴反射光线所在的直线方程为y+6=-(x-8),即11x+27y+74=0.
9.答案　4x-3y=0或x+y-7=0
解析　由题意知,所求直线的斜率存在,且不为0.
设所求直线方程为y-4=k(x-3).
令x=0,得y=-3k+4;
令y=0,得x=-+3.
依题意得-3k+4=-+3,
化简,得3k2-k-4=0,解得k=或k=-1.
∴直线方程为y-4=(x-3)或y-4=-(x-3),
即4x-3y=0或x+y-7=0.
10.答案　x-y+1=0
解析　依题意知,直线l是线段AB的垂直平分线.
又线段AB的中点坐标为,斜率kAB==-1,则直线l的斜率kl=1,
从而直线l的方程为y-=1×,化简,得x-y+1=0.
11.答案　-2或1
解析　由l1∥l2得-=-且≠-,解得a=-2或a=1.经检验,均满足题意.
12.解析　(1)直线l的方程可化为y=kx+2+4k,则直线在y轴上的截距为4k+2,
要使直线l不经过第四象限,需满足解得k≥0,故k的取值范围是k≥0.
(2)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为4k+2,且k>0,
所以A,B(0,4k+2),
故S=|OA|×|OB|==2≥2×(4+4)=16,
当且仅当4k=,即k=时取等号,故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=x+4.