2.2.2直线的两点式方程 同步练习（Word版含解析）

2.2.2　直线的两点式方程
基础过关练
题组一　直线的两点式方程
1.已知直线l的两点式方程为 = ,则l的斜率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B. C.- D.
2.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为(　　)
A.x=2 B.y=2 C.x=3 D.x=6
3.若直线l过点(-1,-1)和(2,5),且点(1 009,b)在直线l上,则b的值为(　　)
A.2 019 B.2 018 C.2 017 D.2 016
4.已知点A(3,2),B(-1,4),则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为　　　　　　　　　.
5.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程;
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
题组二　直线的截距式方程
6.(2020吉林东北师大附属中学高二上阶段测试)直线-+=-1在x轴,y轴上的截距分别为(　　)
A.2,3 B.-2,3 C.-2,-3 D.2,-3
7.在x轴和y轴上的截距分别为-4和5的直线方程是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
8.过点(-2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是(　　)
A.+y=1 B.+=1
C.+=1 D.+y=1或+=1
9.两条直线-=1与-=1的图形可能是(　　)
10.过点P(1,4)且在x轴,y轴上的截距的绝对值相等的直线共有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
11.求过点A(5,2),且在y轴上的截距是x轴上的截距的2倍的直线l的方程.
题组三　直线的两点式方程与截距式方程的应用
12.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A,B两点,若P为AB的中点,则直线l的截距式方程是　　　　　　　.
13.求过点Q(5,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线l的方程.
能力提升练
题组一　直线的两点式方程
1.()过点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是　(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B.- C. D.2
2.()已知三角形的三个顶点是A(4,0),B(6,-7),C(0,-3).
(1)求BC边上的中线所在直线的方程;
(2)求BC边上的高所在直线的方程.
题组二　直线的截距式方程
3.(2019河南郑州一中高一月考,)若直线+=1过第一、三、四象限,则(　　)
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
4.()过点P(4,1)作直线l分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为　　　　　　.
5.(2020河北唐山一中高二上期中,)已知直线l过点P(2,3),根据下列条件分别求出直线l的方程:
(1)直线l的倾斜角为120°;
(2)在x轴、y轴上的截距之和等于0.
题组三　直线的两点式方程与截距式方程的应用
6.()一束光线从点A(3,2)发出,经x轴反射,通过点B(-1,6),分别求入射光线和反射光线所在直线的方程.
7.(2020黑龙江哈尔滨第三中学高二上期中,)已知P(3,2),且直线l过点P.若直线l在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.
8.(2019安徽合肥一中高一阶段检测,)过点P(1,4)作直线l,直线l与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点.
(1)若△ABO的面积为9,求直线l的方程;
(2)若△ABO的面积为S,求S的最小值,并求出此时直线l的方程.
答案全解全析
基础过关练
1.A　由题意知,直线l过点(-5,0),(3,-3),所以l的斜率为=-.
2.B　由M,N两点的坐标可知,直线MN与x轴平行,所以直线MN的方程为y=2,故选B.
3.A　由直线的两点式方程得直线l的方程为=,即y=2x+1,
将点(1 009,b)代入方程,得b=2×1 009+1,解得b=2 019.
4.答案　2x-y+1=0
解析　由题易得,AB的中点坐标为(1,3),由直线的两点式方程可得=,即2x-y+1=0.
5.解析　(1)由直线的两点式方程,得边AC所在直线的方程为=,即x-2y+8=0.
由直线的两点式方程,得边AB所在直线的方程为=,即x+y-4=0.
(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),
由直线的两点式方程,得中线BD所在直线的方程为=,即2x-y+10=0.
6.D　直线方程可化为+=1,因此,直线在x轴,y轴上的截距分别为2,-3,故选D.
7.C　由直线的截距式方程可得+=1.
8.D　因为直线过点(-2,0),所以直线在x轴上的截距为-2.又直线在两坐标轴上的截距之差为3,所以直线在y轴上的截距为1或-5,所以所求直线方程为+y=1或+=1.
9.B　直线-=1在x轴,y轴上的截距分别是m,-n,直线-=1在x轴,y轴上的截距分别是n,-m,因此四个截距中两正两负,对照选项中图形知B正确,故选B.
10.C　当直线经过原点时,在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0,符合题意;当直线不经过原点时,设直线方程为+=1,
由题意得
解得或
综上,符合题意的直线共有3条.
11.解析　①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,方程为y=x;
②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时,可设直线l在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a,则直线l的方程为+=1,
又直线l过点(5,2),∴+=1,
解得a=6,∴直线l的方程为+=1.
综上,直线l的方程为y=x或+=1.
12.答案　+=1
解析　设A(m,0),B(0,n)(m≠0,n≠0),
由P(1,3)是AB的中点可得m=2,n=6,
即A,B的坐标分别为(2,0),(0,6),
则直线l的截距式方程是+=1.
13.解析　由题意知直线不过原点,且在两坐标轴上的截距都存在,设其方程为+=1.由题意得
即此方程组无解,
或解得或
∴直线l的方程为y=x+或y=x-3.
能力提升练
1.A　由直线的两点式方程得过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为=,即2x-y+3=0.令y=0,得x=-.
2.解析　(1)设线段BC的中点为D.因为B(6,-7),C(0,-3),所以BC的中点D(3,-5),
所以BC边上的中线所在直线的方程为=,即5x-y-20=0.
(2)易得BC边所在直线的斜率kBC=-,所以BC边上的高所在直线的斜率为,
所以BC边上的高所在直线的方程为y=·(x-4),即3x-2y-12=0.
3.B　因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.
4.答案　x+2y-6=0
解析　设直线l的方程为+=1(a>0,b>0).
由P点在直线l上,得+=1,
∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5++≥5+2=9,
当且仅当=,即a=6,b=3时取“=”,
∴直线l的方程为+=1,即x+2y-6=0.
5.解析　(1)由直线l的倾斜角为120°,可得斜率k=tan 120°=-,由直线的点斜式方程可得,y-3=-(x-2),化简得直线l的方程为x+y-3-2=0.
(2)当直线l经过原点时,在x轴、y轴上的截距之和等于0,符合题意,此时直线l的方程为y=x,即3x-2y=0;
当直线l不过原点时,设直线l的方程为+=1(a≠0).
因为P(2,3)在直线l上,所以+=1,解得a=-1,则直线l的方程为x-y+1=0.
综上所述,直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.
6.解析　易知点A(3,2)关于x轴的对称点为A'(3,-2).由已知可得反射光线所在直线为直线A'B,其方程为=,即2x+y-4=0.
点B(-1,6)关于x轴的对称点为B'(-1,-6).由已知可得入射光线所在直线为直线AB',其方程为=,即2x-y-4=0.
故入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0,反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0.
7.解析　当l与坐标轴平行或过原点时,不符合题意,所以可设l的方程为+=1(a≠0,b≠0),则 或则直线l的方程为+=1或+=1,整理得2x+y-8=0或x+3y-9=0.
8.解析　设A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0,则由直线的截距式方程得直线l的方程为+=1.
将P(1,4)代入直线l的方程,得+=1.(*)
(1)依题意得,ab=9,
即ab=18,
由(*)式得,b+4a=ab=18,从而b=18-4a,
∴a(18-4a)=18,整理得,2a2-9a+9=0,
解得a1=3,a2=,因此直线l的方程为+=1或+=1,整理得,2x+y-6=0或8x+y-12=0.
(2)S=ab=ab=×≥×=×(8+8)=8,
当且仅当=,即a=2,b=8时取等号,
因此直线l的方程为+=1,即4x+y-8=0.