2.4.2圆的一般方程 同步练习（Word版含解析）

2.4.2　圆的一般方程
基础过关练
题组一　圆的一般方程
1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.8π B.4π C.2π D.π
2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是(　　)
A.m< B.m> C.m<1 D.m>1
3.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为(　　)
A.-2或2 B.或 C.2或0 D.-2或0
4.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是(　　)
A.一个圆　　　B.只有当a=0时,才能表示一个圆
C.一个点　　　D.a,b不全为0时,才能表示一个圆
5.下列方程分别表示什么图形 若表示圆,则写出圆心和半径.
(1)x2+y2+5x-3y+1=0;(2)x2+y2+4x+4=0;
(3)x2+y2+x+2=0;(4)x2+y2+2by=0(b≠0).
题组二　圆的方程的求法
6.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是(　　)
A.(x+3)2+(y-2)2= B.(x-3)2+(y+2)2=
C.(x+3)2+(y-2)2=2 D.(x-3)2+(y+2)2=2
7.与圆C:x2+y2-2x+4y-1=0有相同的圆心,且半径是圆C的半径的一半的圆的方程为(　　)
A.x2+y2-2x+4y+2=0 B.x2+y2-2x+4y+1=0
C.x2+y2-2x+4y-=0 D.x2+y2-2x+4y+=0
8.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,则P的轨迹为(　　)
A.直线 B.线段 C.圆 D.半圆
9.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则点P的轨迹方程是　　　　　　.
10.(2020四川绵阳中学高二上期末)已知△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1).
(1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标;
(2)求△ABC的外接圆的方程.
题组三　圆的方程的应用
11.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(　　)
A.x+y-3=0 B.x-y-3=0
C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0
12.若直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,则a=(　　)
A.9 B.-9 C.1 D.-1
13.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最小值是(　　)
A.3- B.3+ C.3- D.
14.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0上任一点A关于直线x-ay+2=0对称的点A'仍在该圆上,则a=　　　　.
15.已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为　　　　.易错
能力提升练
题组一　圆的一般方程
1.()当方程x2+y2+ax+2y+a2=0所表示的圆的面积最大时,直线y=(a-1)x+2的倾斜角为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
2.(2020河南郑州高一上期末,)已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m≠0)的圆心在直线x+y-7=0上,则该圆的面积为(　　)
A.4π B.2π C.π D.
3.(多选)()已知方程x2+y2+3ax+ay+a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为(　　)
A.-2 B.0 C.1 D.3
题组二　圆的方程的求法
4.()点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y+1)2=1
5.(2019北京丰台高一期末,)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为(　　)
A.x2+y2-7x-3y+2=0 B.x2+y2+7x-3y+2=0
C.x2+y2+7x+3y+2=0 D.x2+y2-7x+3y+2=0
6.(2020浙江温州中学高二上期中,)如图,已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求对角线AC所在直线的方程;
(2)求正方形ABCD外接圆的方程;
(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点的轨迹是什么 并求出该轨迹方程.
题组三　圆的方程的应用
7.(2019福建福田高三月考,)已知B(0,0),A(,3),C(2,0),平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
8.()已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(2,6)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为　　　　.
9.(2020湖南长沙明德中学高一期中,)如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从点A,B同时出发,在圆O上按逆时针方向运动,若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点P运动一周的过程中,·的最大值为　　　　.
10.()已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P在圆C上,求△PAB面积的最大值.
答案全解全析
基础过关练
1.C　原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2,
∴半径r=,∴圆的面积S=πr2=2π.
2.A　由二元二次方程表示圆的充要条件可知,(-1)2+12-4m>0,解得m<,故选A.
3.C　由题意得圆心为(1,2).则圆心(1,2)到直线的距离为=,解得a=0或a=2.
4.D　(2a)2+4b2=4(a2+b2),所以当a=b=0时,方程表示一个点;当a≠0或b≠0时,方程表示一个圆.
5.解析　(1)原方程配方得+=,故该方程表示以为圆心,为半径的圆.
(2)原方程配方得(x+2)2+y2=0,表示一个点(-2,0).
(3)∵原方程配方得+y2=-,无实数解,∴该方程不表示任何图形.
(4)原方程配方得x2+(y+b)2=b2(b≠0),故该方程表示圆心为(0,-b),半径为|b|的圆.
6.C　由x2+y2-2x-1=0得(x-1)2+y2=2,所以(x-1)2+y2=2的圆心O1的坐标为(1,0),半径为,故排除A,B.又易求C中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心O2的坐标为(-3,2),O1O2的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而D中圆(x-3)2+(y+2)2=2的圆心O3的坐标为(3,-2),O1O3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.
7.D　易知圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=6,所以圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为,故所求圆的圆心坐标为(1,-2),半径为,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2==,即x2+y2-2x+4y+=0.
8.C　设点P的坐标为(x,y),
∵A(-2,0),B(1,0),动点P满足|PA|=2|PB|,
∴=2,两边平方得(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],
即(x-2)2+y2=4.
∴P的轨迹为圆.故选C.
9.答案　(x-1)2+y2=2
解析　设P(x,y),易知圆(x-1)2+y2=1的圆心B(1,0),半径r=1,
则|PA|2+r2=|PB|2,∴|PB|2=2.
∴点P的轨迹是以(1,0)为圆心,为半径的圆.
∴点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.
10.解析　(1)由题意可知kED=kAB==1,又F(1,1)为AB的中点,
∴AB所在直线的方程为y-1=1·(x-1),即x-y=0.①
同理CA所在直线的方程为x-2y=0,②
联立①②,得A(0,0).
同理可得B(2,2),C(8,4).
(2)由(1)可得B(2,2),C(8,4),
设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C的坐标代入圆的方程可得
解方程组可得
∴圆的方程为x2+y2-16x+12y=0.
11.C　圆x2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.则最长弦所在直线的斜率k==2,结合选项知C正确.
12.B　因为直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,所以直线2x-5y+a=0经过该圆的圆心(2,-1),则2×2-5×(-1)+a=0,解得a=-9.故选B.
13.A　易得直线AB的方程为x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,则圆心到直线AB的距离d==,所以点C到直线AB的最小距离为-1,所以△ABC面积的最小值为×|AB|×=×2×=3-.
14.答案　
解析　根据题意得,圆心在直线x-ay+2=0上.由x2+y2+2x-4y+1=0,得(x+1)2+(y-2)2=4,所以该圆的圆心是(-1,2),将(-1,2)代入x-ay+2=0中,得-1-2a+2=0,解得a=.
15.答案　
解析　因为点A(a,2)在圆的外部,
所以
所以2易错警示　在运用圆的一般方程时,要注意隐含条件:D2+E2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.
能力提升练
1.B　方程x2+y2+ax+2y+a2=0可化为
+(y+1)2=-a2+1,
设圆的半径为r(r>0),则r2=1-a2,
∴当a=0时,r2取得最大值,从而圆的面积最大.
此时,直线方程为y=-x+2,斜率k=-1,倾斜角为,故选B.
2.A　圆的方程可化为(x-m)2+(y-2m-1)2=m2(m≠0),其圆心为(m,2m+1).
依题意得,m+2m+1-7=0,解得m=2,
∴圆的半径为2,面积为4π,故选A.
3.AB　由(3a)2+a2-4>0,得a<1,所以满足条件的只有-2与0.故选AB.
4.D　设圆上任意一点为Q(x1,y1),PQ的中点为M(x,y),则即
因为+=4,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4.
化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选D.
5.A　设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
依题意得解得
因此,所求圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0,故选A.
6.解析　(1)由两点式可知,对角线AC所在直线的方程为=,整理得x-y-2=0.
(2)设G为外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G,即(2,0),
设r为外接圆的半径,则r=|AC|,
而|AC|==4,
∴r=2.
∴外接圆方程为(x-2)2+y2=8.
(3)设点P坐标为(x0,y0),线段PN的中点M坐标为(x,y),则x=,y=,
∴x0=2x+2,y0=2y,①
∵点P为外接圆上一点,∴(x0-2)2+=8,将①代入并整理,得x2+y2=2,
∴该轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2.
7.D　由题易得,点P的轨迹为以A为圆心,1为半径的圆.如图所示,建立平面直角坐标系,取AC的中点N,
∵=,∴M为PC的中点,
∵||=1,∴||=,从而M的轨迹为以N为圆心,为半径的圆,
∴B,N,M三点共线时,BM最大.
又∵A(,3),C(2,0),∴N,则BN==3,
∴||的最大值为3+=,
∴||2的最大值是,故选D.
8.答案　20
解析　设圆心为P,圆的方程x2+y2-6x-8y=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25.圆心坐标为P(3,4),半径为5.由于点(2,6)到圆心的距离为,小于半径,故点(2,6)在圆内,则最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E(2,6),且AC⊥BD.
|PE|=,|BD|=2×=4,|AC|=2×5=10,所以=|AC|·|BD|=×10×4=20.
9.答案　2
解析　设∠BOQ=α,根据题意得,点P逆时针旋转2α,且α∈[0,π],
依题意得Q(cos α,sin α),P(-cos 2α,-sin 2α),
∴·
=(-cos 2α+1,-sin 2α)·(cos α+1,sin α)
=(-cos 2α+1)(cos α+1)-sin 2αsin α
=1-cos 2α=2sin2α≤2,
当且仅当α=时,等号成立.故答案为2.
10.解析　易求线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.
由解得即圆心C为(-3,6),则半径r==2.又|AB|==4,
所以圆心C到AB的距离d==4.
所以点P到AB的距离的最大值为4+2.
所以△PAB的面积的最大值为×4×(4+2)=16+8.