第二章 直线和圆的方程 复习提升（Word版含解析）

本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略直线斜率与倾斜角之间的变化关系致错
1.()已知点A(-3,2),B(3,2),若直线ax-y-1=0与线段AB相交,则实数a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-≤a≤ B.a≥1或a≤-1
C.-1≤a≤1 D.a≥或a≤
易错点2　忽略前提条件导致计算错误
2.()两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为(　易错　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C.7 D.
3.(2019四川雅安中学高二上期中,)已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8平行,则实数m的值为(　　)
A.-7 B.-1 C.-1或-7 D.
易错点3　忽略直线的特殊情况,缺少分类讨论致错
4.()过点A(1,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　　　　　.
5.()已知直线l过两直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点,且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.
易错点4　忽视圆的一般方程表示圆的条件致错
6.()若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.1
7.(2020辽宁六校协作体高二上10月月考,)已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为(　易错　)
A.1 B.-1 C.-1或1 D.0
8.()已知定点A(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0的外部,求k的取值范围.
易错点5　对圆心位置考虑不全致错
9.()已知某圆圆心在x轴上,半径r为5,且截y轴所得的线段长为8,求该圆的标准方程.
10.()已知圆C:x2+y2-4x+3=0.
(1)求过点M(3,2)的圆的切线方程;
(2)直线l过点N且被圆C截得的弦长为m,求m的范围;
(3)已知圆E的圆心在x轴上,与圆C相交所得的弦长为,且与x2+y2=16相内切,求圆E的标准方程.
思想方法练
一、函数与方程思想在直线与圆中的应用
1.()已知两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0,设a,b是方程x2+x+c=0的两个实数根,其中0≤c≤,求两条直线间距离的最大值和最小值.
2.()已知圆C:x2+y2=1与直线l:x-y+m=0相交于不同的A、B两点.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若|AB|=,求实数m的值.
3.()已知圆M:x2+(y-6)2=16,点P是直线l:x-2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B.
(1)当切线PA的长度为4时,求线段PM的长度;
(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当点P在直线l上运动时,圆N是否过定点 若过,求出所有的定点的坐标;若不过,说明理由;
(3)求线段AB长度的最小值.
二、分类讨论思想在直线与圆中的应用
4.()已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),如果l1⊥l2,那么a的值为　　　　.
5.()已知圆C的圆心在直线2x-y-1=0上,圆C经过点A(4,2),B(0,2).
(1)求圆C的标准方程;
(2)直线l过点P(1,1)且与圆C相交,所得弦长为4,求直线l的方程.
6.()求与圆M:(x-1)2+y2=1外切,且与直线x+y=0相切于点Q(3,-)的圆N的方程.
三、转化与化归思想在直线与圆中的应用
7.()已知点M(a,b)在直线3x+4y=10上,则的最小值为　　　　.
8.()直线l过点P(3,2),并且和直线l1:x-3y+10=0相交于A点,和直线l2:2x-y-8=0相交于B点,若点P为线段AB的中点,求直线l的方程.
9.()如果实数x,y满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求:
(1)的最大值与最小值;
(2)x+y的最大值与最小值;
(3)的最大值与最小值.
四、数形结合思想在直线与圆中的应用
10.()若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°,其中O为原点,则k的值为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-或 B.
C.-或 D.
11.()若直线l:y=x+b与曲线y=有公共点,试求b的取值范围.
答案全解全析
易混易错练
1.B　直线ax-y-1=0可化为y=ax-1,表示斜率为a,在y轴上截距为-1的直线.如图所示,令P(0,-1).
∵kPA==-1,kPB==1,
∴该直线从PB逆时针旋转到PA,
其倾斜角在内,从而直线的斜率a满足:a≥1或a≤-1,故选B.
2.D　由两直线平行知,a=6,
此时,两直线方程分别为6x+8y-24=0,6x+8y+11=0.
∴两直线间的距离d===,故选D.
易错警示　求两平行线之间的距离时,要将一次项系数化为相等,才能运用公式,解题时要防止错用公式导致结论错误.
3.A　当m=-3时,两条直线分别化为2y=7,x+y=4,此时两条直线不平行;
当m=-5时,两条直线分别化为x-2y=-10,x=4,此时两条直线不平行;
当m≠-3且m≠-5时,两条直线分别化为y=-x+,y=-x+,
∵两条直线平行,∴-=-,且≠,解得m=-7.
综上可得,m=-7.故选A.
4.答案　x-y=0或x+y-2=0
解析　解法一:设该直线在两坐标轴上的截距为a,
当a=0时,直线过原点(0,0).又直线过点A(1,1),
所以此时直线的方程是y=x,即x-y=0.
当a≠0时,设直线的方程为+=1,
由题意得+=1,解得a=2.
所以此时直线的方程为+=1,即x+y-2=0.
综上,所求直线的方程为x-y=0或x+y-2=0.
解法二:由题意知直线的斜率存在,且不为0.
设直线方程为y-1=k(x-1),k≠0.
令x=0,得y=1-k;令y=0,得x=1-.
由题意知1-k=1-,即k2=1,∴k=±1.
当k=1时,y-1=x-1,即x-y=0;
当k=-1时,y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
综上,所求直线的方程为x-y=0或x+y-2=0.
5.解析　解方程组
得即交点坐标为(-1,2).
①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由题意得=,
解得k=-,
所以直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
②当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意.
综上,所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
6.C　∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1(舍去),∴m=2.
7.B　圆的方程可化为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.
依题意得解得k=-1,故选B.
易错警示　关于圆的一般方程问题的解决,解题时,忽视D2+E2-4F>0导致错误,如本题忽视k4-4k+1>0,仅由-1=-k2得k=±1,选C导致错误.
8.解析　由题意得
解得-9.解析　如图,由题意知|AC|=r=5,|AB|=8,∴|AO|=4. 在Rt△AOC中,|OC|===3. 设点C的坐标为(a,0),则|OC|=|a|=3,∴a=±3.
∴所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
10.解析　(1)圆C:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,其圆心为(2,0),半径为1.
当切线的斜率不存在时,切线方程为x=3,符合题意.
当切线的斜率存在时,设切线斜率为k,则切线方程为 y-2=k(x-3),即kx-y-3k+2=0,
由圆心到切线的距离等于半径,得=1,解得k=,
此时,切线方程为3x-4y-1=0.
综上可得,圆的切线方程为x=3或3x-4y-1=0.
(2)当直线l⊥CN时,弦长m最短,此时直线l的方程为x-y-1=0,
所以m=2=,
当直线l经过圆心时,弦长最长,为2,所以m∈[,2].
(3)设圆E:(x-a)2+y2=r2(r>0),与圆C相交于A,B两点,∵|AB|=,∴两点的纵坐标分别为,-,将y2=代入圆C的方程,得x=或x=,
∴或在圆E上.
∵圆E内切于x2+y2=16,
∴圆E经过点(4,0)或(-4,0),
若圆E经过和(4,0),则其标准方程为+y2=,
若圆E经过和(4,0),则其标准方程为(x-3)2+y2=1,
若圆E经过和(-4,0),则其标准方程为+y2==,
若圆E经过和(-4,0),则其标准方程为+y2==.
思想方法练
1.解析　由一元二次方程根与系数的关系,得a+b=-1,ab=c.
易知两条直线平行,设两条平行直线间的距离为d,则d=,
所以d2==-2c.
因为d2是关于c的单调递减函数,
所以当c=0时,d2有最大值,且=,即dmax=;
当c=时,d2有最小值,且=,即dmin=.
所以两条直线间距离的最大值为,最小值为.
2.解析　(1)由消去y得,4x2+2mx+m2-1=0,由已知得,(2m)2-16(m2-1)>0,解得-2(2)设圆C的半径为r,因为圆心C(0,0)到直线l:x-y+m=0的距离为d==,
所以|AB|=2=2=,
由已知得=,解得m=±1.
3.解析　(1)由题意知,圆M的半径r=4,圆心M(0,6),
∵PA是圆的一条切线,∴∠MAP=90°.
∴|PM|==8.
(2)圆N过定点.
设P(2a,a),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,
∴圆心N,半径为=,
∴圆N的方程为(x-a)2+=,
即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0,
由解得或
∴圆N过定点(0,6)和.
(3)由(2)知,圆N的方程为(x-a)2+=,
即x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,①
圆M:x2+(y-6)2=16,
即x2+y2-12y+20=0,②
②-①得2ax+(a-6)y+20-6a=0,
即为直线AB的方程.
又圆心M(0,6)到直线AB的距离d==,
∴|AB|=2=2
=8,
∴当a=时,线段AB的长度有最小值.
4.答案　5或-6
解析　因为直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),且2≠-1,所以l2的斜率存在,而l1的斜率可能不存在,下面对a进行讨论.
当a-2=3,即a=5时,l1的斜率不存在,l2的斜率为0,此时满足l1⊥l2.
当a-2≠3,即a≠5时,直线l1,l2的斜率均存在,设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.由l1⊥l2得k1k2=-1,
即·=-1,解得a=-6.
综上,a的值为5或-6.
5.解析　(1)设圆心为C,则C应在AB的中垂线上,其方程为x=2,
由 即圆心C的坐标为(2,3),
又半径|CA|=,
故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=5.
(2)点P(1,1)在圆上,且弦长为4<2,故应有两条直线符合题意,
此时圆心到直线l的距离d==1.
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,此时圆心到直线l的距离为1,符合题意.
②当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则直线l的方程为y-1=k(x-1),
整理为kx-y-k+1=0,则圆心到直线l的距离为d==1,解得k=,所以直线l的方程为3x-4y+1=0.
综上①②,所求直线l的方程为x=1或3x-4y+1=0.
6.解析　设所求圆N的圆心为N(a,b),半径为r.
因为所求圆N与直线x+y=0相切于点Q(3,-),
所以直线NQ垂直于直线x+y=0.
所以kNQ==,即b=a-4.
圆N的半径r=|NQ|
=
==2|a-3|.
因为圆N与圆M:(x-1)2+y2=1外切,
所以|MN|==1+r=1+2|a-3|,
即=1+2|a-3|.
对该式讨论如下:
①当a≥3时,可得a=4,b=0,r=2.
所以圆N的方程为(x-4)2+y2=4;
②当a<3时,可得a=0,b=-4,r=6,
所以圆N的方程为x2+(y+4)2=36.
故圆N的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.
7.答案　2
解析　易知表示点M与原点的距离,而点M(a,b)在直线3x+4y=10上,
∴的最小值为原点到直线3x+4y=10的距离,即()min==2,
∴的最小值为2.
8.解析　由条件可设A(3y0-10,y0),∵AB的中点为P(3,2),∴B(16-3y0,4-y0).又知B在l2上,∴2(16-3y0)-(4-y0)-8=0,解得y0=4,∴A(2,4).又知直线l过点A,P,则直线l的方程为y-4=(x-2),即2x+y-8=0.
9.解析　设P(x,y),则P点的轨迹就是已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=6.
(1)的几何意义是直线OP(O是原点)的斜率.
设=k,则直线OP的方程为y=kx.由图可知,当直线OP与圆相切时,斜率取得最值.
因为点C到直线y=kx的距离d=,
所以当=,即k=3±2时,直线OP与圆C相切,
所以的最大值与最小值分别是3+2,3-2.
(2)设x+y=b,则y=-x+b.由图知,当直线与圆C相切时,截距b取得最值.
而圆心C到直线y=-x+b的距离d=.
因为当=,即b=6±2时,直线y=-x+b与圆C相切,
所以x+y的最大值与最小值分别为6+2,6-2.
(3)代数式的几何意义是圆C上的点到定点(2,0)的距离.
因为圆心(3,3)与定点(2,0)间的距离是=,圆的半径是,
所以定点(2,0)在圆外,
所以的最大值是+,最小值是-.
10.A　如图所示,直线y=kx+1过定点P(0,1)且P在圆上,
∵∠POQ=120°,
∴∠OPQ=30° ∠1=120°,∠2=60°,
∴k=±.故选A.
11.解析　如图,在平面直角坐标系内作出曲线y=(半圆).当直线y=x+b与半圆y=相切时,有=2,
所以b=2.
当直线y=x+b过点(2,0)时,b=-2.
所以直线l1:y=x-2,直线l2:y=x+2.
当直线l:y=x+b夹在l1与l2之间(包括l1,l2)时,l与曲线y=有公共点,所以截距b的取值范围为[-2,2].