第二章专题强化练4 直线方程及其应用 （Word版含解析）

专题强化练4　直线方程及其应用
一、选择题
1.()点(5,-3)到直线x+2=0的距离等于(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.7 B.5 C.3 D.2
2.()已知点A(1,),B(-1,3),则直线AB的倾斜角为(　　)
A.60° B.30° C.120° D.150°
3.()若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为(　　)
A. B.- C.- D.
4.()一束光线从点A(1,0)处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程是(　　)
A.x+2y-2=0 B.2x-y+2=0
C.x-2y+2=0 D.2x+y-2=0
5.()已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是(　　)
A.无论k,P1,P2如何,总是无解
B.无论k,P1,P2如何,总有唯一的一组解
C.存在k,P1,P2,使之恰有两组解
D.存在k,P1,P2,使之有无穷多组解
6.()在平面直角坐标系中,记d为点P(cos α,sin α)到直线mx+y-2=0的距离,当α,m变化时,d的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2019广东深圳中学高二上期中,)已知函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)恒过定点A.若直线mx+ny=2过点A,其中m、n是正实数,则+的最小值是(　　)
A.3+ B.3+2 C. D.5
二、填空题
8.()已知点P(m,n)在直线2x+y+1=0上运动,则m2+n2的最小值为　　　　.
9.()已知A(2,1),B(1,2),若直线l:y=ax与线段AB相交,则实数a的取值范围是　　　　.
10.(2020吉林长春外国语学校高二上阶段测试,)直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,△OAB的面积为12,则直线l的方程为　　　　　　　　.深度解析
三、解答题
11.()(1)求两条平行直线3x+4y-6=0与ax+8y-4=0间的距离;
(2)求两条互相垂直的直线2x+my-8=0和x-2y+1=0的交点坐标.
12.()已知直线l:(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)当O(0,0)点到直线l的距离最大时,求直线l的方程.
13.(2020山西晋城一中高二上期中,)如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)的直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
答案全解全析
一、选择题
1.A　由点到直线的距离公式可得d==7,故选A.
2.C　因为直线AB的斜率为=-,倾斜角的范围是[0°,180°),
所以倾斜角为120°,故选C.
3.B　依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有解得从而可知直线l的斜率为=-.
4.B　如图所示,反射光线所在直线与直线AB的倾斜角互补.
∴反射光线所在直线的斜率为k=-kAB=-=2.
因此所求直线方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0,故选B.
5.B　易知直线y=kx+1一定不过原点O,因为P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,所以OP1与OP2不平行,因此a1b2-a2b1≠0.所以二元一次方程组一定有唯一的一组解.
6.C　直线mx+y-2=0过定点A(0,2),因此点P到直线距离的最大值为|PA|.
∵|PA|==,∴当sin α=-1时,|PA|max==3,故选C.
7.B　函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)过定点(2,2),∴2m+2n=2,即m+n=1,
∴+=(m+n)=3++≥3+2=3+2,当且仅当==,即m=-1,n=2-时取等号,故选B.
二、填空题
8.答案　
解析　∵P(m,n)是直线2x+y+1=0上的任意一点,m2+n2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方,
∴m2+n2的最小值为原点到直线2x+y+1=0的距离的平方,
∴所求最小值为=.
9.答案　
解析　直线l:y=ax过原点,且斜率为a,如图所示,直线l绕点O从OA按逆时针旋转到OB,又kOA=,kOB=2,
∴直线的斜率a的取值范围是.
10.答案　2x+3y-12=0
解析　解法一:根据题意知直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0).
令y=0,得x=3-,∴A.
令x=0,得y=-3k+2,∴B(0,-3k+2).
∴S△OAB=(-3k+2)=12,
化简,得(3k+2)2=0,解得k=-.
故直线l的方程为y-2=-(x-3),
即2x+3y-12=0.
解法二:由题意得直线l在两坐标轴的正半轴上均有截距,则设直线l的方程为+=1(a>0,b>0).
则+=1,①又ab=12,∴ab=24.②
由①②解得
故直线l的方程为+=1,即2x+3y-12=0.
解题模板　过一点的直线可以设点斜式,解题时要注意斜率不存在的情况,考虑到△AOB的面积与截距有关,还可设截距式,解题时,要注意a>0,b>0的条件.
三、解答题
11.解析　(1)由题意可得=≠,
解得a=6.
所以直线方程为6x+8y-4=0,即3x+4y-2=0.
所以两平行直线间的距离为
=.
(2)由题意可得2-2m=0,解得m=1.
由得
所以交点坐标为(3,2).
12.解析　(1)依题意得,a+1≠0.
令x=0,得y=a-2;令y=0,得x=.
∵直线l在两坐标轴上的截距相等,
∴a-2=,化简,得a(a-2)=0,
解得a=0或a=2.
因此,直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0.
(2)直线l的方程可化为a(x-1)+x+y+2=0.
令解得因此直线l过定点A(1,-3).
由题意得,OA⊥l时,O点到直线l的距离最大.
因此,kl=-=,∴直线l的方程为y+3=(x-1),即x-3y-10=0.
13.解析　由题意可得kOA=tan 45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-,
所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.
设A(m,m),B(-n,n),
所以AB的中点C,
由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线,得
解得m=,所以A(,).
又P(1,0),所以kAB=kAP==,
所以lAB:y=(x-1),
即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.