3.3.2抛物线的简单几何性质 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
3.3.2　抛物线的简单几何性质
1.了解抛物线的简单几何特征.
2.了解抛物线标准方程中p的几何意义.
3.了解直线与抛物线的位置关系,会求直线与抛物线相交的弦长.
Y2=2px(p>0) Y2=-2px(p>0) X2=2py(p>0) X2=-2py(p>0)
图形
顶点 ①　(0,0)
离心率 ② e=1
对称轴 ③ x轴 ④ y轴
范围 ⑤ x≥0 ,y∈R ⑥ x≤0 ,y∈R ⑦ y≥0 ,x∈R ⑧ y≤0 ,x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
参数p 参数p表示⑨　焦点到准线 的距离,p越大,开口⑩　越大
抛物线的简单几何性质
1.抛物线关于原点对称. ( 　)
提示:抛物线不关于原点对称.
2.抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心. (　√　)
3.抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　√　)
提示:抛物线的离心率均为1.
4.“直线与抛物线只有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的充要条件. ( 　)
提示:“直线与抛物线只有一个公共点”推不出“直线与抛物线相切”,还有直线与抛物线
的对称轴平行或重合的情况,不是充分条件;“直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线
只有一个公共点”,是必要条件.
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ” 。
5.直线x-2y+1=0与抛物线y2=x的位置关系是相交. ( 　)
提示:联立 可得y2-2y+1=0,则Δ=0,故直线与抛物线相切,而非相交.
6.已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+ . ( 　)
提示:设A,B到准线的距离分别为dA,dB,由抛物线的定义可知,|AF|=dA=x1+ ,|BF|=dB=x2+ ,则
|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.
抛物线的简单几何性质
1.确定抛物线的简单几何性质把握三个要点
(1)开口:由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还
是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等
于1.
2.抛物线与双曲线的一支都是有开口的不封闭的光滑曲线,但它们有本质的区别,双曲线有
渐近线,而抛物线没有.作图时通常用有无渐近线来区分它们.
3.与椭圆、双曲线比较,抛物线性质的特点
(1)抛物线只位于两个象限内,它可以无限延伸,没有渐近线.
(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心.
(3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线.
(4)抛物线的离心率是确定的(e=1).
4.抛物线的通径
(1)过焦点且与焦点所在的坐标轴垂直的直线与抛物线交于M1,M2,线段M1M2叫做抛物线的
通径,将x= 代入y2=2px(p>0),得y=±p,故抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p.
(2)通径的几何意义:p越大,通径越长,抛物线的开口越大;反之,p越小,通径越短,抛物线的开
口越小.
(1)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A、B两点,O为坐标原
点,若△OAB的面积为4,求此抛物线的标准方程;
(2)已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是
此抛物线的焦点,求直线AB的方程;
(3)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2 ,求
抛物线的方程.
解析 (1)由题意,可设抛物线方程为y2=2ax(a≠0),则焦点F ,准线l:x=- ,
∴不妨设A,B两点的坐标分别为 , ,
∴|AB|=2|a|.
∵△OAB的面积为4,
∴ · ·2|a|=4,
∴a=±2 ,
∴抛物线方程为y2=±4 x.
(2)∵|OA|=|OB|,
∴可设A(x0,y0),B(x0,-y0),其中x0>0.
∵△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F ,
∴kFA·kOB=-1,即 · =-1,
即 =x0 =2px0(x0>0,p>0),
∴x0= p,∴直线AB的方程为x= p.
(3)由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在x轴负半轴上,
故可设抛物线方程为y2=ax(a≠0).
设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1,y1),B(x2,y2).
∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,
∴点A与点B关于x轴对称,
∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2 ,
∴|y1|=|y2|= ,代入x2+y2=4,得x2+3=4,
∴x=±1,
∴A(±1, )或A(±1,- ),代入抛物线方程,得( )2=±a,∴a=±3.
∴所求抛物线方程是y2=3x或y2=-3x.
直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线位置关系的判断方法
通常使用代数法:将直线的方程与抛物线的方程联立,整理成关于x的方程ax2+bx+c=0.
(1)当a≠0时,利用判别式解决:
Δ>0 相交;Δ=0 相切;Δ<0 相离.
(2)当a=0时,方程只有一个解x=- ,这时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
2.直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系
直线与抛物线相切时,只有一个公共点,但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称
为相切,这是因为平行于抛物线的对称轴的直线或对称轴与抛物线只有一个公共点,而这时
抛物线与直线是相交的.
3.抛物线的相交弦
若直线(斜率为k,且k≠0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|= ·|x1-x2|=
·|y1-y2|.
(1)若直线AB过抛物线的焦点F,则|AB|=x1+x2+p,x1x2= ,y1y2=-p2.
(2)若直线AB过抛物线的焦点F,且垂直于对称轴,则|AB|=2p.
(3)若直线AB过抛物线的焦点F,且直线的倾斜角为α(α≠0),则|AB|= .
已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(2)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程.
思路点拨
(1)写出直线l的方程,与抛物线方程联立;根据焦点弦公式写出|AB|,从而求出圆的方程.
(2)将线段转化为向量问题,建立等量关系,联立直线方程与抛物线方程,消元后应用根与系
数的关系和向量相等的条件求出两交点的横坐标,进而求出直线的斜率,写出直线方程.
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)因为y2=4x,所以F(1,0),
又因为直线l的斜率为1,
所以直线l的方程为y=x-1,
联立 消去y得x2-6x+1=0,
由根与系数的关系,得x1+x2=6,易得AB的中点,
即圆心的坐标为(3,2).
又|AB|=x1+x2+p=8,
所以圆的半径r=4,
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.
(2)因为|FA|=2|BF|,
所以 =2 ,
又 =(x1-1,y1), =(1-x2,-y2),
所以
易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的斜率为k(k≠0),
则直线l的方程为y=k(x-1),
联立
消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由根与系数的关系,得
因为x1-1=2(1-x2),
所以 (舍去)或
所以k=±2 ,
所以直线l的方程为y=±2 (x-1).