3.1.2椭圆的简单几何性质 同步练习（Word版含解析）

3.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
基础过关练
题组一　椭圆的几何性质及其应用
1.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2, B.,2 C.4,2 D.2,4
2.点A(a,1)在椭圆+=1的内部,则a的取值范围是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-∞,-)∪(,+∞)
B.(-,)
C.[-,]
D.(-2,2)
3.(2020河北唐山一中高二上期中)已知F1,F2分别为椭圆+=1的左,右焦点,A为上顶点,则△AF1F2的面积为(　　)
A.6 B.15 C.6 D.3
4.若中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中)椭圆+=1的短轴长为8,则实数m=　　　　.
题组二　求椭圆的离心率或范围
6.椭圆x2+4y2=1的离心率为(　　)
A. B. C. D.
7.已知a>b>0,则椭圆+=1与椭圆+=λ(λ>0且λ≠1)有(　　)
A.相同的焦点 B.相同的顶点
C.相同的离心率 D.相同的长、短轴
8.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,P是椭圆上一点,若|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
9.在平面直角坐标系Oxy中,若椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点,则椭圆E的离心率是　　　　.
10.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F1,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF1⊥x轴,直线AB与y轴交于点P,=2,则椭圆的离心率为　　　　.
题组三　椭圆几何性质的综合运用
11.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且△F1F2M的周长为16,则椭圆C的方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
12.设e是椭圆+=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是(　　)
A.(0,3) B.
C.(0,3)∪ D.(0,2)
13.椭圆C:x2+2y2=4的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积等于　　　　.
14.比较椭圆①x2+9y2=36与②+=1的形状,　　　　(填序号)更扁.
15.如图,椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,若·的最大值是12,求椭圆的方程.
能力提升练
题组一　椭圆的几何性质及其应用
1.(2020山东菏泽高二上期末,)中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.8 B.2 C.4 D.4
2.()设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点P满足∠APB=120°,则k的取值范围是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.∪[12,+∞) B.∪[6,+∞)
C.∪[12,+∞) D.∪[6,+∞)
3.(多选)()若椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)的离心率相同,且a1>a2,则下列结论正确的是(　　)
A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点
B.=
C.-<-
D.a1-a24.(2020浙南名校联盟高二上期中联考,)已知F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆上,且P到原点O的距离等于半焦距,△POF的面积为6,则b=　　　　.
题组二　求椭圆的离心率或范围
5.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括明暗素描和结构素描,而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱,底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体,原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中,发现“切面”是一个椭圆,若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形,则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中,)已知过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
7.(2020山东滨州高二期中,)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为M,N,若在椭圆C上存在点H,使kMHkNH∈,则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
8.(2020山东广饶一中高二期中,)已知F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点,点P是椭圆上位于第二象限内的点,延长PF1交椭圆于点Q,若PF2⊥PQ,且|PF2|=|PQ|,则椭圆的离心率为(　　)
A.- B.-1
C.- D.2-
9.()黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感,是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率e=的椭圆称为“黄金椭圆”,则以下四种说法:
①椭圆+=1是“黄金椭圆”;②若椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),且满足b2=ac,则该椭圆为“黄金椭圆”;③设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B,右顶点为A,若∠ABF=90°,则该椭圆为“黄金椭圆”;④设椭圆+=1(a>b>0)的左,右顶点分别是A,B,左,右焦点分别是F1,F2,若|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,则该椭圆为“黄金椭圆”.
其中说法正确的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D. 4
10.(2018陕西西安长安一中高二上学期期末,)已知椭圆+=1(a>b>0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,求该椭圆的离心率e的取值范围.
题组三　椭圆几何性质的综合运用
11.(2020江西南昌二中高二上第一次月考,)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为(　易错　)
A.+y2=1 B.+=1
C.+y2=1或+=1 D.以上答案都不对
12.()已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆+=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合),且·=0,则||的取值范围为(　　)
A.[0,3) B.(0,2)
C.[2,3) D.[0,4]
13.(多选)()设椭圆C:+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是(　　)
A.|PF1|+|PF2|=2
B.离心率e=
C.△PF1F2面积的最大值为
D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切
14.(多选)()如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是(　　)
A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2
C.c1a2>a1c2 D.<
15. (2020辽宁大连高二上期中,)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.
答案全解全析
第1课时　椭圆的简单几何性质
基础过关练
1.C　把3x2+4y2=12化成标准形式为+=1,得a2=4,b2=3,则长轴长为4,短轴长为2.
2.B　由题意,得+<1,即a2<2,解得-3.D　由椭圆方程+=1得A(0,3),F1(-,0),F2(,0),∴|F1F2|=2.
∴=|F1F2|·|yA|=×2×3=3,故选D.
4.A　由已知,得a=9,2c=×2a,所以c=a=3,b2=a2-c2=72.又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程为+=1.
5.答案　16
解析　因为椭圆+=1的短轴长为8,所以椭圆的焦点在x轴上,所以=4,解得m=16.
6.A　将椭圆方程x2+4y2=1化为标准方程为x2+=1,则a2=1,b2=,所以a=1,c==,故离心率e==.
7.C　将椭圆方程+=λ(λ>0且λ≠1)化为标准方程,得+=1(λ>0且λ≠1),其离心率e==,故选C.
8.C　由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,
∴|PF1|=a,|PF2|=a,
又|PF1|-|PF2|≤|F1F2|,即a≤2c,
所以e≥,故椭圆的离心率e的取值范围是.故选C.
9.答案　
解析　依题意得b=c,
所以b2=c2 a2-c2=c2 a2=2c2 =,
又e=>0,所以e=.
10.答案　
解析　如图,易知△ABF1∽△APO,
则=,即=,所以a=2c,所以e==.
11.D　∵e==,∴=,设==t(t>0),则a=5t,c=3t.
又△F1F2M的周长为2a+2c=16t=16,
∴t=1,
∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=16.
∴椭圆C的方程为+=1,故选D.
12.C　当k<4时,e==∈,
即<<1 1<4-k<4,解得0当k>4时,e==∈,
即<<1 <<1 <1-<1 0<<,解得k>.
综上,实数k的取值范围为(0,3)∪.
13.答案　2
解析　椭圆方程可化为+=1.
∴a2=4,b2=2,从而c2=2,c=.
因此,两焦点为(-,0),(,0),短轴的一个端点为(0,).
∴构成的三角形的面积为×2×=2.
14.答案　①
解析　x2+9y2=36化为标准方程为+=1,故离心率e1==;+=1的离心率e2=.因为e1>e2,所以①更扁.
15.解析　由题易知A(a,0),设F(-c,0).
∵e==,∴a=3c.设P(x0,y0),则-3c≤x0≤3c.
∵=(-c-x0,-y0),=(a-x0,-y0),
∴·=(-c-x0,-y0)·(a-x0,-y0)
=-ac+cx0-ax0++
=-ac+cx0-ax0++b2-
=-(a-c)x0+b2-ac
=-(a-c)x0+a2-c2-ac
=-2cx0+5c2
=(x0-9c)2-4c2.
∴当x0=-3c时,·有最大值,且最大值为12c2.∴12c2=12,
∴c2=1,∴a2=9,b2=a2-c2=8,
∴椭圆的方程为+=1.
能力提升练
1.C　由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为+=1(a>b>0),所以长轴长2a=8,短轴长2b=4,所以a=4,b=2,可得c==2,因此焦距2c=4,故选C.
2.A　设P(x,y).当0∴·=x2+y2-4=||×||cos 120°=-||×||.由S△PAB=||×||×sin 120°=|AB|×|y|=2|y|,得||×||=.
故有x2+y2-4=-||×||=-.
又∵点P在椭圆上,∴x2=4-,
∴4-+y2-4=-,
即=.
∴|y|=.
依题意知0<≤,
又∵0∴0当k>4时,不妨令A(0,-),B(0,),则=(-x,--y),=(-x,-y),
∴·=x2+y2-k=||×||cos 120°=-||×||.
由S△PAB=||×||sin 120°=|AB|×|x|=|x|,
得||×||=.
故有x2+y2-k=-||×||=-.
又∵点P在椭圆上,∴y2=k-,
∴x2+k--k=-,
即=.
∴|x|=.
依题意知0<≤2,
又∵k>4,∴k-4-4≥0,∴k≥12.
综上,k∈∪[12,+∞),故选A.
3.AB　依题意,e==,即=,所以=,所以=,因此B正确;又a1>a2,所以椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点,因此A正确;设==m,其中00,即有->-,则->-,因此C错误;(a1-b1)-(a2-b2)=(1-m)·(a1-a2)>0,即有a1-b1>a2-b2,则a1-a2>b1-b2,因此D错误.故选AB.
4.答案　2
解析　设P(x,y),则
由②得x2=c2-y2,代入①式得
+=1 y2= |y|=.
∴S△POF=|OF|·|y|=×c×=b2=6,
∴b2=12,又b>0,
∴b=2.
5.A　设圆柱的底面半径为r,依题意知,最长母线与最短母线所在截面如图所示.
∴AB=DE=2r.
从而CD==r.
因此在椭圆中长轴长2a=r,
短轴长2b=2r,
∴c2=a2-b2=r2-r2=r2 c=r.
∴e==,故选A.
6.D　由题意知点P的坐标为或.
∵∠F1PF2=60°,∴=,即2ac=b2=(a2-c2),
∴e2+2e-=0,
∴e=或e=-(舍去).
故选D.
7.A　设H(x0,y0),则=(a2-),而M(-a,0),N(a,0),∴kMH·kNH=·==-∈,∴e=∈.故选A.
8.A　连接F2Q,由已知PF2⊥PQ,且|PF2|=|PQ|,得△F2PQ是等腰直角三角形,设|PF2|=m,|QF2|=n,由椭圆的定义得|PF1|=2a-m,|QF1|=2a-n,则有2a-m+2a-n=m,且n=m,∴m=2(2-)a.
在Rt△F1PF2中,由勾股定理得,m2+(2a-m)2=4c2,即[2(2-)a]2+[2a-2(2-)a]2=4c2,∴4(6-4)a2+(12-8)a2=4c2,即(9-6)a2=c2,从而e2==9-6,又知09.C　①由题意得a2=+1,b2=2,故e==,故椭圆+=1是“黄金椭圆”;②b2=ac,即a2-c2=ac,故e2+e-1=0,解得e=或e=(舍去),故该椭圆是“黄金椭圆”;③由∠ABF=90°得(a+c)2=a2+b2+b2+c2,化简可知e2+e-1=0,解得e=或e=(舍去),故该椭圆是“黄金椭圆”;④由|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,得(2c)2=(a-c)(a+c),则e=(负值舍去),故该椭圆不是“黄金椭圆.故选C.
10.解析　如图所示,设椭圆的左焦点为F1,
连接AF1,BF1,则四边形AFBF1为矩形,
∴|AB|=|FF1|=2c,|AF|+|BF|=2a.
∵|AF|=2csin α,|BF|=2ccos α,
∴2csin α+2ccos α=2a,
∴e==.
∵α∈,
∴α+∈,
∴sin∈,
∴sin∈,
∴椭圆的离心率e∈.
11.C　直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0).当焦点在x轴上时,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),
由题意知,c=2,b=1,∴a2=5,
∴椭圆的标准方程为+y2=1;
当焦点在y轴上时,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意知,b=2,c=1,∴a2=5,∴椭圆的标准方程为+=1.故选C.
易错警示　当不能确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上时,要分两种情况讨论,解题时要防止遗漏导致解题错误,如本题有两种情况,得到两解.
12.B　如图,延长PF2,F1M,交于点N,则△PF1N为等腰三角形,M为F1N的中点,||=||=|||-|||=·|||-|||.由图可知,当P在短轴端点时,||取得最小值,此时||=0,当P在长轴端点时,||取得最大值,此时||=2,但P不能在坐标轴上,故取不到端点值,所以||的取值范围为(0,2).
13.AD　由+y2=1得a2=2,b2=1,∴c2=1,
∴|PF1|+|PF2|=2a=2,因此A正确;
e===≠,因此B错误;
当点P在椭圆的上顶点或下顶点时,△PF1F2的面积最大,且()max=×2c×b=×2×1=1≠,因此C错误;
以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,
且=1,因此D正确.
故选AD.
14.BC　由题图可得a1>a2,c1>c2,∴a1+c1>a2+c2,故A不正确;∵|PF|=a1-c1,|PF|=a2-c2,∴a1-c1=a2-c2,故B正确;由a1-c1=a2-c2得(a1+c2)2=(a2+c1)2,即-+2a1c2=-+2a2c1,亦即+2a1c2=+2a2c1,∵b1>b2,∴a2c1>a1c2,∴>,故C正确,D不正确.故选BC.
15.解析　(1)由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1),设P(x0,y0),M(0,yM),N(xN,0),则+4=4.
当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2),
令x=0,得yM=-,从而|BM|=|1-yM|=;
直线PB的方程为y=x+1,
令y=0,得xN=-,从而|AN|=|2-xN|=.
所以|AN|·|BM|
=·
=
==4.
当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,
所以|AN|·|BM|=4.
综上,|AN|·|BM|为定值.