3.2.1双曲线及其标准方程 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 3.2.1双曲线及其标准方程 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 107.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-22 09:16:55 | ||
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文档简介
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2020辽宁六校协作体高二上月考)已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是( )
A.一条射线 B.双曲线右支
C.双曲线 D.双曲线左支
2.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,且|PF1|=5,则|PF2|=( )
A.5 B.3 C.7 D.3或7
3.(2019河北唐山一中高二上月考)已知平面内两定点F1(-2,0),F2(2,0),下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是( )
A.|PF1|-|PF2|=±3 B.|PF1|-|PF2|=±4
C.|PF1|-|PF2|=±5 D.|PF1|2-|PF2|2=±4
4.已知双曲线-=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
5.已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左,右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于 .
6.已知双曲线的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5.若2a=8,那么△ABF2的周长是 .
题组二 双曲线的标准方程
7.(2019北京一?一中学高二上期中)双曲线-=1的焦点坐标为( )
A.(±1,0) B.(±,0)
C.(±,0) D.(±4,0)
8.已知动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差等于6,则P点的轨迹方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1(x≤3) D.-=1(x≥3)
9.已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
10.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左,右焦点,且双曲线过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为 .
11.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7)的双曲线的标准方程是 .
12.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.
题组三 双曲线的综合运用
13.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为( )
A.1 B.1或-2 C.1或 D.
14.已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
15.若ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是( )
A.双曲线,焦点在x轴上
B.双曲线,焦点在y轴上
C.椭圆,焦点在x轴上
D.椭圆,焦点在y轴上
16.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中) 设F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△PF1F2的面积等于 .
能力提升练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2020辽宁大连二十四中高二期中,)已知双曲线-=1的左,右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,且PF2的中点M在以O为圆心,OF1为半径的圆上,则|PF2|=( )
A.6 B.4 C.2 D.1
2.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)已知双曲线C:-=1的左,右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C的右支上的一点(不是顶点),过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|=( )
A.随P点变化而变化 B.2
C.4 D.5
3.(2020广东东莞高二上期末教学质量检查,)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1、F2, P为双曲线C上一点,直线l分别与以F1为圆心,F1P为半径的圆和以F2为圆心,F2P为半径的圆相切于点A,B,则|AB|=( )
A.2 B.6 C.8 D.10
4.()给出问题:F1,F2分别是双曲线-=1的左,右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:
由||PF1|-|PF2||=2a=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或|PF2|=17.
该学生的解答是否正确 若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确答案填在横线上.
.
题组二 双曲线的标准方程及其应用
5.()在平面直角坐标系Oxy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于,则动点P的轨迹方程为( )
A.x2-3y2=-2 B.x2-3y2=2(x≠±1)
C.x2-3y2=2 D.x2-3y2=-2(x≠±1)
6.(2020山东菏泽一中高二期中,)“实数mn<0”是“方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(2019河北邯郸一中高二期末,)如图,F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F1(-,0)的直线l与双曲线的左,右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.-=1
8.()已知双曲线的两个焦点分别是F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为 .
题组三 双曲线的综合运用
9.()已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
10.(2019黑龙江齐齐哈尔四校联盟高二上期中,)已知双曲线-=1的一个焦点是(0,2),椭圆-=1的焦距等于4,则n= .
11.(2019江西南昌二中高二上期中,)若点(x,y)在双曲线-y2=1上,则3x2-2y的最小值是 .
12.()已知双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;
(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少 若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少
答案全解全析
基础过关练
1.A 因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.故选A.
2.D 依题意得,a=1,b=3,因此c=,
因为|PF1|=5>a+c=1+,所以点P可以在双曲线的左、右两支上,
因此|PF1|-|PF2|=±2,即5-|PF2|=±2,所以|PF2|=3或7,故选D.
3.A 当|PF1|-|PF2|=±3时,||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4,满足双曲线的定义,所以点P的轨迹是双曲线.故选A.
4.A 连接ON,PF2(F2为双曲线的右焦点),则ON是△PF1F2的中位线,
∴|ON|=|PF2|,
∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=|PF2|=7或3.
5.答案 4
解析 在△PF1F2中,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2)2=22+|PF1|·|PF2|,
解得|PF1|·|PF2|=4.
6.答案 26
解析 |AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16.
∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,
∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
7.B 由题意得双曲线的焦点在x轴上,且a2=3,b2=4,
∴半焦距c==,
∴双曲线的焦点坐标为(±,0).故选B.
8.D 由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.
由半焦距c=5,实半轴长a=3,知b2=16,
所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3).
故选D.
9.B 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),因为半焦距c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以点P的坐标为(,4).将P(,4)代入双曲线方程,得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-=1.故选B.
10.答案 x2-=1
解析 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3),
∴
解得或(舍去).
∴双曲线的标准方程为x2-=1.
11.答案 -=1
解析 设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则解得
故双曲线的标准方程为-=1.
12.解析 已知双曲线-=1,则c2=16+9=25,∴c=5.
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
∵所求双曲线与双曲线-=1共焦点,
∴b2=25-a2,
故所求双曲线方程可写为-=1.
∵点P在所求双曲线上,
∴-=1,
化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=.
当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,不合题意,舍去,
∴a2=1,b2=24,
∴所求双曲线的标准方程为x2-=1.
13.A 由题意知解得a=1.
14.A 由题意得(1+k)(1-k)>0,
所以(k-1)(k+1)<0,所以-1故选A.
15.B 原方程可化为+y2=1,因为ab<0,
所以<0,所以方程表示的曲线是双曲线,且焦点在y轴上.
16.答案 12
解析 ∵F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,∴可设F1(-3,0),F2(3,0),
∴|F1F2|=6,
∵|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴设|PF2|=x(x>0),则|PF1|=2x.
由双曲线的性质知2x-x=2,解得x=2.
∴|PF1|=4,|PF2|=2,
∴cos∠F1PF2==,
∴sin∠F1PF2=.
∴△PF1F2的面积为×4×2×=12.
能力提升练
1.B 依题意得,a2=16,b2=20,∴c2=36,从而c=6.
且|OM|=|OF2|=c=6,
由M是PF2的中点,O是F1F2的中点得,|PF1|=2|OM|=12.
∵P在双曲线的右支上,
∴|PF1|-|PF2|=2a=8,因此|PF2|=12-8=4,故选B.
2.C 延长F2M交PF1于Q,据题意得PM是线段F2Q的中垂线,即|PQ|=|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=8,又线段MO是△F2F1Q的中位线,所以|MO|=4.
3.B 依题意得,a=4,b=3,c==5.
设点P在双曲线的右支上,如图所示,
过F2作F2D⊥AF1于点D.易得四边形ABF2D为矩形.
∵|AF1|=|PF1|,|BF2|=|PF2|,∴|F1D|=|AF1|-|AD|=|AF1|-|BF2|=|PF1|-|PF2|=2a=8.
又∵|F1F2|=2c=10,
∴在Rt△F1DF2中,|F2D|===6,
∴|AB|=|F2D|=6.
4.答案 学生的解答不正确,|PF2|=17
解析 由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a,即|PF1|-|PF2|=±2a.正负号的取舍取决于点P的位置是在双曲线的左支上还是右支上.因为点(4,0)到左焦点(-6,0)的距离为10>9,所以点P只能在双曲线的左支上.
所以|PF2|=17.
5.D 由题意得,A(-1,1),B(1,-1),设P(x,y)(x≠±1),则kAP=,kBP=.
由kAP·kBP=,得x2-3y2=-2(x≠±1).
6.B 若曲线+=1是焦点在x轴上的双曲线,则m>0,n<0,因此mn<0;
若mn<0,可能有m<0,n>0的情况,此时双曲线的焦点在y轴上,因此“mn<0”是“曲线+=1是焦点在x轴上的双曲线”的必要而不充分条件.故选B.
7.C 根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,由于△ABF2为等边三角形,因此|AF2|=|AB|=|BF2|,①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,
则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,
所以双曲线的方程为x2-=1.
8.答案 -y2=1
解析 由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且|F1F2|=2c=2.
由双曲线的定义,知||PF1|-|PF2||=2a,得|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4a2.①
由·=0知PF1⊥PF2,∵|PF1|·|PF2|=2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20.
代入①式,解得a2=4.
又c=,∴b2=c2-a2=1,
∴双曲线的标准方程为-y2=1.
9.C 由双曲线的知识,不妨设C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,
而这两点恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,且两圆的半径分别是r2=1,r3=1,
所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.
故选C.
10.答案 5
解析 因为双曲线的一个焦点是(0,2),所以设双曲线的标准方程为-=1,a>0,b>0,又由题意得,双曲线的标准方程是-=1,所以a2=-3m,b2=-m,所以c2=-4m=4,即m=-1,所以椭圆方程是+x2=1,因为椭圆的焦距2c=4,所以c=2,所以n-1=4,解得n=5.
11.答案
解析 因为点(x,y)在双曲线-y2=1上,所以=1+y2,
则3x2-2y=3(1+y2)×4-2y=12y2-2y+12,令f(y)=12y2-2y+12,则二次函数的图象的对称轴为y=,结合二次函数的图象及性质可知,当y=时,f(y)最小,为.
12.解析 设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,
因为=r1r2sin θ,θ已知,
所以只需求r1r2即可.
(1)当θ=90°时,=r1r2sin θ=r1r2.由双曲线方程知a=2,b=3,c=,
由双曲线的定义,得r1-r2=2a=4,
两边平方,得+-2r1r2=16,
又+=|F1F2|2,
即|F1F2|2-4=16,
也即52-16=4,
求得=9.
(2)若∠F1MF2=120°,则在△F1MF2中,
|F1F2|2=+-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,
求得=r1r2sin 120°=3.
同理,可求得∠F1MF2=60°时,=9.
3.2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2020辽宁六校协作体高二上月考)已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是( )
A.一条射线 B.双曲线右支
C.双曲线 D.双曲线左支
2.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,且|PF1|=5,则|PF2|=( )
A.5 B.3 C.7 D.3或7
3.(2019河北唐山一中高二上月考)已知平面内两定点F1(-2,0),F2(2,0),下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是( )
A.|PF1|-|PF2|=±3 B.|PF1|-|PF2|=±4
C.|PF1|-|PF2|=±5 D.|PF1|2-|PF2|2=±4
4.已知双曲线-=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
5.已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左,右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于 .
6.已知双曲线的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5.若2a=8,那么△ABF2的周长是 .
题组二 双曲线的标准方程
7.(2019北京一?一中学高二上期中)双曲线-=1的焦点坐标为( )
A.(±1,0) B.(±,0)
C.(±,0) D.(±4,0)
8.已知动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差等于6,则P点的轨迹方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1(x≤3) D.-=1(x≥3)
9.已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
10.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左,右焦点,且双曲线过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为 .
11.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7)的双曲线的标准方程是 .
12.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.
题组三 双曲线的综合运用
13.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为( )
A.1 B.1或-2 C.1或 D.
14.已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
15.若ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是( )
A.双曲线,焦点在x轴上
B.双曲线,焦点在y轴上
C.椭圆,焦点在x轴上
D.椭圆,焦点在y轴上
16.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中) 设F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△PF1F2的面积等于 .
能力提升练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2020辽宁大连二十四中高二期中,)已知双曲线-=1的左,右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,且PF2的中点M在以O为圆心,OF1为半径的圆上,则|PF2|=( )
A.6 B.4 C.2 D.1
2.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)已知双曲线C:-=1的左,右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C的右支上的一点(不是顶点),过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|=( )
A.随P点变化而变化 B.2
C.4 D.5
3.(2020广东东莞高二上期末教学质量检查,)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1、F2, P为双曲线C上一点,直线l分别与以F1为圆心,F1P为半径的圆和以F2为圆心,F2P为半径的圆相切于点A,B,则|AB|=( )
A.2 B.6 C.8 D.10
4.()给出问题:F1,F2分别是双曲线-=1的左,右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:
由||PF1|-|PF2||=2a=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或|PF2|=17.
该学生的解答是否正确 若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确答案填在横线上.
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题组二 双曲线的标准方程及其应用
5.()在平面直角坐标系Oxy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于,则动点P的轨迹方程为( )
A.x2-3y2=-2 B.x2-3y2=2(x≠±1)
C.x2-3y2=2 D.x2-3y2=-2(x≠±1)
6.(2020山东菏泽一中高二期中,)“实数mn<0”是“方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(2019河北邯郸一中高二期末,)如图,F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F1(-,0)的直线l与双曲线的左,右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.-=1
8.()已知双曲线的两个焦点分别是F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为 .
题组三 双曲线的综合运用
9.()已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
10.(2019黑龙江齐齐哈尔四校联盟高二上期中,)已知双曲线-=1的一个焦点是(0,2),椭圆-=1的焦距等于4,则n= .
11.(2019江西南昌二中高二上期中,)若点(x,y)在双曲线-y2=1上,则3x2-2y的最小值是 .
12.()已知双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;
(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少 若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少
答案全解全析
基础过关练
1.A 因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.故选A.
2.D 依题意得,a=1,b=3,因此c=,
因为|PF1|=5>a+c=1+,所以点P可以在双曲线的左、右两支上,
因此|PF1|-|PF2|=±2,即5-|PF2|=±2,所以|PF2|=3或7,故选D.
3.A 当|PF1|-|PF2|=±3时,||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4,满足双曲线的定义,所以点P的轨迹是双曲线.故选A.
4.A 连接ON,PF2(F2为双曲线的右焦点),则ON是△PF1F2的中位线,
∴|ON|=|PF2|,
∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=|PF2|=7或3.
5.答案 4
解析 在△PF1F2中,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2)2=22+|PF1|·|PF2|,
解得|PF1|·|PF2|=4.
6.答案 26
解析 |AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16.
∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,
∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
7.B 由题意得双曲线的焦点在x轴上,且a2=3,b2=4,
∴半焦距c==,
∴双曲线的焦点坐标为(±,0).故选B.
8.D 由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.
由半焦距c=5,实半轴长a=3,知b2=16,
所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3).
故选D.
9.B 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),因为半焦距c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以点P的坐标为(,4).将P(,4)代入双曲线方程,得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-=1.故选B.
10.答案 x2-=1
解析 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3),
∴
解得或(舍去).
∴双曲线的标准方程为x2-=1.
11.答案 -=1
解析 设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则解得
故双曲线的标准方程为-=1.
12.解析 已知双曲线-=1,则c2=16+9=25,∴c=5.
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
∵所求双曲线与双曲线-=1共焦点,
∴b2=25-a2,
故所求双曲线方程可写为-=1.
∵点P在所求双曲线上,
∴-=1,
化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=.
当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,不合题意,舍去,
∴a2=1,b2=24,
∴所求双曲线的标准方程为x2-=1.
13.A 由题意知解得a=1.
14.A 由题意得(1+k)(1-k)>0,
所以(k-1)(k+1)<0,所以-1
15.B 原方程可化为+y2=1,因为ab<0,
所以<0,所以方程表示的曲线是双曲线,且焦点在y轴上.
16.答案 12
解析 ∵F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,∴可设F1(-3,0),F2(3,0),
∴|F1F2|=6,
∵|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴设|PF2|=x(x>0),则|PF1|=2x.
由双曲线的性质知2x-x=2,解得x=2.
∴|PF1|=4,|PF2|=2,
∴cos∠F1PF2==,
∴sin∠F1PF2=.
∴△PF1F2的面积为×4×2×=12.
能力提升练
1.B 依题意得,a2=16,b2=20,∴c2=36,从而c=6.
且|OM|=|OF2|=c=6,
由M是PF2的中点,O是F1F2的中点得,|PF1|=2|OM|=12.
∵P在双曲线的右支上,
∴|PF1|-|PF2|=2a=8,因此|PF2|=12-8=4,故选B.
2.C 延长F2M交PF1于Q,据题意得PM是线段F2Q的中垂线,即|PQ|=|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=8,又线段MO是△F2F1Q的中位线,所以|MO|=4.
3.B 依题意得,a=4,b=3,c==5.
设点P在双曲线的右支上,如图所示,
过F2作F2D⊥AF1于点D.易得四边形ABF2D为矩形.
∵|AF1|=|PF1|,|BF2|=|PF2|,∴|F1D|=|AF1|-|AD|=|AF1|-|BF2|=|PF1|-|PF2|=2a=8.
又∵|F1F2|=2c=10,
∴在Rt△F1DF2中,|F2D|===6,
∴|AB|=|F2D|=6.
4.答案 学生的解答不正确,|PF2|=17
解析 由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a,即|PF1|-|PF2|=±2a.正负号的取舍取决于点P的位置是在双曲线的左支上还是右支上.因为点(4,0)到左焦点(-6,0)的距离为10>9,所以点P只能在双曲线的左支上.
所以|PF2|=17.
5.D 由题意得,A(-1,1),B(1,-1),设P(x,y)(x≠±1),则kAP=,kBP=.
由kAP·kBP=,得x2-3y2=-2(x≠±1).
6.B 若曲线+=1是焦点在x轴上的双曲线,则m>0,n<0,因此mn<0;
若mn<0,可能有m<0,n>0的情况,此时双曲线的焦点在y轴上,因此“mn<0”是“曲线+=1是焦点在x轴上的双曲线”的必要而不充分条件.故选B.
7.C 根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,由于△ABF2为等边三角形,因此|AF2|=|AB|=|BF2|,①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,
则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,
所以双曲线的方程为x2-=1.
8.答案 -y2=1
解析 由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且|F1F2|=2c=2.
由双曲线的定义,知||PF1|-|PF2||=2a,得|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4a2.①
由·=0知PF1⊥PF2,∵|PF1|·|PF2|=2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20.
代入①式,解得a2=4.
又c=,∴b2=c2-a2=1,
∴双曲线的标准方程为-y2=1.
9.C 由双曲线的知识,不妨设C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,
而这两点恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,且两圆的半径分别是r2=1,r3=1,
所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.
故选C.
10.答案 5
解析 因为双曲线的一个焦点是(0,2),所以设双曲线的标准方程为-=1,a>0,b>0,又由题意得,双曲线的标准方程是-=1,所以a2=-3m,b2=-m,所以c2=-4m=4,即m=-1,所以椭圆方程是+x2=1,因为椭圆的焦距2c=4,所以c=2,所以n-1=4,解得n=5.
11.答案
解析 因为点(x,y)在双曲线-y2=1上,所以=1+y2,
则3x2-2y=3(1+y2)×4-2y=12y2-2y+12,令f(y)=12y2-2y+12,则二次函数的图象的对称轴为y=,结合二次函数的图象及性质可知,当y=时,f(y)最小,为.
12.解析 设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,
因为=r1r2sin θ,θ已知,
所以只需求r1r2即可.
(1)当θ=90°时,=r1r2sin θ=r1r2.由双曲线方程知a=2,b=3,c=,
由双曲线的定义,得r1-r2=2a=4,
两边平方,得+-2r1r2=16,
又+=|F1F2|2,
即|F1F2|2-4=16,
也即52-16=4,
求得=9.
(2)若∠F1MF2=120°,则在△F1MF2中,
|F1F2|2=+-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,
求得=r1r2sin 120°=3.
同理,可求得∠F1MF2=60°时,=9.