3.3.2双曲线 综合拔高练 同步练习（Word版含解析）

3.2综合拔高练
五年高考练
考点1　双曲线的标准方程及其应用
1.(2018浙江,2,4分,)双曲线-y2=1的焦点坐标是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-,0),(,0) B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-),(0,) D.(0,-2),(0,2)
2.(2016课标全国Ⅰ,5,5分,)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(　　)
A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,)
考点2　双曲线的几何性质
3.(2017课标全国Ⅰ文,5,5分,)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(　　)
A. B. C. D.
4.(2019浙江,2,4分,)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(　　)
A. B.1 C. D.2
5.(2019课标全国Ⅲ,10,5分,)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(　　)
A. B. C.2 D.3
6.(2018课标全国Ⅲ,11,5分,)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(　　)
A. B.2 C. D.
7.(2019课标全国Ⅱ,11,5分,)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.
8.(2018课标全国Ⅰ,11,5分,)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(　　)
A. B.3 C.2 D.4
9.(2019江苏,7,5分,)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是　　　　.
10.(2017课标全国Ⅲ文,14,5分,)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=　　　　.
11.(2017课标全国Ⅰ理,15,5分,)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为　　　　.
12.(2019课标全国Ⅰ,16,5分,)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为　　　　.
13.(2018北京,14,5分,)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为　　　　;双曲线N的离心率为　　　　.
考点3　直线与双曲线的位置关系
14.(2018天津,7,5分,)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
三年模拟练
应用实践
1.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)过点(2,-2)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
2.(2020四川成都高二上期末,)若m为实数,则“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2020河北保定高二上期末,)设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线上存在一点P,使∠PF2F1=,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
4.(2020河北石家庄二中高二上期中,)双曲线-=1(a>0,b>0)是等轴双曲线,点P为其右支上一动点,若点P到直线x-y+1=0的距离大于m恒成立,则实数m的最大值为　　　　.
5.(2020河南濮阳高二上期末,)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　.
6.(2020湖北省实验学校、武汉一中等六校高二上期末联考,)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥FB,设∠ABF=θ,且θ∈,则双曲线C离心率的取值范围是　　　　.
7.(2020四川雅安高二上期末检测,)已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48,求此双曲线的方程.
迁移创新
8.(2020安徽六安一中高三上模拟,)双曲线C:ax2-by2=1(a>0,b>0)的虚轴长为1,两条渐近线方程为y=±x.
(1)求双曲线C的方程;
(2)如图1,双曲线C上有两个点D、E,直线OD和OE的斜率之积为1,判断+是不是定值;
(3)如图2,经过点P(t,0)的直线n与双曲线C有两个交点M,N,直线n的倾斜角是θ,θ ,是否存在直线l0:x=x0,使得=恒成立(其中dM,dN分别是点M,N到l0的距离) 若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
五年高考练
1.B　∵a2=3,b2=1,∴c==2.
又∵焦点在x轴上,
∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).
2.A　∵原方程表示双曲线,且焦距为4,
∴①
或②
由①得m2=1,∴n∈(-1,3).②无解.故选A.
3.D　易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.
∵PF⊥x轴,
∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),
∴|AP|=1,AP⊥PF,
∴S△APF=×3×1=.故选D.
4.C　∵渐近线方程为y=±x,∴a=b,
∴c=a,∴e==,
故选C.
5.A　由双曲线的方程为-=1,知a=2,b=,故c==,渐近线的方程为y=±x.
不妨设点P在第一象限,作PQ⊥OF于Q,如图,
∵|PO|=|PF|,∴Q为OF的中点,
∴|OQ|=.
令∠POF=θ,由tan θ=得|PQ|=|OQ|·tan θ=×=.
∴△PFO的面积S=|OF|·|PQ|=××=.故选A.
6.C　点F2(c,0)到渐近线y=x的距离|PF2|==b(b>0),而|OF2|=c,所以在Rt△OPF2中,由勾股定理可得|OP|==a,所以|PF1|=|OP|=a.
在Rt△OPF2中,cos∠PF2O==,
在△F1F2P中,
cos∠PF2O==,
所以= 3b2=4c2-6a2,
则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得=(负值舍去),即e=.故选C.
7.A　如图,∵|PQ|=|OF|=c,∴PQ过点.
∴P.
又∵|OP|=a,∴a2=+=,
∴=2,∴e==.故选A.
8.B　由双曲线C:-y2=1可知其渐近线方程为y=±x,∴∠MOx=30°,∴∠MON=60°,不妨设∠OMN=90°,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,
∴|OM|=,则在Rt△OMN中,|MN|=|OM|·tan∠MON=3.故选B.
9.答案　y=±x
解析　由双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),得9-=1,
解得b=±,又b>0,所以b=,
易知双曲线的焦点在x轴上,
故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
10.答案　5
解析　由题意可得=,
所以a=5.
11.答案　
解析　解法一:不妨设点M、N在渐近线y=x上,如图,△AMN为等边三角形,且|AM|=b,
则A点到渐近线y=x的距离为b,又将y=x变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近线bx-ay=0的距离d==,所以=b,即=,
所以双曲线的离心率e==.
解法二:不妨设点M、N在渐近线y=x上,如图,作AC垂直于MN,垂足为C,
由题意知点A的坐标为(a,0),则|AC|==,在△ACN中,∠CAN=∠MAN=30°,|AN|=b,所以cos∠CAN=cos 30°=====,所以离心率e==.
12.答案　2
解析　双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,
∵·=0,∴F1B⊥F2B,
∴点B在☉O:x2+y2=c2上,如图所示,
不妨设点B在第一象限,由得点B(a,b),
∵=,∴点A为线段F1B的中点,
∴A,将其代入y=-x得=×,解得c=2a,
故e==2.
13.答案　-1;2
解析　解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭圆M的两个焦点.
∵直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=x,
∴=.设m=k,则n=k,则双曲线N的离心率e2==2.
连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得∠F1CF2=90°,∠CF1F2=30°.
设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|=c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即(+1)c=2a,∴椭圆M的离心率e1====-1.
解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为,代入椭圆M的方程,并结合a,b,c的关系,联立得方程组解得=-1.
14.C　∵双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,
∴e2=1+=4,∴=3,即b2=3a2,
∴c2=a2+b2=4a2,
由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),
∵=3,∴渐近线方程为y=±x,
则点A与点B到直线x-y=0的距离分别为d1==a,d2==a,又∵d1+d2=6,
∴a+a=6,解得a=,∴b2=9.∴双曲线的方程为-=1,故选C.
三年模拟练
1.A　因为所求双曲线与双曲线-y2=1有相同渐近线,
所以设其方程为-y2=t(t≠0),
又点(2,-2)在双曲线上,
所以-(-2)2=t,解得t=-2,
则双曲线方程为-=1.
故选A.
2.A　若方程+=1表示双曲线,
则m(m-2)<0,得0由1由0则“13.C　因为点P在双曲线-=1(a>0,b>0)上,且|PF1|=4|PF2|,
所以|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF1|=,|PF2|=,
因为∠PF2F1=,
所以+=,
即+(2c)2=,
整理得c2=a2,
所以离心率e==.故选C.
4.答案　
解析　依题意得a=b,则双曲线方程为x2-y2=a2,其渐近线方程为y=±x,设直线x-y=0与直线x-y+1=0的距离为d1,则d1==,
设P到直线x-y+1=0的距离为d,则d>d1.
∴d>m恒成立 d1≥m,即m≤.
故m的最大值为.
5.答案　32
解析　根据题意,得双曲线C:-=1的左焦点F(-,0),虚轴长为6,所以点A(,0)是双曲线的右焦点,如图所示,
|PF|-|AP|=2a=4,①
|QF|-|QA|=2a=4,②
∵PQ的长等于虚轴长的2倍,∴|PQ|=12,由①+②得,|PF|+|QF|-|PQ|=8,
∴周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.故答案为32.
6.答案　(,+∞)
解析　设双曲线的左焦点为F',连接AF',BF',∵AF⊥FB,∴可得四边形AFBF'为矩形,如图.
设|AF|=m,|BF|=n,则有|AF'|=|BF|=n,且m2+n2=4c2,n-m=2a,tan θ=,
∴e2======,
设t=tan θ,由θ∈得t∈(2-,1),则t+∈(2,4),可得∈,
即有1-∈,则∈(2,+∞),即有e∈(,+∞).
故答案为(,+∞).
7.解析　(1)由题易得,双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
则点F2到渐近线的距离为=b(其中c是双曲线的半焦距),
所以由题意知c+a=2b,因为a2+b2=c2,
所以b=a,故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.
(2)因为∠F1PF2=60°,
所以由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=,
即+-|PF1||PF2|=4c2①,
由双曲线的定义得,||PF1|-|PF2||=2a,
平方得,+-2|PF1||PF2|=4a2②,
①-②得,|PF1||PF2|=4c2-4a2=4b2,
根据三角形的面积公式得S=|PF1|·|PF2|sin 60°=×4b2=b2=48,
所以b2=48,由(1)中b=a得a2=b2=27,
故所求双曲线方程是-=1.
8.解析　(1)依题意得,==,即b=4,由渐近线方程得,=,因此a=12,
故双曲线的方程为12x2-4y2=1.
(2)设直线OD的斜率为k,显然k2<3且<3,则直线OD的方程为y=kx,由得=,
∴=|OD|2=(1+k2)=,
==,
∴+=+=8,
∴+是定值.
(3)设直线n的方程为y=m(x-t),m≠±,
由得(12-4m2)x2+8m2tx-(4m2t2+1)=0(*),
∵t>=,∴方程(*)总有两个不相等的解,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
当x1x2>0,即m2>3时,x1,x2均为正数,且x1>=,x2>=.
设x1∵t>,∴x0=<=,符合题意.
当x1x2<0,即m2<3时,x1,x2一正一负,设x1>0,则t>x1≥=,x2≤-=-.
由=得=,
整理得x0=.
∵t>,∴x0=<=,符合题意.
∴存在直线l0:x=x0使得=恒成立,此时x0=.