3.3.2抛物线的简单几何性质 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 3.3.2抛物线的简单几何性质 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 146.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-22 09:22:19 | ||
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文档简介
3.3.2 抛物线的简单几何性质
基础过关练
题组一 抛物线的几何性质及其运用
1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为( )
A.(-1,0) B.(0,-1)
C.(1,0) D.(0,1)
2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A.2 B.1 C.4 D.8
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
4.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是 ( )
A.x=-1 B.y=-1
C.x=-2 D.y=-2
5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为( )
A.2 B.4 C.6 D.4
6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为 .
题组二 直线与抛物线的位置关系
7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.0条
10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为( )
A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0
C.x-2y=0 D.x-y-1=0
11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点.
(1)求弦AB的长;
(2)求△FAB的面积.
12.(2020海南中学高二上期中)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点,O是坐标原点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
题组三 抛物线的综合运用
13.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致为( )
14.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为1,则p的值为( )
A.1 B. C.2 D.4
15.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )
A. B. C. D.3
16.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影分别为A1,B1,则∠A1FB1等于( )
A.90° B.45° C.60° D.120°
能力提升练
题组一 抛物线的几何性质及其运用
1.()设抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的倾斜角等于60°,那么|PF|等于( )
A.2 B.4 C. D.3
2.(多选)(2020山东淄博一中高二上期中,)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F.点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点M的坐标为( )
A.(0,-1) B.(0,-2)
C.(0,2) D.(0,1)
3.()若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为,则点M到该抛物线焦点的距离为 .
4.(2020北京通州高二上期末,)已知双曲线x2-=1,抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的一个焦点相同,点P(x0,y0)为抛物线上一点.
(1)求双曲线的焦点坐标;
(2)若点P到抛物线的焦点的距离是5,求x0的值.
题组二 直线与抛物线的位置关系
5.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k= ( )
A. B. C. D.
6.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中,)已知y2=x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,O为坐标原点,若·=12,则△AOB面积的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
7.(2020河南开封高二上期末联考,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x0,p)在抛物线C上,且|PF|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点,点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),O为坐标原点,若·=-(x1+x2),求直线l的方程.
题组三 抛物线的综合运用
8.(2020山东泰安高二上期末,)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(深度解析)
A. B.+1
C. D.-1
9.(多选)(2020山东烟台高二上期末学业水平诊断,)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,且|AF|=3|BF|,M为AB中点,则下列结论正确的是(深度解析)
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±
D.△AOB的面积为4
10.()设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线与抛物线交于A,B两点,点M满足=(+),过M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则点P的横坐标为 ,|AB|= .
11.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)已知O为坐标原点,点P(1,2)在抛物线C:y2=4x上,过点P作两直线分别交抛物线C于点A,B,若kPA+kPB=0,则kAB·kOP的值为 .
答案全解全析
基础过关练
1.D ∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),∴-=-1,即p=2,
∴抛物线的焦点坐标为(0,1).
2.C 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,因为P(6,y)为抛物线上的点,所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,所以6+=8,所以p=4,即焦点F到抛物线准线的距离等于4,故选C.
3.C 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,所以3+=4,解得p=2.
4.A 如图所示,过A作准线的垂线AC,过F作AC的垂线FB,垂足分别为C,B,由题意,得∠BFA=∠OFA-90°=30°,所以|AB|=|AF|·sin 30°=2,点A到准线的距离d=|AB|+|BC|=2+p=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1,故选A.
5.D 由题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.
设P,则M(-1,m),∴等边三角形的边长为1+,
又F(1,0),|PM|=|FM|,∴1+=,解得m=±2,
∴等边三角形的边长为4,其面积为4,故选D.
6.答案 y2=4x
解析 抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴5+=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
7.D 由条件知,直线y=x-1过抛物线的焦点,
将y=x-1代入抛物线方程y2=4x,整理得x2-6x+1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,
∴|AB|=x1+x2+2=8.
8.C 因为直线y=kx-k=k(x-1),
所以直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部,
所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;
当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
故选C.
9.C 易知过点(0,1),且斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与y2=4x联立并整理,得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程有一个解,即直线与抛物线只有一个公共点;当k≠0时,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C.
10.A 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则 (y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).
又AB的中点为M(2,1),
∴y1+y2=2,∴k==2,
因此直线AB的方程为y-1=2(x-2),
化简得2x-y-3=0,故选A.
11.解析 (1)联立消去y整理得x2-8x+4=0,其中Δ=64-4×4=48>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8,x1x2=4,
所以|x1-x2|==4,
所以|AB|=·|x1-x2|=×4=4.
(2)由题意得点F(1,0),
故点F到直线l的距离d==,
所以S△FAB =×|AB|×d=×4×=2.
12.解析 (1)证明:当k=0时,直线与抛物线仅一个交点,不合题意,∴k≠0.
由y=k(x+1),得x=-1,代入y2=-x,整理得,y2+y-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-,y1y2=-1.
∵点A,B在抛物线y2=-x上,
∴A(-,y1),B(-,y2),
∴kOA·kOB=·==-1,
∴OA⊥OB.
(2)设直线AB与x轴交于点E,则E(-1,0),
∴|OE|=1,
∴S△OAB=|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==,解得k=±.
13.D 解法一:将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为+=1与y2=-x.因为a>b>0,所以>>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.
解法二:方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0的曲线关于x轴对称,排除B,C;由解法一知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.
14.B 双曲线-x2=1的两条渐近线方程是y=±2x,∵抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-,∴A,B两点的纵坐标的差的绝对值是2p,又△AOB的面积为1,∴××2p=1,∴p=.故选B.
15.A 设抛物线y=-x2上一点为A(m,-m2),A点到直线4x+3y-8=0的距离d==,∴当m=时,d取得最小值,为.故选A.
16.A 如图,由抛物线的定义,知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,
所以∠AA1F=∠AFA1.
又∠AA1F=∠A1FO,
所以∠AFA1=∠A1FO.
同理∠BFB1=∠B1FO,
于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1,
故∠A1FB1=90°.故选A.
能力提升练
1.C 在△APF中,由抛物线的定义,可得|PA|=|PF|.∵|AF|sin 60°=4,∴|AF|=.过P作PB⊥AF于B,∵∠PAF=∠PFA=30°,∴|PF|==,故选C.
2.BC 设M(0,y),易知F,
则B,如图所示.
则|BB1|=+=,∴p=.
∴抛物线方程为y2=2x,且B,
又B在抛物线上,∴y2=2×,因此y2=4,解得y=±2.故选BC.
3.答案
解析 设点M,
∵|MO|=,∴+(y-0)2=3,
∴y2=2或y2=-6(舍去),∴x==1.
∴M到抛物线y2=2x的准线x=-的距离d=1-=.
∵点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=2x的准线的距离,
∴点M到该抛物线焦点的距离为,故答案为.
4.解析 (1)因为双曲线的方程为x2-=1,
所以a2=1,b2=3.
所以c2=a2+b2=4.所以c=2.
所以双曲线的焦点坐标分别为(-2,0),(2,0).
(2)因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的一个焦点相同,
所以抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(2,0),所以p=4.
因为点P(x0,y0)为抛物线上一点,
所以点P(x0,y0)到抛物线的焦点的距离等于点P(x0,y0)到抛物线的准线x=-2的距离.
因为点P到抛物线的焦点的距离是5,即x0+2=5,所以x0=3.
5.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,
因为|FA|=2|FB|,所以x1+2=2(x2+2),
因为=,所以y1=2y2,所以=4,即8x1=4×8x2,所以x1=4x2,与x1+2=2(x2+2)联立,解得x2=1,
所以y2=2,
因此k==,故选D.
6.B 设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),将x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,
根据根与系数的关系得y1y2=-m,y1+y2=t.
∵·=12,∴x1·x2+y1·y2=12,又x1x2=,∴(y1·y2)2+y1·y2-12=0,令y1y2=u,则u2+u-12=0,解得u=-4或u=3,∵点A,B位于x轴的两侧,∴u=y1·y2=-4,故m=4.
故直线AB所过的定点坐标是(4,0),
故△AOB的面积S=×4×|y1-y2|=2×=2≥8,
当t=0时,直线AB垂直于x轴,△AOB的面积取得最小值,为8,故选B.
7.解析 (1)由点P(x0,p)在抛物线C上,得(p)2=2px0,解得x0=p,
由抛物线定义得,|PF|=x0+==3,解得p=2,
故抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为x=my+1,
联立消去x,得y2-4my-4=0,
故y1+y2=4m,y1y2=-4,
所以x1x2=×==1,x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=4m2+2,
则·=-(x1+x2)=x1x2+y1y2=-3,即4m2+2=3,解得m=±,
所以所求直线l的方程为y=2x-2或y=2-2x.
8.B 由x2=4y,得p=2,
∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,
从而A(0,-1),如图所示.设∠PAQ=θ.
∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,
∴m===.
结合图形知,当AP与抛物线相切时,sin θ最小,从而m最大.
设直线AP的方程为y=kx-1(k≠0),
由得x2-4kx+4=0,
令Δ=16k2-16=0,解得k=±1,
不妨取k=1,得P点坐标为(2,1).
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
在双曲线-=1(a>0,b>0)中,2c=2,即c=1,
2a=|PA|-|PB|=2-2 a=-1,
∴离心率e===+1,故选B.
解题模板 在解决圆锥曲线问题时,对条件的运用,可用代数法,借助方程的手段解决问题;也可用几何法,利用几何性质、几何图形解决问题.如本题中条件“|PA|=m|PB|”就是借助图形,利用几何性质解决问题,简化运算.
9.AC 由y2=4x,得2p=4,即p=2,
∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.
设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y2-4my-4=0,
∴y1+y2=4m,y1·y2=-4,
从而x1+x2=4m2+2,x1·x2=1.
又|AF|=3|BF|,∴x1+=3,即x1=3x2+2.
因此x2=m2,且3+2x2-1=0 x2=或x2=-1(舍去).
∴m2=,∴m=±,即直线AB的斜率为±,C正确;
选项A中,C(-1,y1),D(-1,y2),
∴·=4+y1y2=4-4=0,从而∠CFD=90°,A正确;
选项B中,M(2m2+1,2m),
∴·=4(m2+1)2+4m2-2m(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=,结合图形知△CMD不是直角三角形,B错误;
选项D中,S△AOB=|OF||y1-y2|==,D错误.故选AC.
陷阱分析 解决多选题时,先明确条件的含义,如本题中,由条件“|AF|=3|BF|”可以确定直线的方程,得到选项C正确,进而可以将变化的问题化为确定的问题,简化运算.解题时避免将选项逐一验证,增加运算难度.
10.答案 1;8
解析 由y2=4x,得2p=4,∴p=2.
因此F(1,0),准线l:x=-1.如图所示.
设P(x0,y0),则|PF|=x0+1=2 x0=1.
由P在抛物线上知,=4x0=4,
∴y0=±2.
不妨取y0=2,得P(1,2).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵=(+),
∴M为线段AB的中点,
∴M.
∵A,B均为抛物线上的点,
∴=4x1,=4x2,
从而(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).
又=2,
∴y1+y2=4.
因此kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-1.
由得x2-6x+1=0,
∴x1+x2=6,因此|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
11.答案 -2
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则kAB===,
kPA===,同理kPB=.
∵kPA+kPB=0,∴+=0,得y1+y2=-4,∴kAB==-1.
又kOP==2,
∴kAB·kOP=-1×2=-2.
基础过关练
题组一 抛物线的几何性质及其运用
1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为( )
A.(-1,0) B.(0,-1)
C.(1,0) D.(0,1)
2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A.2 B.1 C.4 D.8
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
4.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是 ( )
A.x=-1 B.y=-1
C.x=-2 D.y=-2
5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为( )
A.2 B.4 C.6 D.4
6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为 .
题组二 直线与抛物线的位置关系
7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.0条
10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为( )
A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0
C.x-2y=0 D.x-y-1=0
11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点.
(1)求弦AB的长;
(2)求△FAB的面积.
12.(2020海南中学高二上期中)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点,O是坐标原点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
题组三 抛物线的综合运用
13.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致为( )
14.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为1,则p的值为( )
A.1 B. C.2 D.4
15.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )
A. B. C. D.3
16.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影分别为A1,B1,则∠A1FB1等于( )
A.90° B.45° C.60° D.120°
能力提升练
题组一 抛物线的几何性质及其运用
1.()设抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的倾斜角等于60°,那么|PF|等于( )
A.2 B.4 C. D.3
2.(多选)(2020山东淄博一中高二上期中,)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F.点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点M的坐标为( )
A.(0,-1) B.(0,-2)
C.(0,2) D.(0,1)
3.()若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为,则点M到该抛物线焦点的距离为 .
4.(2020北京通州高二上期末,)已知双曲线x2-=1,抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的一个焦点相同,点P(x0,y0)为抛物线上一点.
(1)求双曲线的焦点坐标;
(2)若点P到抛物线的焦点的距离是5,求x0的值.
题组二 直线与抛物线的位置关系
5.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k= ( )
A. B. C. D.
6.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中,)已知y2=x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,O为坐标原点,若·=12,则△AOB面积的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
7.(2020河南开封高二上期末联考,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x0,p)在抛物线C上,且|PF|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点,点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),O为坐标原点,若·=-(x1+x2),求直线l的方程.
题组三 抛物线的综合运用
8.(2020山东泰安高二上期末,)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(深度解析)
A. B.+1
C. D.-1
9.(多选)(2020山东烟台高二上期末学业水平诊断,)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,且|AF|=3|BF|,M为AB中点,则下列结论正确的是(深度解析)
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±
D.△AOB的面积为4
10.()设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线与抛物线交于A,B两点,点M满足=(+),过M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则点P的横坐标为 ,|AB|= .
11.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)已知O为坐标原点,点P(1,2)在抛物线C:y2=4x上,过点P作两直线分别交抛物线C于点A,B,若kPA+kPB=0,则kAB·kOP的值为 .
答案全解全析
基础过关练
1.D ∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),∴-=-1,即p=2,
∴抛物线的焦点坐标为(0,1).
2.C 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,因为P(6,y)为抛物线上的点,所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,所以6+=8,所以p=4,即焦点F到抛物线准线的距离等于4,故选C.
3.C 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,所以3+=4,解得p=2.
4.A 如图所示,过A作准线的垂线AC,过F作AC的垂线FB,垂足分别为C,B,由题意,得∠BFA=∠OFA-90°=30°,所以|AB|=|AF|·sin 30°=2,点A到准线的距离d=|AB|+|BC|=2+p=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1,故选A.
5.D 由题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.
设P,则M(-1,m),∴等边三角形的边长为1+,
又F(1,0),|PM|=|FM|,∴1+=,解得m=±2,
∴等边三角形的边长为4,其面积为4,故选D.
6.答案 y2=4x
解析 抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴5+=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
7.D 由条件知,直线y=x-1过抛物线的焦点,
将y=x-1代入抛物线方程y2=4x,整理得x2-6x+1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,
∴|AB|=x1+x2+2=8.
8.C 因为直线y=kx-k=k(x-1),
所以直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部,
所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;
当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
故选C.
9.C 易知过点(0,1),且斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与y2=4x联立并整理,得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程有一个解,即直线与抛物线只有一个公共点;当k≠0时,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C.
10.A 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则 (y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).
又AB的中点为M(2,1),
∴y1+y2=2,∴k==2,
因此直线AB的方程为y-1=2(x-2),
化简得2x-y-3=0,故选A.
11.解析 (1)联立消去y整理得x2-8x+4=0,其中Δ=64-4×4=48>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8,x1x2=4,
所以|x1-x2|==4,
所以|AB|=·|x1-x2|=×4=4.
(2)由题意得点F(1,0),
故点F到直线l的距离d==,
所以S△FAB =×|AB|×d=×4×=2.
12.解析 (1)证明:当k=0时,直线与抛物线仅一个交点,不合题意,∴k≠0.
由y=k(x+1),得x=-1,代入y2=-x,整理得,y2+y-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-,y1y2=-1.
∵点A,B在抛物线y2=-x上,
∴A(-,y1),B(-,y2),
∴kOA·kOB=·==-1,
∴OA⊥OB.
(2)设直线AB与x轴交于点E,则E(-1,0),
∴|OE|=1,
∴S△OAB=|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==,解得k=±.
13.D 解法一:将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为+=1与y2=-x.因为a>b>0,所以>>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.
解法二:方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0的曲线关于x轴对称,排除B,C;由解法一知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.
14.B 双曲线-x2=1的两条渐近线方程是y=±2x,∵抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-,∴A,B两点的纵坐标的差的绝对值是2p,又△AOB的面积为1,∴××2p=1,∴p=.故选B.
15.A 设抛物线y=-x2上一点为A(m,-m2),A点到直线4x+3y-8=0的距离d==,∴当m=时,d取得最小值,为.故选A.
16.A 如图,由抛物线的定义,知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,
所以∠AA1F=∠AFA1.
又∠AA1F=∠A1FO,
所以∠AFA1=∠A1FO.
同理∠BFB1=∠B1FO,
于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1,
故∠A1FB1=90°.故选A.
能力提升练
1.C 在△APF中,由抛物线的定义,可得|PA|=|PF|.∵|AF|sin 60°=4,∴|AF|=.过P作PB⊥AF于B,∵∠PAF=∠PFA=30°,∴|PF|==,故选C.
2.BC 设M(0,y),易知F,
则B,如图所示.
则|BB1|=+=,∴p=.
∴抛物线方程为y2=2x,且B,
又B在抛物线上,∴y2=2×,因此y2=4,解得y=±2.故选BC.
3.答案
解析 设点M,
∵|MO|=,∴+(y-0)2=3,
∴y2=2或y2=-6(舍去),∴x==1.
∴M到抛物线y2=2x的准线x=-的距离d=1-=.
∵点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=2x的准线的距离,
∴点M到该抛物线焦点的距离为,故答案为.
4.解析 (1)因为双曲线的方程为x2-=1,
所以a2=1,b2=3.
所以c2=a2+b2=4.所以c=2.
所以双曲线的焦点坐标分别为(-2,0),(2,0).
(2)因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的一个焦点相同,
所以抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(2,0),所以p=4.
因为点P(x0,y0)为抛物线上一点,
所以点P(x0,y0)到抛物线的焦点的距离等于点P(x0,y0)到抛物线的准线x=-2的距离.
因为点P到抛物线的焦点的距离是5,即x0+2=5,所以x0=3.
5.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,
因为|FA|=2|FB|,所以x1+2=2(x2+2),
因为=,所以y1=2y2,所以=4,即8x1=4×8x2,所以x1=4x2,与x1+2=2(x2+2)联立,解得x2=1,
所以y2=2,
因此k==,故选D.
6.B 设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),将x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,
根据根与系数的关系得y1y2=-m,y1+y2=t.
∵·=12,∴x1·x2+y1·y2=12,又x1x2=,∴(y1·y2)2+y1·y2-12=0,令y1y2=u,则u2+u-12=0,解得u=-4或u=3,∵点A,B位于x轴的两侧,∴u=y1·y2=-4,故m=4.
故直线AB所过的定点坐标是(4,0),
故△AOB的面积S=×4×|y1-y2|=2×=2≥8,
当t=0时,直线AB垂直于x轴,△AOB的面积取得最小值,为8,故选B.
7.解析 (1)由点P(x0,p)在抛物线C上,得(p)2=2px0,解得x0=p,
由抛物线定义得,|PF|=x0+==3,解得p=2,
故抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为x=my+1,
联立消去x,得y2-4my-4=0,
故y1+y2=4m,y1y2=-4,
所以x1x2=×==1,x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=4m2+2,
则·=-(x1+x2)=x1x2+y1y2=-3,即4m2+2=3,解得m=±,
所以所求直线l的方程为y=2x-2或y=2-2x.
8.B 由x2=4y,得p=2,
∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,
从而A(0,-1),如图所示.设∠PAQ=θ.
∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,
∴m===.
结合图形知,当AP与抛物线相切时,sin θ最小,从而m最大.
设直线AP的方程为y=kx-1(k≠0),
由得x2-4kx+4=0,
令Δ=16k2-16=0,解得k=±1,
不妨取k=1,得P点坐标为(2,1).
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
在双曲线-=1(a>0,b>0)中,2c=2,即c=1,
2a=|PA|-|PB|=2-2 a=-1,
∴离心率e===+1,故选B.
解题模板 在解决圆锥曲线问题时,对条件的运用,可用代数法,借助方程的手段解决问题;也可用几何法,利用几何性质、几何图形解决问题.如本题中条件“|PA|=m|PB|”就是借助图形,利用几何性质解决问题,简化运算.
9.AC 由y2=4x,得2p=4,即p=2,
∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.
设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y2-4my-4=0,
∴y1+y2=4m,y1·y2=-4,
从而x1+x2=4m2+2,x1·x2=1.
又|AF|=3|BF|,∴x1+=3,即x1=3x2+2.
因此x2=m2,且3+2x2-1=0 x2=或x2=-1(舍去).
∴m2=,∴m=±,即直线AB的斜率为±,C正确;
选项A中,C(-1,y1),D(-1,y2),
∴·=4+y1y2=4-4=0,从而∠CFD=90°,A正确;
选项B中,M(2m2+1,2m),
∴·=4(m2+1)2+4m2-2m(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=,结合图形知△CMD不是直角三角形,B错误;
选项D中,S△AOB=|OF||y1-y2|==,D错误.故选AC.
陷阱分析 解决多选题时,先明确条件的含义,如本题中,由条件“|AF|=3|BF|”可以确定直线的方程,得到选项C正确,进而可以将变化的问题化为确定的问题,简化运算.解题时避免将选项逐一验证,增加运算难度.
10.答案 1;8
解析 由y2=4x,得2p=4,∴p=2.
因此F(1,0),准线l:x=-1.如图所示.
设P(x0,y0),则|PF|=x0+1=2 x0=1.
由P在抛物线上知,=4x0=4,
∴y0=±2.
不妨取y0=2,得P(1,2).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵=(+),
∴M为线段AB的中点,
∴M.
∵A,B均为抛物线上的点,
∴=4x1,=4x2,
从而(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).
又=2,
∴y1+y2=4.
因此kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-1.
由得x2-6x+1=0,
∴x1+x2=6,因此|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
11.答案 -2
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则kAB===,
kPA===,同理kPB=.
∵kPA+kPB=0,∴+=0,得y1+y2=-4,∴kAB==-1.
又kOP==2,
∴kAB·kOP=-1×2=-2.