3.3抛物线 综合拔高练（Word版含解析）

3.3综合拔高练
考点1　抛物线的定义及其标准方程
1.(2016课标全国Ⅰ,10,5分,)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.4 C.6 D.8
2.(2016浙江,9,4分,)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　.
3.(2017课标全国Ⅱ,16,5分,)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=　　　　.
考点2　抛物线的几何性质
4.(2019课标全国Ⅱ,8,5分,)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.3 C.4 D.8
5.(2019天津,5,5分,)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.
考点3　直线与抛物线的位置关系
6.(2018课标全国Ⅰ,8,5分,)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
7.(2017课标全国Ⅱ文,12,5分,)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　)
A. B.2
C.2 D.3
8.(2017课标全国Ⅰ,10,5分,)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(深度解析)
A.16 B.14 C.12 D.10
9.(2018课标全国Ⅲ,16,5分,)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=　　　　.
10.(2019课标全国Ⅰ,19,12分,)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
11.(2019课标全国Ⅲ,21,12分,)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点;
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.
深度解析
三年模拟练
应用实践
1.(2020北京通州高二上期末,)已知直线y=x-1交抛物线y2=2x于A,B两点,点O为坐标原点,那么△OAB的面积是(深度解析)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
2.(2020福建漳平一中高二上期中,)已知F是抛物线x2=y的焦点,A、B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到x轴的距离为(　　)
A. B.1 C. D.
3.(2020山东烟台高二上期末学业水平诊断,)设抛物线y2=8x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于点A,B,与圆x2+y2-4x+3=0交于点P,Q,其中点A,P在第一象限,则2|AP|+|QB|的最小值为(　　)
A.2+3 B.2+5
C.4+5 D.4+3
4.(2020河南濮阳高二上期末,)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与圆C':x2+=3交于M,N两点,若|MN|=,则△MNF的面积为(　　)
A. B. C. D.
5.(2020河南洛阳高二上期末联考,)已知抛物线y2=2x的焦点为F,点P是抛物线上一点,且满足|PF|=,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为M,则△MPF的内切圆的周长为(　　)
A. B.(5-)π
C.(30-10)π D.π
6.(多选)(2020山东菏泽高二上期末,)已知A、B两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AP、BP相交于点P,且两直线的斜率之积为实数m,则下列结论正确的是(　　)
A.当m=-1时,点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)
B.当-1C.当0D.当m>1时,点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)
7.(多选)()抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点P(x1,y1)反射后,再经抛物线上另一点Q(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,则下列结论中正确的是(　　)
A.x1x2=1 B.kPQ=-
C.|PQ|= D.l1与l2之间的距离为4
8.()已知直线y=x-4与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,则p=　　　　.
9.(2020福建厦门外国语学校高二上期中,)如图,过抛物线y=x2的焦点F的直线交抛物线与圆x2+(y-1)2=1于A,B,C,D四点,则|AB|·|CD|=　　　　.
10.(2020重庆一中高二上期中,)设抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点,过AB的中点M作y轴的垂线,与抛物线在第一象限内交于点P,若|PF|=,则直线l的方程为　　　　　　.
11.(2020山东济宁实验中学高二上期中,)设F为抛物线C:y2=2x的焦点,A,B是抛物线C上的两个动点,O为坐标原点.
(1)若直线AB经过焦点F,|AB|=,求直线AB的方程;
(2)若OA⊥OB,求|OA|·|OB|的最小值.
12.(2020山东烟台高二上期末学业水平诊断,)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,|AB|=8.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知P(x0,-1)为抛物线上一点,M,N为抛物线上异于P的两点,且满足kPM·kPN=-2,试探究直线MN是否过一定点 若是,求出此定点;若不是,说明理由.
13.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)已知动圆P过点F且与直线y=-相切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若A,B是曲线C上的两个点,且直线AB过△OAB的外心,其中O为坐标原点,求证:直线AB过定点.
14.()如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程;
(2)求的最小值及此时点G的坐标.
迁移创新
15.(2020山东潍坊高二上期末,)给出下列条件:①焦点在x轴上;②焦点在y轴上;③抛物线上横坐标为1的点M到其焦点F的距离等于2;④抛物线的准线方程是x=-2.
(1)对于顶点在原点O的抛物线C,从以上四个条件中选出两个适当的条件,使得抛物线C的方程是y2=4x,并说明理由;
(2)过点(4,0)的任意一条直线l与C:y2=4x交于A,B两点,试探究是否总有⊥ 请说明理由.
答案全解全析
五年高考练
1.B　不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2),
则x1==.
由题意可知|OA|=|OD|,
∴+8=+5,解得p=4.故选B.
2.答案　9
解析　设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,∴x0=9,即点M到y轴的距离为9.
3.答案　6
解析　如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.
4.D　∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为,∴椭圆+=1的一个焦点为,∴3p-p=,
又p>0,∴p=8.
5.D　如图,由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,
∵|AB|=4|OF|=4,∴A(-1,2),又点A在直线y=-x上,
∴2=-·(-1),∴=2,
∴双曲线的离心率e===.故选D.
6.D　设M(x1,y1),N(x2,y2).由已知可得直线的方程为y=(x+2),即x=y-2,由得y2-6y+8=0.
由根与系数的关系可得y1+y2=6,y1y2=8,∴x1+x2=(y1+y2)-4=5,x1x2==4,∵F(1,0),∴·=(x1-1)·(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8,故选D.
7.C　因为直线MF的斜率为,所以直线MF的倾斜角为60°,则∠FMN=60°.由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以△MNF为等边三角形.过F作FH⊥MN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1,所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|=+2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|·sin 60°=4×=2.
8.A　如图所示,设直线AB的倾斜角为θ,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1,
则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,过点F向AA1引垂线FG,得==cos θ,
则|AF|=,同理,|BF|=,
则|AB|=|AF|+|BF|=,即|AB|=,
因为l1与l2垂直,所以直线DE的倾斜角为θ+或θ-,
则|DE|=,则|AB|+|DE|=+===,
则易知|AB|+|DE|的最小值为16.
故选A.
方法总结　利用几何方法求抛物线的焦半径.
如图,在抛物线y2=2px(p>0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的夹角为θ,
则在△FEA中,cos θ=cos∠EAF==,
则可得到焦半径|AF|=,同理,|BF|=,
熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:+=等有很大帮助.
9.答案　2
解析　解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x=+1,设A,B,将直线方程与抛物线方程联立得整理得y2-y-4=0,从而得y1+y2=,y1·y2=-4.
∵M(-1,1),∠AMB=90°,
∴·=0,即·+(y1-1)(y2-1)=0,
即k2-4k+4=0,解得k=2.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
②-①得-=4(x2-x1),从而k==.
设AB的中点为M',连接MM'.∵直线AB过抛物线y2=4x的焦点,
∴以线段AB为直径的☉M'与准线l:x=-1相切.
∵M(-1,1),∠AMB=90°,
∴点M在准线l:x=-1上,同时在☉M'上,
∴准线l是☉M'的切线,切点为M,且M'M⊥l,即MM'与x轴平行,
∴点M'的纵坐标为1,即=1 y1+y2=2,
故k===2.
10.解析　设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.
从而-=,得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.
11.解析　(1)证明:依题意,可设AB:y=kx+b,D,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2).
联立消去y得x2-2kx-2b=0.
Δ=4k2+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=-2b.
又直线DA与抛物线相切,则x1=,
所以-2tx1-1=0,同理-2tx2-1=0.
所以2k=x1+x2=2t,-2b=x1·x2=-1,
所以k=t,b=,
则直线AB:y=tx+,必过定点.
(2)解法一:由(1)得直线AB的方程为y=tx+.
由可得x2-2tx-1=0.
于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.
设M为线段AB的中点,则M.
由于⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0,解得t=0或t=±1.
当t=0时,||=2,所求圆的方程为x2+=4;
当t=±1时,||=,所求圆的方程为x2+=2.
解法二:设M为线段AB的中点,由(1)可知M.
所以=(t,t2-2),=(t,t2),
又EM⊥FM,则t·t+(t2-2)·t2=0,
解得t=0或t=1或t=-1.
当t=0时,||=2,所求圆的方程为x2+=4;
当t=±1时,||=,所求圆的方程为x2+=2.
方法点拨　(1)求切点弦方程,可仿照过圆外一点作圆的两条切线,求切点弦的方法进行.
(2)切点是弦中点,利用关于弦中点的“点差法”,以及“过切点的半径垂直于该切线”,即可获得等量关系,进而求得圆的方程.
三年模拟练
1.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-4x+1=0.
∴x1+x2=4,x1x2=1,
∴|AB|=|x1-x2|·=×=2.
又点O到直线y=x-1的距离为=,
∴S△OAB=×2×=,故选C.
解题模板　解与三角形面积有关的问题,常用弦长公式结合点到直线的距离来解决.记住代数法中的弦长公式:|AB|=|x1-x2|·.
2.C　由抛物线方程x2=y得焦点F,准线方程为y=-.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=y1+,|BF|=y2+.
由|AF|+|BF|=3,得y1+y2=3-=.
设AB的中点为M(x0,y0),则y0==,
所以AB的中点到x轴的距离为y0=,故选C.
3.D　由抛物线方程,得p=4,因此F(2,0).
设直线l的方程为x=my+2,联立得y2-8my-16=0.
设A(x1,y1)(x1>0,y1>0),B(x2,y2)(x2>0,y2<0),则y1·y2=-16,
∴x1·x2=·==4,从而x2=.
又|AP|=x1+-1=x1+2-1=x1+1,|QB|=x2+-1=x2+2-1=x2+1,
∴2|AP|+|QB|=2x1+x2+3=2x1++3(x1>0).
因此2|AP|+|QB|≥2+3=4+3,当且仅当x1=时取等号.故选D.
4.B　由题意得圆C'过原点,所以原点是圆与抛物线的一个交点,不妨设为M,如图,
由于|C'M|=|C'N|=,|MN|=,∴C'M⊥C'N,
∴∠C'MN=,∠NOF=,
∴点N的坐标为(,),代入抛物线方程得=2p×,解得p=,
∴F,S△MNF=×|MF|×yN=××=.故选B.
5.A　如图,不妨设点P(x0,y0)在第一象限,则x0>0,y0>0,
由|PM|=|PF|得|PM|=x0+=x0+=,解得x0=2,此时=2x0=4,所以y0=2.
从而△MPF的面积S=·y0·|PM|=×2×=.
易知点M,F,所以|MF|=.
设△MPF的内切圆的半径为r,内心为点O',
则由S△O'MF+S△O'FP+S△O'MP=S△PMF,得×r=,解得r=.
所以△MPF的内切圆的周长为2π×=π,故选A.
6.ABD　由题意知直线AP、BP的斜率均存在.设点P的坐标为(x,y),则直线AP的斜率kAP=(x≠-1),直线BP的斜率kBP=(x≠1).
由已知得,×=m(x≠±1),
∴点P的轨迹方程为x2+=1(x≠±1),结合选项知ABD正确.
7.ABC　根据题意知,l1∥x轴,所以y1=1,又P在抛物线上,所以x1=,
根据抛物线的光学性质知,PQ过焦点F,又易知F(1,0),所以kPQ==-,故B正确;
因为kPQ=-,所以直线PQ的方程为y=-(x-1),与y2=4x联立,消去x得y2+3y-4=0,
所以y1+y2=-3,y1y2=-4,所以x1x2=×=1,故A正确;
|PQ|=|y1-y2|=·=,故C正确;
l1与l2之间的距离为|y1-y2|==5,故D错误.
故选ABC.
8.答案　2
解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程,得 y2=2p(y+4),
即y2-2py-8p=0,∴y1y2=-8p,∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,
又x1x2=·=16,∴16+(-8p)=0,解得p=2.
9.答案　 1
解析　易得抛物线的焦点为F(0,1),准线为y=-1,由题意得,直线的斜率存在,设直线方程为y=kx+1,将直线y=kx+1与y=x2联立得y2-(4k2+2)y+1=0,设A(xA,yA),D(xD,yD),则yAyD=1,∵|AB|=|AF|-1=yA+1-1=yA,|CD|=|DF|-1=yD+1-1=yD,∴|AB|·|CD|=1,故答案为1.
10.答案　x-y-=0
解析　由题意知F(1,0).设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),P(xp,yp).
∵点P在第一象限,∴m>0.
由得y2-4my-4=0.
∴y1+y2=4m,y1·y2=-4,
∴x1+x2=my1+1+my2+1=4m2+2,
从而得M(2m2+1,2m).
∴易得yp=2m,xp=m2,
|PF|=xp+1=,∴xp=,即m2=,又m>0,∴m=,
因此直线l的方程为x=y+1,
即x-y-=0.
11.解析　(1)由题意,得F,且直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y,得k2x2-(2+k2)x+=0.
所以x1+x2=,
所以|AB|=x1+x2+1=+1=,解得k=±2.
所以直线AB的方程为y=2x-1或y=-2x+1.
(2)因为A,B是抛物线C上的两点,所以设A,B,s≠0,t≠0,s≠t,
由OA⊥OB,得·=+st=0,所以st=-4或st=0(舍去),所以s=-.
所以点B的坐标为.
所以|OA|·|OB|=·=≥8,
当且仅当4t2=,即t=±2时,等号成立.因此|OA|·|OB|的最小值为8.
12.解析　(1)已知F,则直线AB的方程为y=x-,
联立消去y,得x2-3px+=0,所以xA+xB=3p,
因为|AB|=xA+xB+p=4p=8,所以2p=4,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)将P(x0,-1)代入y2=4x可得P,
不妨设直线MN的方程为x=my+t,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去x,得y2-4my-4t=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4t,Δ=16m2+16t,
由题意得kPM·kPN=×=×==-2,
化简可得,t=-m,
代入Δ=16m2+16t=16
=16+32>0,
此时直线MN的方程为x=m(y-1)+,
所以直线MN过定点.
13.解析　(1)设点P(x,y),则=,
平方并整理得x2=y,
∴曲线C的方程为x2=y.
(2)证明:由题意可知直线AB的斜率一定存在,否则不与曲线C有两个交点.
设AB的方程为y=kx+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立
得2x2-kx-m=0,其中Δ=k2+8m>0,
则x1+x2=,x1x2=-,
由x2=y,得y1=2,y2=2.
∴y1y2=2·2=4(x1x2)2=4×=m2.
∵直线AB过△AOB的外心,∴OA⊥OB.
∴·=x1x2+y1y2=0,
即-+m2=0,解得m=或m=0(舍去).
当m=时,满足Δ>0.
∴直线AB的方程为y=kx+,
∴直线AB过定点.
14.解析　(1)由题意得=1,即p=2.
所以抛物线的准线方程为x=-1.
(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0,则xA=t2.由于直线AB过F,故直线AB的方程为x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,故2tyB=-4,即yB=-,所以B.又由于xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-+yC=0,
得C,G.
所以直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).
由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.
从而=
=
==2-.
令m=t2-2,则m>0,
=2-=2-
≥2-
=1+.
当m=时,取得最小值1+,此时G(2,0).
15.解析　(1)选择①③.理由如下:
因为抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)在x轴上,所以条件①适合,条件②不适合.
又因为抛物线C:y2=4x的准线方程为x=-1,所以条件④不适合题意.
当选择条件③时,设M(xM,yM),则|MF|=xM+1=1+1=2,此时适合题意.
故选择条件①③时,可得抛物线C的方程是y2=4x.
(2)假设总有⊥,
由题意得直线l的斜率不为0,
设直线l的方程为x=ty+4,
由得,y2-4ty-16=0.
因为直线与抛物线交于不同两点,所以Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4t,y1y2=-16,
所以x1x2=(ty1+4)(ty2+4)
=t2y1y2+4t(y1+y2)+16
=-16t2+16t2+16=16,
所以·=x1x2+y1y2=16-16=0,
所以⊥.
综上所述,无论l如何变化,总有⊥.