第三章圆锥曲线的方程 达标检测（Word版含解析）

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C.1 D.
2.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),点P为椭圆C上一点,且|PF1|+|PF2|=10,那么椭圆C的短轴长是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
3.在平面直角坐标系Oxy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且·=2,则点P的轨迹方程为(　　)
A.x2+y2=2 B.x2-y2=2
C.x+y2=2 D.x-y2=2
4.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,且△F1PF2是直角三角形,则△F1PF2的面积为(　易错　)
A. B.
C.或8 D.或8
6.已知抛物线C:y2 =8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=3,则|QF|=(　　)
A. B. C.3 D.2
7.已知椭圆+y2=1(a>1)的上顶点为A,左顶点为B,点P为椭圆上任意一点,△PAB面积的最大值为+1,若点M(-,0),N(,0),且点Q为椭圆上任意一点,则+的最小值为(　　)
A.2 B.
C.3 D.3+2
8.设A,B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点,设过P的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点,且=2,则△BST的面积为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知方程mx2+ny2=1(m,n∈R),则(　　)
A.当mn>0时,方程表示椭圆
B.当mn<0时,方程表示双曲线
C.当m=0时,方程表示两条直线
D.方程表示的曲线不可能为抛物线
10.以下关于圆锥曲线的说法,不正确的是(　　)
A.设A,B为两个定点,k为非零常数,|||-|||=k,则动点P的轨迹为双曲线
B.过定圆O上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若=(+),则动点P的轨迹为椭圆
C.若曲线C:+=1为双曲线,则k<1或k>4
D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,这样的直线有2条
11.在平面直角坐标系Oxy中,动点P到两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离之积等于8,记点P的轨迹为曲线E,则(　　)
A.曲线E经过坐标原点
B.曲线E关于x轴对称
C.曲线E关于y轴对称
D.若点(x,y)在曲线E上,则-3≤x≤3
12.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|=2|PF2|,且△PF1F2的最小内角为30°,则(　　)
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为y=±x
C.∠PAF2=45°
D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(3,2)的双曲线方程为　　　　.
14.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则实数p的值为　　　　.
15.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围是　　　　.
16.已知M为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F(2,0)为该抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠MFO=120°,N(-2,0),则p=　　　,△MNF的面积为　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(1)求与双曲线-=1有相同焦点,且经过点(3,2)的双曲线的标准方程;
(2)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值.
18.(本小题满分12分)已知椭圆C的焦点为F1(0,-2)和F2(0,2),长轴长为2,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.
19.(本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)过(-1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=-4于点E,直线BF交直线x=-1于点D.是否存在这样的直线l,使得DE∥AF 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分12分)设M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l1:x=3的距离的比是常数.记点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过定点F的直线l2交曲线C于A,B两点,以O、A、B三点(O为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB,若点P刚好在曲线C上,求直线l2的方程.
21.(本小题满分12分)已知半椭圆+=1(y>0,a>b>0)和半圆x2+y2=b2(y≤0)组成曲线C.如图所示,半椭圆内切于矩形ABCD,CD与y轴交于点G,点P是半圆上异于A,B的任意一点.当点P位于点M处时,△AGP的面积最大.
(1)求曲线C的方程;
(2)连接PC,PD分别交AB于点E,F,求证:|AE|2+|BF|2为定值.
22.(本小题满分12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.
(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ面积的最小值.
答案全解全析
一、单项选择题
1.B　抛物线y2=4x的焦点为(1,0),到双曲线x2-=1的一条渐近线x-y=0的距离为=,故选B.
2.C　设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).
依题意得,2a=10,∴a=5,又c=3,
∴b2=a2-c2=16,即b=4,
因此椭圆的短轴长是2b=8,故选C.
3.B　设P(x,y),Q(x,-y),则·=(x,y)·(x,-y)=x2-y2=2,故选B.
4.A　设点P的横坐标为x,F1(-c,0),
∵线段PF1的中点在y轴上,
∴-c+x=0,∴x=c.
∴P与F2的横坐标相等,∴PF2⊥x轴.
∵∠PF1F2=30°,∴|PF2|=|PF1|,
∵|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF2|=a,
∴tan∠PF1F2===,
∴=,∴e==.故选A.
5.B　由题意得a2=10,b2=8,
∴c2=a2-b2=2,
设椭圆的上顶点为B,由c∠F1PF2≤∠F1BF2<90°,
因此PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2.
当PF1⊥F1F2时,|PF1|==,
∴=|F1F2||PF1|=×2×=,同理,当PF2⊥F1F2时,=.故选B.
易错警示　“△F1PF2是直角三角形”中没有说明哪个角是直角,解题时要先判断,若∠F1PF2可以是直角,本题有两解,否则仅有一解.
6.A　∵=3,∴点Q在P、F之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线的定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则=,即=,
∴|QM|=,即|QF|=.故选A.
7.B　由题意得直线AB的方程为y=x+1(a>1),
当△PAB的面积取得最大值时,
设过点P且与AB平行的切线方程为y=x+m(m≠1),
联立方程,得消去y,可得
2x2+2amx+a2m2-a2=0,
令Δ=4a2m2-8(a2m2-a2)=0,得m2=2,
易知m=-(正值舍去),所以切线的方程为y=x-,易得(0,-)为切线上的点.
设此时切线到直线AB的距离为d,
即(0,-)到直线AB的距离为d,
则d==,
又|AB|=,所以|AB|·d=+1,
解得a=2,则M(-,0),N(,0)分别为椭圆的左、右焦点,
所以|QM|+|QN|=2a=4,所以+=··(|QM|+|QN|)=1+++≥,
当且仅当|QM|=2|QN|时取等号.故+的最小值为.
8.A　双曲线x2-=1的左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),又P,∴直线PA的方程为x=-1,PB的方程为x=-+1,联立可得y2-=0,解得y=0或y=,将y=代入x=-1可得x=,即有M,
联立可得y2-y=0,
解得y=0或y=,将y=代入x=-+1,可得x=,即N.
设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得kMN=kQN,
即有=,
将M,N的坐标代入化简可得=,
解得s=2,即Q(2,0),
设过Q的直线方程为x=my+2,
联立得(3m2-1)y2+12my+9=0,
设S(x1,y1),T(x2,y2),可得y1+y2=-,y1y2=,Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立,
又=2,∴y1=-2y2,∴-2·=,
解得m2=,
可得S△BST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|=
=·=3·=.
故选A.
二、多项选择题
9.BD　当mn>0时,原方程整理得+=1,若m,n同负,或=,则方程不表示椭圆,A错误;当mn<0时,与异号,方程表示双曲线,B正确;当m=0时,方程是ny2=1,当n≤0时,方程无解,故C错误;无论m、n为何值,方程都不可能表示抛物线,D正确.故选BD.
10.ABD　根据双曲线的定义,必须有k<|AB|,动点P的轨迹才为双曲线,故A的说法不正确;∵=(+),∴P为弦AB的中点,故∠APO=90°,则动点P的轨迹为以线段AO为直径的圆,故B的说法不正确;显然C的说法正确;过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,这样的直线有3条,分别为直线x=0、y=1、y=x+1,故D的说法不正确.故选ABD.
11.BCD　设P(x,y),∵|PF1||PF2|=8,
∴·=8.
因此,(x2+y2+2x+1)(x2+y2-2x+1)=64.①
令x=0,y=0,则① 1=64,不成立,A错误;
以-y代替y,则① (x2+y2+2x+1)(x2+y2-2x+1)=64,方程不变,因此曲线E关于x轴对称,B正确;
以-x代替x,则① (x2+y2-2x+1)(x2+y2+2x+1)=64,方程不变,因此曲线E关于y轴对称,C正确;
由①得,(x2+y2+1)2-4x2=64,
从而x2+y2+1=≥x2+1,
∴x4+2x2+1≤4x2+64 x4-2x2-63≤0 (x2+7)(x2-9)≤0,又x2+7>0,
∴x2-9≤0,∴-3≤x≤3,D正确.
综上所述,选BCD.
12.ABD　依题意得,|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a.
又∵|F1F2|=2c,且a∴在△PF1F2中,PF2是最小的边,
∴∠PF1F2=30°,
∴4a2=4c2+16a2-2×2c×4a×,
整理得c2-2ac+3a2=0,即(c-a)2=0,∴c=a,
∴|F1F2|=2c=2a,b==a.
∴双曲线的离心率e===,A正确.
双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x,B正确.
根据前面的分析可知,△PF1F2为直角三角形,且∠PF2F1=90°,
若∠PAF2=45°,则|PF2|=|AF2|.
又知|PF2|=2a,
|AF2|=a+c=a+a=(1+)a≠|PF2|,
∴∠PAF2≠45°,C不正确.
直线x+2y-2=0,即y=-x+1,其斜率为-,-∈[-,],
∴直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点,D正确.故选ABD.
三、填空题
13.答案　-=1
解析　设所求的双曲线方程为-=λ(λ≠0),又点(3,2)在双曲线上,∴-=λ,解得λ=2.
故双曲线方程为-=1.
14.答案　6
解析　∵双曲线的方程为-=1,
∴a2=4,b2=5,可得c==3,
因此双曲线-=1的右焦点为F(3,0),
∵抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合,∴=3,解得p=6.
15.答案　
解析　不妨设焦点在x轴上,则椭圆的方程为+=1(a>b>0),焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),如图所示.
若点M满足·=0,则⊥,可得点M在以F1F2为直径的圆上运动,
∵满足·=0的点M总在椭圆内部,
∴以F1F2为直径的圆是椭圆内部的一个圆,即圆的半径小于椭圆的短半轴长.
由此可得b>c,即>c,解得a>c.
因此椭圆的离心率e=<,∴椭圆离心率的取值范围是.
16.答案　4;8
解析　由抛物线的焦点为F(2,0),得=2,解得p=4.
设抛物线y2=8x的准线为l,则l与x轴的交点即为N(-2,0),作MP⊥l于点P,FQ⊥MP于点Q.
∵∠MFO=120°,∴∠MFQ=30°,
∴|MQ|=|MF|.
由抛物线的定义可知,|MF|=|MP|,
∴|MQ|=|MP|-|PQ|=|MF|-p=·|MF|,即|MF|-4=|MF|,
∴|MF|=8,∴|MQ|=4,
∴|FQ|=4,∴S△MNF=|NF|×|FQ|=×4×4=8.
四、解答题
17.解析　(1)∵所求双曲线与双曲线-=1有相同焦点,
∴设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16),(2分)
∵双曲线过点(3,2),
∴-=1,
∴λ=4或λ=-14(舍).(4分)
∴所求双曲线方程为-=1.(5分)
(2)椭圆方程可化为+=1(m>0),(6分)
∵m-=>0,∴m>,(8分)
∴a2=m,b2=,c==,
由e=,得=,解得m=1.(10分)
18.解析　(1)依题意,椭圆的焦点在y轴上,设其方程为+=1(a>b>0).(1分)
易知c=2,a=,(3分)
又a2=b2+c2,∴b=1,(5分)
故椭圆C的标准方程为+x2=1.(6分)
(2)设A(x1,y1), B(x2,y2),且AB的中点为M(x0,y0),
由消去y,得6x2+4x-1=0.(8分)
故x1+x2=-,x1x2=-, (10分)
则x0=-,y0=x0+2=,
所以弦AB的中点M的坐标为.(11分)
|AB|=×|x1-x2|=×=×=.(12分)
19.解析　(1)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以1+=3,解得p=4,(2分)
所以y2=8x,(3分)
所以准线方程为x=-2.(4分)
(2)显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y,得k2x2+(2k2-8)·x+k2=0.(5分)
令Δ=-4k4>0,解得-由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=1.(6分)
解法一:直线BF的方程为y=(x-2),
又xD=-1,所以yD=,
所以D,(7分)
因为DE∥AF,所以直线DE与直线AF的斜率相等.(8分)
又E(-4,-3k),所以=.(8分)
整理得k=+,即k=+,(9分)
化简得1=+,
1= ,即x1+x2=7.(10分)
所以=7,整理得k2=,(11分)
解得k=±. 经检验,k=±符合题意.
所以存在这样的直线l,使得DE∥AF,直线l的方程为y=(x+1)或y=-(x+1). (12分)
解法二:因为DE∥AF,所以=,所以=.(9分)
整理得x1x2+(x1+x2)=8,即=7,(10分)
整理得k2=.(11分)
解得k=±,经检验,k=±符合题意.
所以存在这样的直线l,使得DE∥AF,直线l的方程为y=(x+1)或y=-(x+1).(12分)
20.解析　(1)由题意得,=,
则3[(x-1)2+y2]=(x-3)2,
即2x2+3y2=6,∴+=1,
故曲线C的方程为+=1.(4分)
(2)设直线l2的方程为x=my+1,P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x,
得(2m2+3)y2+4my-4=0.(5分)
则y1+y2=,x1+x2=m(y1+y2)+2=+2=,(7分)
∴x0=x1+x2=,y0=y1+y2=.(8分)
∵P(x0,y0)在椭圆+=1上,
∴+=1,即2m2+3=4,解得m=±.(10分)
∴直线l2的方程为x=y+1或x=-y+1,即x-y-=0或x+y-=0.(12分)
21.解析　(1)因为点M在半圆上,所以b2=+=1,又b>0,所以b=1.
当半圆在点M处的切线与直线AG平行时,△AGP的面积最大.
因为kOM=-,所以kAG==,
又b=1,所以a=,(2分)
所以曲线C的方程为+x2=1(y>0)和x2+y2=1(y≤0).(4分)
(2)证明:由题意得C(1,),D(-1,),设P(x0,y0)(y0<0),
则lPC:=,令y=0,得x=,即E,(6分)
lPD:=,令y=0,得x=,即F,(8分)
又A(-1,0),B(1,0),+=1,
所以|AE|2+|BF|2=+
=
==4.(12分)
22.解析　(1)证明:因为圆x2+y2-2x-15=0可化为(x-1)2+y2=16,
所以圆心M(1,0),半径|MB|=4,(1分)
又因为过点N作AM的平行线交BM于点C,所以AM∥NC,
又因为|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM=∠NBC,所以|CN|=|CB|, (3分)
所以|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2,(4分)
所以点C的轨迹为椭圆,由椭圆定义可得点C的轨迹方程为+=1(y≠0).(6分)
(2)由(1)可知点C的轨迹方程为+=1(y≠0),
易知k≠0,设P(x1,y1),
由消去y,得(3+4k2)x2=12,
解得 (7分)
则|OP|===, (8分)
∵△PQR是以PQ为底边的等腰三角形,
∴RO⊥PQ,∴kRO·kPQ=-1,则kRO=-.
同理,|OR|==.(9分)
∴S△RPQ=×|PQ|×|OR|
=×2××
=,(10分)
解法一:S△RPQ=≥==,(11分)
当且仅当3+4k2=4+3k2,即k=±1时取等号,
∴(S△RPQ)min=.(12分)
解法二:S△RPQ=
=12
=12
=12=
≥=, (11分)
当且仅当k2=,即k=±1时取等号,
∴=.(12分)