第三章圆锥曲线的方程 复习提升（Word版含解析）

本章复习提升
易混易错练
易错点1　求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错
1.()已知△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,a>c>b,且2c=a+b,c=2,求点C的轨迹方程.
2.()如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.
易错点2　对圆锥曲线的定义理解不清而致错
3.()已知双曲线-=1上的点P到(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.7 B.23
C.5或25 D.7或23
4.()化简+=10的结果是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.()已知动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,与定直线l:x=1相切,求动圆圆心P的轨迹方程.
易错点3　忽视圆锥曲线标准方程的“特征”而致错
6.()抛物线y=x2的准线方程是(　　)
A.y=-1 B.x=-1
C.y=1 D.x=1
7.()已知方程+=1表示椭圆,则k的取值范围为(　　)
A.k>-3且k≠- B.-3C.k>2 D.k<-3
易错点4　忽略椭圆、双曲线和抛物线的焦点位置而致错
8.(2020四川眉山高二上期末,)点M(5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是(　　)
A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2
C.y=-36x2 D.y=x2或y=-x2
9.(2019北京一?一中学高二上期中,)若椭圆W:+=1的离心率是,则m=　　　　.
10.()已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为　　　　.
易错点5　忽视判别式对参数的限制而致错
11.()已知双曲线的方程为x2-=1,是否存在被点B(1,1)平分的弦 如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
易错点6　忽视直线的斜率不存在的情况而致错
12.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点(0,1),且离心率为.
(1)设过点P的直线与椭圆E相交于M、N两点,若MN的中点恰好为点P,求该直线的方程;
(2)过右焦点F的直线l(与x轴不重合)与椭圆E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点Q(0,m),求实数m的取值范围.
思想方法练
一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用
1.()F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
2.()点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
3.()过点A(2,-1)的直线与抛物线y2=4x相交于C、D的两点,若A为CD的中点,则直线的方程是(　　)
A.x+2y=0 B.x-2y-4=0
C.2x+y-3=0 D.3x+y-5=0
4.()已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
5.(2020山东师大附中高二上期中,)已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
6.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)设动点P是抛物线y=2x2+1上任意一点,点A(0,-1),存在点M,使得=2,则M的轨迹方程是(　　)
A.y=6x2- B.y=3x2+
C.y=-3x2-1 D.x=6y2-
7.()已知AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a是常数且a≥1),F为抛物线的焦点,求弦AB的中点M到x轴的距离的最小值.
8.()已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且点A(0,1)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知P(0,-2),设点B(x0,y0)(y0≠0且y0≠±1)为椭圆E上一点,点B关于x轴的对称点为C,直线AB,AC分别交x轴于点M,N,证明:∠OPM=∠ONP.(O为坐标原点)
四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
9.(2020广东中山一中高二上第二次统测,)已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是(　　)
A.y2=16x
B.x2=-8y
C.y2=16x或x2=-8y
D.y2=16x或x2=8y
10.()已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
11.()在平面直角坐标系Oxy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
答案全解全析
易混易错练
1.解析　以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图),∵c=2,∴A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),
因为a+b=2c,即|CB|+|CA|=2|AB|,
即+=4,
所以+=1.
因为a>b,即|CB|>|CA|,
所以点C只能在y轴的左边,即x<0.
又△ABC的三个顶点不能共线,
所以点C不能在x轴上,即x≠-2.
所以所求点C的轨迹方程为+=1(-22.解析　由已知,得圆E的半径为2,设圆P的半径为R,
则|PF|=|PM|=R,|ME|=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2,
所以|PF|-|PE|=2,
又易知|PF|-|PE|<|EF|=4,所以由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,
由题意得a=1,c=2,
所以b=,
故所求轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
3.D　设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2.由题意得,F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a=8,而|PF2|=15,所以|PF1|=7或|PF1|=23.故选D.
4.B　由方程形式知,该方程表示的是到(2,0)和(-2,0)两定点距离和为10的点的轨迹方程,
且易知轨迹为椭圆,则c=2,2a=10,所以a=5.
所以b2=a2-c2=21.
所以化简的方程为+=1.故选B.
5.解析　设动圆圆心为P(x,y),半径为r,因为圆P与圆A外切,所以有|PA|=r+1.
又点P到直线l:x=1的距离为r,所以点P到直线l':x=2的距离为r+1,
所以点P到定点A(-2,0)和到定直线l':x=2的距离相等,
故点P的轨迹是以A为焦点,定直线l':x=2为准线的抛物线.
所以动圆圆心P的轨迹方程是y2=-8x.
6.A　抛物线y=x2可化为x2=4y,开口向上,2p=4 p=2,
∴准线方程为y=-=-1.故选A.
7.B　依题意得 故选B.
8.D　当a>0时,抛物线的标准方程为x2=y,则2p=,∴p=,因此,焦点F,准线l:y=-.
依题意得,3-=6,解得a=.
当a<0时,抛物线方程为x2=y,则2p=-,∴p=-,因此焦点F,准线l:y=-,依题意得,=6,解得a=-.
因此,抛物线方程为y=x2或y=-x2,故选D.
9.答案　或6
解析　①当椭圆的焦点在x轴上时,则有a=,c=,由题意得=,
解得m=.
②当椭圆的焦点在y轴上时,则有a=,c=,
由题意得=,解得m=6.
综上,m=或m=6.
10.答案　2或
解析　解法一:由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时,
其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示,或其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,均符合题意,
所以双曲线的一条渐近线的斜率k=或k=,即=或=.
又b2=c2-a2,所以=3或=,
所以e2=4或e2=,所以e=2或e=(负值舍去).
同理,当双曲线的焦点在y轴上时,则有=或=,
所以=或=,亦可得到e=或e=2.
综上可得,双曲线的离心率为2或.
解法二:根据解法一知,当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,则离心率e==或e=2;
当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,
则离心率e==2或e=.
综上可得,双曲线的离心率为2或.
11.解析　 不存在.理由:由题意知直线的斜率存在,设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程x2-=1,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0,
所以k2-2≠0,且Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0,解得k<,且k≠±.设直线与双曲线的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=.
因为B(1,1)是弦的中点,所以=1,所以k=2,因为2>,所以不存在被点B(1,1)平分的弦.
12.解析　(1)由题意,得
解得
所以椭圆E的标准方程是+y2=1.
设点M(x1,y1),N(x2,y2),则
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)·(y1-y2)=0,
又x1+x2=-,y1+y2=,所以x1-x2=y1-y2,即kMN=1,
故所求直线的方程是y-=x-,即x-y+=0.
(2)由(1)知,椭圆E的右焦点F(1,0).
(i)当直线l与x轴垂直时,m=0,符合题意.
(ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0.
联立
消去y,可得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,易得Δ>0.
设A(x3,y3),B(x4,y4),线段AB的中点为C,
则x3+x4=,x3·x4=,
所以y3+y4=k(x3+x4-2)=.
所以线段AB的中点C的坐标为.
由题意可知,AB⊥CQ,
故直线QC的方程为y+=-,k≠0.
令x=0,得y=,即m=.
当k>0时,得0当k<0时,得-≤m==<0,当且仅当k=-时,等号成立.
综上所述,实数m的取值范围为.
(也可设l的方程为x=ty+1求解)
思想方法练
1.A　延长垂线F1Q,交F2P的延长线于点A,如图所示,则△APF1是等腰三角形,
∴|PF1|=|AP|,∴|AF2|=|AP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a.由题意知O是F1F2的中点,Q是AF1的中点,连接OQ,则|OQ|=·|AF2|=a.
∴Q点的轨迹是以原点O为圆心,a为半径的圆.故选A.
2.解析　易知抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,如图所示,过点P作PD垂直准线x=-2,垂足为D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.
当M,P,D三点共线时,|PM|+|PD|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.
此时点P的纵坐标为3,所以其横坐标为,即点P的坐标是.
3.C　设C(x1,y1),D(x2,y2),则
两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
∵y1+y2=-2,∴kCD×(-2)=4,解得kCD=-2,
∴直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,故选C.
4.解析　(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0).
因为直线y=x-与该椭圆相切,
所以方程组只有一组解,
消去y,整理得(a2+b2)x2-2a2x+3a2-a2b2=0,
所以Δ=(-2a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.
又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),
所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN===2.
若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线MN的斜率为-,
所以直线PQ的方程为y=kx+k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
所以|PQ|=|x1-x2|
=
=2×,
同理可得,|MN|=2×.
所以S四边形PMQN=
=4×
=4×
=4×
=4×.
因为4k2++10≥2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),
所以∈,
所以4× ∈.
综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为,最大值为2.
5.B　若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,
则以原点为圆心,F1F2为直径的圆与椭圆必有交点,
所以c2≥b2,即2c2≥a2,即e2≥,又e<1,所以e∈.
6.A　设M(x,y),P(x1,y1),则=(x-x1,y-y1),=(-x,-1-y).
由=2得

又P(x1,y1)在抛物线y=2x2+1上,
∴y1=2+1,即3y+2=2×(3x)2+1,即y=6x2-,故选A.
7.解析　设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3,A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M',B',连接AA',MM',BB',AF,BF,如图所示.
由抛物线的定义,知|AF|=|AA'|=y1+,|BF|=|BB'|=y3+,
所以y1=|AF|-,y3=|BF|-.
又M是线段AB的中点,
所以y2=(y1+y3)
=
≥
=(2a-1),
当且仅当AB过焦点F时,等号成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,点M到x轴的距离最小,最小距离为(2a-1).
8.解析　(1)由已知得b=1,=,
又∵a2=b2+c2,∴a2=4.
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)证明:∵点B关于x轴的对称点为C,
∴C(x0,-y0),
∴直线AC的方程为y=-x+1.
令y=0,得N.
直线AB的方程为y=x+1,令y=0,得M.
∴|ON|·|OM|=·=.
∵点B(x0,y0)在椭圆+y2=1上,
∴+=1,即=4,
∴|OM|·|ON|=4=|OP|2,即=,又∠POM=∠NOP,
∴Rt△OPM∽Rt△ONP,
∴∠OPM=∠ONP.
9.C　当x=0时,y=-2;当y=0时,x=4.
因此抛物线的焦点可为(0,-2),(4,0).
①当焦点为(4,0)时,设标准方程为y2=2px(p>0),且p=8,∴y2=16x;
②当焦点为(0,-2)时,设标准方程为x2=-2py(p>0),且p=4,∴x2=-8y.故选C.
10.解析　(1)由题意得c=,
∵e==,∴a=3,
∴b==2,
∴椭圆C的标准方程为+=1.
(2)当过点P的两条切线的斜率均存在时,不妨分别设为k1,k2,
则过点P的切线方程可设为y-y0=k(x-x0),即y=kx+y0-kx0,
由消去y,
得(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,
令Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,
整理得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,
∴k1k2=(x0≠±3),
由已知得k1k2=-1,∴=-1,
∴+=13(x0≠±3),即此时点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).
当两条切线中有一条垂直于x轴时,两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,则P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程x2+y2=13.
综上所述,点P的轨迹方程为x2+y2=13.
11.解析　(1)设点M(x,y),依题意,得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,
化简并整理,得y2=2(|x|+x).
故当x≥0时,点M的轨迹C的方程为y2=4x,当x<0时,点M的轨迹C的方程为y=0.
(2)记C1:y2=4x(x≥0),C2:y2=0(x<0),
依题意,可知直线l的方程为y-1=k(x+2).
联立可得
ky2-4y+4(2k+1)=0.①
(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.
(ii)当k≠0时,方程①的判别式Δ=-16×(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则x0=-.③
若由②③解得k<-1或k>,
即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
若或由②③解得k=-1或k=或-≤k<0,
即当k∈时,直线l与C1有一个公共点,与C2有一个公共点;
当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.
故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
若由②③解得-1即当k∈∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.