第三章专题强化练6　椭圆的综合运用 （Word版含解析）

专题强化练6　椭圆的综合运用
一、选择题
1.(2020安徽阜阳高二上期末,)已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则实数m=(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.8 C.4+2 D.4-2
2.()已知椭圆+=1,则以点M(-1,1)为中点的弦所在直线的方程为(　　)
A.4x+5y-1=0 B.4x-5y+9=0
C.5x-4y+9=0 D.5x+4y-1=0
3.(2020海南海口海南中学高二上期中,)已知P是椭圆E:+=1(a>b>0)上异于点A(-a,0),B(a,0)的一点,E的离心率为,则直线AP与BP的斜率之积为(　　)
A.- B. C.- D.
4.()已知F是椭圆E:+y2=1的右焦点,直线x-my=0与E交于A,B两点,则△ABF的周长的取值范围为(　　)
A.(2,4) B.[2,4) C.(6,8) D.[6,8)
5.(2020湖南五市十校高二上期中,)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆过椭圆C的中心,且与C在第一象限交于点P,若直线PF1恰好与圆F2相切于点P,则C的离心率为(　　)
A.-1 B.
C. D.
二、填空题
6.(2020河北石家庄二中高二上期中,)已知点P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=120°,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆的离心率为　　　　.
7.()设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为　　　　.
8.(2020广东惠州高二上期末,)椭圆+=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为　　　　　,此时点P的坐标为　　　　.
三、解答题
9.()已知椭圆E的中心为坐标原点O,焦点在坐标轴上,且经过点A(,0),B(0,1).
(1)求E的方程;
(2)过点(1,0)作倾斜角为45°的直线l,l与E相交于P,Q两点,求△OPQ的面积.
10.(2020福建漳州高二上期末质量检测,)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ,分别交直线x=3于M,N两点,若直线MF,NF的斜率分别为k1,k2,试问:k1k2是不是定值 若是,求出该值,若不是,请说明理由.
答案全解全析
一、选择题
1.B　由题意,得a=,b=2,则c=,
所以椭圆的离心率e===,解得m=8.故选B.
2.B　设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则 4(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0.
又x1+x2=-2,y1+y2=2,代入上式得-8(x1-x2)+10(y1-y2)=0,
∴kAB==.
因此弦所在直线的方程为y-1=(x+1),
即4x-5y+9=0.故选B.
3.C　设P(x,y),则y2=b2.
由e==,得=,设==t>0,则a=2t,c=t,
∴b=t.
又直线AP的斜率kAP=,直线BP的斜率kBP=,
∴kAP·kBP=·===-=-=-,故选C.
4.D　记椭圆E:+y2=1的左焦点为F',则四边形AFBF'为平行四边形(如图所示),△ABF的周长等于|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+|AF|+|AF'|=|AB|+2a,又|AB|∈[2b,2a),故△ABF的周长的取值范围为|AB|+2a∈[2a+2b,4a)=[6,8).
5.A　如图所示,依题意得∠F1PF2=90°,|PF2|=c,∴|PF1|=2a-c,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴(2a-c)2+c2=4c2,即c2+2ac-2a2=0,
∴e2+2e-2=0,解得e=-1或e=--1(舍),故选A.
二、填空题
6.答案　
解析　设|PF2|=m(m>0),则|PF1|=3m,
由∠F1PF2=120°得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°,
∴4c2=9m2+m2+3m·m=13m2.
因此,c=m,又2a=|PF1|+|PF2|=4m a=2m,
∴e===.
7.答案　15
解析　在椭圆+=1中,a=5,b=4,c=3,所以焦点坐标分别为F1(-3,0),F2(3,0).|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).
∵|PM|-|PF2|≤|MF2|,当且仅当P在直线MF2上时取等号,
∴当点P与图中的点P0重合时,有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|==5,此时|PM|+|PF1|取最大值,最大值为10+5=15.
8.答案　 25;(±3,0)(或分开写(-3,0)和(3,0))
解析　设F1、F2为椭圆的两焦点,m=|PF1|·|PF2|≤==a2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时,等号成立,此时取最大值25,即点P在短轴端点时,m取最大值,所以点P的坐标为(±3,0)时,m取最大值,最大值为25.
三、解答题
9.解析　解法一:(1)依题意知,A,B分别为椭圆E的右顶点、上顶点,所以E的焦点在x轴上.
设E的方程为+=1(a>b>0),则a=,b=1,
所以E的方程为+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),不妨设y1>y2,
依题意,得直线l的方程为y=x-1.
由得3y2+2y-1=0,
解得y1=,y2=-1.
记点(1,0)为F,则
S△OPQ=S△OFP+S△OFQ=|OF||y1-y2|=×1×=.
所以△OPQ的面积为.
解法二:(1)同解法一.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),不妨设x1依题意,得直线l的方程为y=x-1.
由
得3x2-4x=0,
解得x1=0,x2=,
所以|PQ|=|x1-x2|=×=,
原点O到直线l的距离d==,所以S△OPQ=|PQ|d
=××=.
所以△OPQ的面积为.
10.解析　解法一:(1)由题意得
解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由(1)知F(1,0),A(2,0),
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,
联立得
不妨设P,Q,
则直线AP的方程为y=(x-2),
令x=3,得y=-,则M,
此时k1==-,
同理k2=,
所以k1k2=-×=-;
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),
联立得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
直线AP的方程为y=(x-2),
令x=3,得y=,则M,
同理,N,
所以k1===,k2===,
所以k1k2=·=
=
==-.
综上所述,k1k2为定值-.
解法二:(1)同解法一.
(2)由(1)知F(1,0),A(2,0),
设直线l的方程为x=my+1,
联立得(3m2+4)y2+6my-9=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=.
直线AP的方程为y=(x-2),
令x=3,得y=,则M,
同理,N,
所以k1===,k2===,
所以k1k2=·=
=
==-,
所以k1k2为定值-.