第三章专题强化练8　抛物线的综合运用 （Word版含解析）

专题强化练8　抛物线的综合运用
一、选择题
1.()过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|的值为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.10 B.8 C.6 D.4
2.(2020山东菏泽高二上期末,)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1的渐近线相交于A、B两点,若△ABF的周长为4,则p=(　　)
A.2 B.2 C.8 D.4
3.()已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值为(　　)
A.12 B.24 C.16 D.32
4.(2020重庆一中高二上期中,)过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F,作斜率大于0的直线l交抛物线于A,B 两点(A在B的上方),且l与抛物线E的准线交于点C,若=3,则=(　　)
A.2 B.
C.3 D.
5.(多选)(2020山东师大附中高二上期末,)设抛物线y=ax2(a>0)的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则(　　)
A.点P坐标为
B.直线AB的方程为y=
C.PA⊥PB
D.|AB|=
二、填空题
6.(2020河北石家庄二中高二上期中,)若抛物线过点P(-1,3),则抛物线的标准方程为　　　　　　　.
7.(2020海南海口海南中学高二上期中,)抛物线y2=2px(p>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则此抛物线的方程为　　　　　　　.
8.(2020河南郑州期末,)斜率为1,且过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线截得的弦长为　　　　.
9.()设点P在圆C:x2+(y-6)2=5上,点Q在抛物线x2=4y上,则|PQ|的最小值为　　　　.
三、解答题
10.(2020四川成都高二上期末,)已知动圆M与直线x=-2相切,且与圆(x-3)2+y2=1外切,记动圆M的圆心轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且·=-36(O为坐标原点),证明直线l经过定点H,并求出点H的坐标.
11.(2020福建福州高二上期末质量抽测,)在平面直角坐标系Oxy中,点F(1,0),D为直线l:x=-1上的动点,过D作l的垂线,该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M,记M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)若过点F的直线与曲线C交于P,Q两点,直线OP,OQ与直线x=1分别交于A,B两点,试判断以AB为直径的圆是否经过定点 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
答案全解全析
一、选择题
1.B　依题意得,|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+,∴|AB|=x1+x2+p,又2p=4,∴p=2.
因此,|AB|=6+2=8,故选B.
2.A　双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,设A在x轴上方,则A,B,∴|AB|=p,
|FA|=|FB|==p.
又∵△ABF的周长为4,
∴|FA|+|FB|+|AB|=p+p+p=4,∴p=2.
3.D　当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,
由得y1=-4,y2=4,
所以+=32.
当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4)(k≠0),
由得ky2-4y-16k=0,
所以y1+y2=,y1y2=-16,
所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32,
综上,+≥32.
所以+的最小值为32.故选D.
4.A　由y2=2px(p>0)得,F.
过B作BB1垂直于准线,垂足为B1,
则|BF|=|BB1|.
由=3得,|CB|=3|BB1|.
因此直线l的斜率为2,从而直线l的方程为y=2.
由
得2y2-py-2p2=0,
解得yA=p,yB=-p,
∴===2,故选A.
5.ABC　由y=ax2得,x2=y,
则焦点F.
∵a>0,∴2p=,∴p=,其准线方程为x=-,∴P,A正确;
设切线方程为y=kx-(k≠0),
由得ax2-kx+=0,
令Δ=k2-4×a×=0,解得k=±1.
∴切点A,B,
因此直线AB的方程为y=,B正确;
又=,=,
∴·=-+=0.
从而⊥,即PA⊥PB,C正确;
|AB|==,D错误.
故选ABC.
二、填空题
6.答案　y2=-9x或x2=y
解析　由P(-1,3)在第二象限,得抛物线的开口向上或开口向左,设其标准方程为x2=2py或y2=-2px(p>0).将P(-1,3)的坐标代入得(-1)2=2p×3或32=-2p×(-1),解得p=或p=,
因此所求抛物线的标准方程为x2=y或y2=-9x.
7.答案　y2=8x
解析　过点M作准线l:x=-的垂线,垂足为P.设抛物线的焦点为F,依题意得,|MP|=|MF|,即3+=5,解得p=4,
∴抛物线的方程为y2=8x.
8.答案　8
解析　由抛物线y=x2得x2=4y,∴p=2,焦点坐标为(0,1),∴斜率为1,且过焦点的直线方程为y=x+1,由消去x,得y2-6y+1=0.设该直线与抛物线的交点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=6,∴直线被抛物线截得的弦长为y1++y2+=y1+y2+p=6+2=8.
9.答案　
解析　设Q(x,y),其中x2=4y.
易知圆心C(0,6),圆的半径r=,
则|QC|====(y≥0).
当y=4时,|QC|min=2,
所以|PQ|min=|QC|min-r=2-=.
三、解答题
10.解析　(1)∵动圆M与直线x=-2相切,且与圆(x-3)2+y2=1外切,
∴动圆M的圆心到点(3,0)的距离与动圆M的圆心到直线x=-3的距离相等.
∴动圆M的圆心的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线.
∴曲线C的方程为y2=12x.
(2)∵直线l与曲线C相交于A,B两点,
∴直线l的斜率不为0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=ty+m.
由消去x,得y2-12ty-12m=0.
∴Δ=144t2+48m>0,即3t2+m>0.
∴y1y2=-12m,x1x2==m2.
∵·=-36,∴x1x2+y1y2=-36.
∴m2-12m+36=0.
∴m=6,满足3t2+m>0.
∴直线l的方程为ty+6=x.
∴直线l过定点H(6,0).
11.解析　解法一:(1)连接MF,则|MD|=|MF|,根据抛物线的定义,得点M的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.
则点M的轨迹C的方程为y2=4x.
(2)设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>0,x2>0,
联立整理得,y2-4my-4=0,
Δ=16m2+16>0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4.
直线OP的方程为y=x=x,
同理,直线OQ的方程为y=x,
令x=1,得A,B,
设线段AB的中点T的坐标为(xT,yT),则xT=1,yT===-2m,
所以T(1,-2m).
因为|AB|==
==
=4,
所以圆的半径r=2.
所以以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+2m)2=4m2+4.
展开可得(x-1)2+y2+4my=4,
令y=0,可得(x-1)2=4,解得x=3或x=-1.
所以以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).
解法二:(1)同解法一.
(2)①当直线PQ不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,
x1+x2=,x1x2=1.
所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4,
x2y1+x1y2=kx2(x1-1)+kx1(x2-1)
=k[2x1x2-(x1+x2)]=-,
直线OP的方程为y=x,直线OQ的方程为y=x.
令x=1,得A,B,
所以以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+=0,
即(x-1)2+y2-y+=0,
即(x-1)2+y2+y-4=0,
令y=0,可得(x-1)2=4,解得x=3或x=-1.
所以以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).
②当直线PQ与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+y2=4,也经过点(-1,0)和(3,0).
综上,以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).
解法三:(1)同解法一.
(2)假设以AB为直径的圆经过定点,由抛物线关于x轴对称可知该定点必在x轴上,
设定点为T(t,0),则·=0,
设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立整理得y2-4my-4=0,
Δ=16m2+16>0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4.
直线OP的方程为y=x=x,
同理,直线OQ的方程为y=x,
令x=1,得A,B,
则由·=0,可得(t-1)2+=0,
即(t-1)2-4=0,解得t=3或t=-1,
所以以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).