1课时跟踪检测（一） 空间向量及其线性运算（我Word含答案解析）

课时跟踪检测（一） 空间向量及其线性运算
[A级　基础巩固]
1．下列命题中正确的是(　　)
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　)
A．＋＝
B．－＝
C．＝
D．||＝||
3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形　　　　　 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
4.(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是(　　)
A．(－)－
B．(＋)－
C．(－)＋
D．(－)－
5．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
6．如图所示，在三棱柱ABC A′B′C′中，与是________向量，与是________向量．(用相等、相反填空)
7．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
8．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________．
9．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，M是BB1
的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－－.
10.如图，在四面体A BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.
[B级　综合运用]
11．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)
A．P∈AB B．P AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
12．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)
A．＝3－2－
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＝0
D．＝－＋
13．已知空间四边形ABCD中，＝b，＝c，＝d，若＝2，且＝xb＋yc＋zd(x，y，z∈R)，则y＝________.
14．已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面．
(1)＋＝3－；
(2)＝4－－.
[C级　拓展探究]
15．对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若有＝x＋y＋z，则“x＋y＋z＝1”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．有下列命题：①若∥，则A，B，C，D四点共线；②若∥，则A，B，C三点共线；③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
答案
课时跟踪检测（一） 空间向量及其线性运算
[A级　基础巩固]
1．下列命题中正确的是(　　)
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
解析：选C　A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C中，∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥正确；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb.
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　)
A．＋＝
B．－＝
C．＝
D．||＝||
解析：选C　对于空间中的任意向量，都有＋＝，选项A错误；若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，选项B错误；＝，则A，B，C三点共线，选项C正确；||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误．
3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形　　　　　 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
解析：选A　∵＋＝＋，∴＝.
∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．
4.(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是(　　)
A．(－)－
B．(＋)－
C．(－)＋
D．(－)－
解析：选ABC　对于选项A，(－)－＝－＝；对于选项B，(＋)－＝＋＝；对于选项C，(－)＋＝＋＝；对于选项D，(－)－＝(－)－＝＋＝，故选A、B、C.
5．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
解析：选D　因为＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝.
6．如图所示，在三棱柱ABC A′B′C′中，与是________向量，与是________向量．(用相等、相反填空)
解析：由相等向量与相反向量的定义知：与是相等向量，与是相反向量．
答案：相等　相反
7．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
解析：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，∴与共线，即存在λ∈R，使得＝λ.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.∵e1，e2不共线，∴解得k＝－8.
答案：－8
8．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________．
解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则＝.∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.
答案：0
9．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，M是BB1
的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－－.
解：(1)＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，
所以＝.
又＝，所以＋＋＝＋＝.
(3)－－＝－＝.
向量，，如图所示．
10.如图，在四面体A BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.
证明：法一：过P，Q分别作PS∥AD交BD于点S，QT∥AD交CD于点T，连接ST(图略)，
则＝，＝.
因为＝，所以＝，
所以四边形PQTS是平行四边形，则＝.
又PQ 平面BCD，ST 平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
法二：由图形易得＝＋＋
＝＋＋
＝(＋)＋＋＋
＝(＋＋)＋＋＋
＝(＋)＋
＝＋.
根据空间向量共面的定义，，，共面，
又因为PQ 平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
[B级　综合运用]
11．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)
A．P∈AB B．P AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
解析：选A　因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以＝(1－n)＋n，
即－＝n(－)，
即＝n，所以与共线．
又，有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，
即P∈AB.
12．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)
A．＝3－2－
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＝0
D．＝－＋
解析：选C　∵＋＋＝0，
∴＝－－，
∴M与A，B，C必共面．
13．已知空间四边形ABCD中，＝b，＝c，＝d，若＝2，且＝xb＋yc＋zd(x，y，z∈R)，则y＝________.
解析：如图所示，
＝＋＝－＋
＝－＋(－)＝－＋＋
＝－b＋c＋d.
∵＝xb＋yc＋zd，
∴y＝.
答案：
14．已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面．
(1)＋＝3－；
(2)＝4－－.
解：法一：(1)原式可变形为＝＋(－)＋(－)＝＋＋.
由共面向量定理的推论知，点P与点A，B，M共面．
(2)原式可变形为＝2＋(－)＋(－)＝2＋＋.
由共面向量定理的推论，可知点P位于平面ABM内的充要条件是＝＋x＋y.
而＝2＋＋，
∴点P与点A，B，M不共面．
法二：(1)原式可变形为＝3－－.
∵3＋(－1)＋(－1)＝1，
∴点B与点P，A，M共面，
即点P与点A，B，M共面．
(2)由＝4－－，得
4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，
∴点P与点A，B，M不共面．
[C级　拓展探究]
15．对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若有＝x＋y＋z，则“x＋y＋z＝1”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　若x＋y＋z＝1，则＝(1－y－z)·＋y＋z，即＝y＋z，由共面向量定理可知向量，，共面，所以P，A，B，C四点共面；反之，若P，A，B，C四点共面，当点O与点A重合时，＝0，x可取任意值，不一定有x＋y＋z＝1，故“x＋y＋z＝1”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．
16．有下列命题：①若∥，则A，B，C，D四点共线；②若∥，则A，B，C三点共线；③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故③正确；易知④正确．
答案：②③④