选择性必修第二册4.1数列的概念 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第二册 4.1数列的概念 同步练习
一、单选题
1．下列命题中错误的是（ ）
A．是数列的一个通项公式
B．数列通项公式是一个函数关系式
C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示
D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列
2．设数列中，（且），则（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
4．已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B．
C． D．
5．已知数列满足则数列的最大项为（ ）
A． B． C． D．
6．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）
A．13 B．16 C．31 D．64
7．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=则解下4个环所需的最少移动次a4数为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．22
8．数列，，，，…，的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知数列的通项公式为，则数列为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性
10．已知数列的前项的和为，且，则（ ）
A．为等比数列 B．为摆动数列
C． D．
11．已知数列满足，若，则=（ ）
A． B． C． D．
12．斐波那契数列满足，，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（ ）项.
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、填空题
13．已知，若数列中最小项为第3项，则________．
14．已知数列的前项的和，则___________.
15．已知数列的前几项是、、、、，写出这个数列的一个通项公式是_________．
16．已知数列为递增数列，，则的取值范围是___________.
17．已知数列的前n项和公式，则其通项公式________.
三、解答题
18．数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求出数列的前项和.
19．某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户2016年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．
（1）将家庭人均年纯收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望；
（2）假设2017年底该地区有1000户居民，其中900户为小康户，100户为“特困户”，若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有变为小康户，但小康户仍有(0（i）求并写出与的关系式；
（ii）要使经2年脱贫工作后该地区小康户数至少有950户，求最大的正整数t的值．
20．已知正项数列的首项，其前项和为，且.数列满足：(b1+ b2.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，证明：.
21．若数列是正项数列，且，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据通项公式的概念可以判定AB正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C错误，根据无穷数列的概念可以判定D正确.
【详解】
数列的通项公式的概念：将数列的第项用一个具体式子（含有参数）表示出来，称作该数列的通项公式，
故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，
它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n唯一确定的，故AB正确；
并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，
至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C是错误的；
根据无穷数列的概念，可知D是正确的.
故选:C.
本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.
2．A
根据递推关系求前4项，易知数列周期为3，进而求.
【详解】
由已知得：，可求，
∴数列周期为3，
，
故选：A．
3．D
由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.
【详解】
当时，；
由，当时，，
两式相减，可得，
解得，当时，也符合该式，故．
所以
由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，
故选：D．
4．A
直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【详解】
解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：．
5．B
本题先根据递推公式进行转化得到．然后令，可得出数列是等比数列．即．然后用累乘法可求出数列的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列的最大项．
【详解】
解：由题意，可知：
．
令，则．
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
．
．
，
，
．
各项相乘，可得：
．
．
令，
则，根据二次函数的知识，可知：当或时，取得最小值．
，，
的最小值为．
．
数列的最大项为．
故选：．
本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；
6．C
根据已知的递推关系求，从而得到正确答案.
【详解】
，，
，，，，
，
所以解下6个环所需的最少移动次数为.
故选：C.
7．A
根据通项公式直接求项即得结果.
【详解】
因为数列{an}满足a1=1，且an=
所以a2=2a1-1=2-1=1，所以a3=2a2+2=2×1+2=4，
所以a4=2a3-1=2×4-1=7.
故选:A
本题考查根据数列通项求项，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．D
利用数列的前几项排除A、B、C，即可得解；
【详解】
解：由，排除A，C，由，排除B，
分母为奇数列，分子为，故数列的通项公式可以为，
故选：D．
9．B
根据题意，化简，得到，即可求解.
【详解】
由题意，数列的通项公式为，
可得（且），
所以，即数列为递减数列.
故选：B.
10．D
利用已知条件求出数列的通项公式，再求出的前项的和为，即可判断四个选项的正误.
【详解】
因为①，
当时，，解得：，
当时，②，
①-②得：，即，
所以，所以是以为首项，为首项的等比数列，
所以，所以，
所以不是等比数列，为递增数列，故不正确，
，故选项不正确，选项正确.
故选：
本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.
11．A
依次求出得解.
【详解】
时，；
时，；
时，.
故选：A
本题主要考查利用递推公式求数列的项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
12．C
由斐波那契数列的递推关系可得，应用累加法求，即可求目标式对应的项.
【详解】
由，则，又，
所以，，，…，，
则，故.
故选：C
13．
结合二次函数的图像和性质即可知，从而可求出的取值范围.
【详解】
因为开口向上，对称轴为，则由题意知，
所以．
故答案为: .
本题考查了二次函数的性质，考查了已知数列最小项求参数的取值范围，属于基础题.
14．
利用当时，，验证首项，即可求通项.
【详解】
当时，
当时，不符合上式，
故
故答案为：
15．
将该数列的前四项表示为，，，，由此可归纳得出该数列的一个通项公式.
【详解】
该数列的前四项可表示为，，，，
因此，该数列的一个通项公式为.
故答案为：.
本题考查利用观察法求数列通项，属于基础题.
16．
数列是单调递增数列，可得，转化为最值问题，化简解出即可.
【详解】
∵数列是单调递增数列，
∴，
，
化为恒成立，
因为且，则，
.
故答案为：.
17．.
利用关系式，当时，，当时，，即可求解.
【详解】
由题意，数列{an}的前n项和公式
当时，，
又由当时，，
所以数列的通项公式为.
故答案为：
18．（1）；（2）.
(1)直接根据累加法即可求得数列的通项公式；
(2)利用裂项相加即可得出数列的前项和．
【详解】
（1）因为，所以当时：
，
由于满足，所以求的通项公式为．
（2）因为，
所以数列的前项和为：
．
本题考查数列的通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查学生对于累加法以及裂项相消法求和的理解与使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题．
19．（1）户；（2）（i）；；（ii）．
（1）首先计算的特困户得户数，根据超几何分布的公式直接求出期望；
（2）（ⅰ）计算出以及与的关系；
（ⅱ）根据可得，设函数，求出答案．
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，家庭人均年收入在元、元、元、元、元、元的家庭数依次为：户；户；户；户；户；户；共计50户，
其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有：户．·
若从这50户中再取出10户调查致贫原因，
这10户中含有“特困户”的户数服从H(10，23，50)的超几何分布，
因为当时，，
所以户；
（2）因为每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有变为小康户，但小康户仍有变为"特困户”，所以有
（ⅰ）
，即·
（ⅱ），
由可得，
记函数，其中，
因函数是开口向上的二次函数，且其对称轴为，
则函数在上单调递减，
又，，故最大的正整数．
超几何分布的期望值计算公式： ，[其中是样本数，n为样本容量，M为样本总数，N为总体中的个体总数]，求出均值，这就是超几何分布的数学期望值.
20．(1)
(2)证明见解析
（1）根据题意得到和，两式相减得，解得答案.
（2）计算，，放缩和，利用裂项相消法计算得到证明.
(1)
由得，两式相减得，
由，得，数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列，
当为奇数时，，当为偶数时，.
综上所述.
(2)
由，，，，
两式相减得，，验证成立，故.
则，
那么，
故，
同理
，
故
，得证.
本题考查了求数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中数列的放缩是解题的关键，同学们需要灵活掌握.
21．（1），；（2）.
（1）由，可得当时，，两式相减可得，即可求出通项公式；
（2）由于，根据错位相减法即可求出数列的前n项和.
【详解】
解：（1），
当时，，
两式相减可得，
即，
当时也满足上式，
∴，；
（2），
∴，①
，②
由①②可得：
，
∴.
本题考查根据递推关系求数列的通项公式，考查等比数列求和公式以及利用错位相减法求数列的前项和，考查化简计算能力.
答案第1页，共2页
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