选择性必修第二册4.2等差数列 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第二册4.2等差数列 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 652.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-22 10:10:43 | ||
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文档简介
选择性必修第二册 4.2 等差数列 同步练习
一、单选题
1．已知等差数列中，，为数列的前项和，则（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
2．定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”。已知在“等差比数列”中，则（ ）
A． B．
C． D．
3．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放，个坛子，一共堆了层，则酒坛的总数．现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为（ ）
A．55 B．165 C．220 D．286
4．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
5．设等差数列的前项和为，且，则当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．或
6．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（ ）
A．24 B．23 C．17 D．16
7．若等差数列的首项是，且从第项开始大于，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12 B．14
C．16 D．18
9．数列中，，且（），则数列前2021项和为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知无穷数列是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n项和为，则（ ）
A．数列不可能是等差数列 B．数列不可能是等差数列
C．数列不可能是等差数列 D．数列不可能是等差数列
12．已知等差数列，，，是的前n项和，，则的前50项和为（ ）
A．1940 B．1950 C．1960 D．1970
13．已知等差数列的首项为，且从第10项开始均比1大，则公差d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值为（ ）.
A．15 B．20 C．25 D．40
15．数列中，，，那么这个数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知等差数列的前项和为，且，，有下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的是______．（填写所有正确结论的编号）
17．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_____.
18．在等差数列中，，则使成立的最大自然数n为_______
三、解答题
19．已知在等差数列中，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
20．已知数列中，，.
(1)证明:数列是等差数列.
(2)求数列的通项公式.
21．已知各项均为正数的等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
22．已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解.
【详解】
解：等差数列中，，
∴，
即，
所以，
则，
故选：B.
2．C
利用定义，可得是以1为首项，2为公差的等差数列，从而，利用，可得结论．
【详解】
，，
，
是以1为首项，2为公差的等差数列，
，
．
故选：C.
数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
3．C
根据题目中已给模型类比和联想，得出第一层、第二层、第三层、……、第十层的酒坛数，然后即可求解．
【详解】
每一层酒坛按照正三角形排列，从上往下数，最上面一层的酒坛数为1，
第二层的酒坛数为，第三层的酒坛数为，
第四层的酒坛数为，…，由此规律，
最下面一层的酒坛数为，
所以酒坛的总数为．
故选：C.
4．C
由已知为等差数列,设首项为和公差为,则用与分别表示已知等式和所求式子，从而可得结果．
【详解】
为等差数列且,
,
故选: C.
5．B
由题得出，则，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，
由得，则，
解得，，，
，对称轴为，开口向上，
当时，最小.
故选：B.
方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.
6．A
由题意可得，再由可求出的值
【详解】
解：根据题意，，则，
故选：A.
7．D
直接写出等差数列的通项公式，由且联立不等式组求得公差的取值范围．
【详解】
解：等差数列的首项是，
则等差数列的通项公式为，
要使从第10项开始为正，
则由，解得：．
故选：．
8．B
根据条件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差数列求和公式即可得解.
【详解】
由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.
又因为，
所以n＝14.
故选：B
9．B
由已知可得，从而得，再由得，所以，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
因为（），
所以，整理得，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以数列前2021项和为
，
故选：B
10．A
由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论．
【详解】
∵，
∴，
故选：A
11．D
计算等差数列的和，然后逐项进行判断即可.
【详解】
由题可知：，，其中
对A，，所以数列是公差为等差数列，故A错
对B，，当时，，
所以数列可能是等差数列，故B错
对C，，当时，，
所以数列可能是等差数列，故C错
，不可能转化为关于的一次函数形式，
故数列不可能是等差数列，故D正确
故选：D
12．B
求出等差数列的公差以及等差数列的通项公式，由等差数列的求和公式计算
即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，则，
所以，
因为，
所以
，
故选：B.
13．D
易得，结合通项公式，解关于的不等式即可.
【详解】
由题意得所以解得.
故选：D
14．B
将已知条件转化为的形式，由此求得的关系式，进而求得的值.
【详解】
因为等差数列的公差不为零，其前项和为，
又，
所以.
故选：B
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式，属于基础题.
15．B
由已知等式证明数列为等差数列，即可写出等差数列的通项公式.
【详解】
因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，
则.
故选：B
本题考查等差数列的概念及通项公式，属于基础题.
16．②④
构造函数，可知是奇函数，且是上的增函数，由，，可得，且，再结合等差数列的性质可判断
【详解】
令函数，因为，所以是奇函数，且是上的增函数．
由题可知，，，
所以，且，即，，所以①错误，②正确，
因为，，所以，所以，
因为，，所以，所以，所以④正确，
又因为是等差数列，
所以，，所以③错误．
故答案为：②④
17．-21
设这三个数为，，，依题意得到方程组，解得，即可得到这三个数，从而得解；
【详解】
解：设这三个数为，，，
则
解得或
这三个数为，，或，，.
它们的积为
故答案为：
18．4042
由等差数列的性质可得，的正负，再通过等差数列的求和公式得到答案.
【详解】
由等差数列的性质可得
又，所以异号，
又，所以等差数列必为递减数列，，
所以，
使成立的最大自然数n为4042.
故答案为：4042.
19．（1）证明见解析；（2）
（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式，解方程可得，可得，，再由等比数列的定义，即可得证；
（2）求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【详解】
解：（1）证明：等差数列的公差设为，由，
可得，即，
则，，
由，可得数列是首项为4，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得，
前项之和，
，
相减可得
，
化简可得．
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
20．(1)证明见解析；
(2)=.
(1)根据已知条件，证明－为常数即可；
(2)根据(1)的结论和等差数列通项公式即可求的通项公式.
(1)
由已知得，＝2，－＝＝＝2，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.
(2)
由(1)知，＝＋2(n－1)＝2n，∴＝.
21．(1)
(2)
（1）依题意可得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可．
(1)
解：各项均为正数的等差数列满足，，
整理得，
由于，
所以，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以．
(2)
解：由（1）可得，
所以．
22．（1）；（2）.
（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出和，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为，
由，可得
解得，
所以等差数列的通项公式可得;
（2） 由（1）可得，
所以.
本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知等差数列中，，为数列的前项和，则（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
2．定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”。已知在“等差比数列”中，则（ ）
A． B．
C． D．
3．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放，个坛子，一共堆了层，则酒坛的总数．现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为（ ）
A．55 B．165 C．220 D．286
4．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
5．设等差数列的前项和为，且，则当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．或
6．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（ ）
A．24 B．23 C．17 D．16
7．若等差数列的首项是，且从第项开始大于，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12 B．14
C．16 D．18
9．数列中，，且（），则数列前2021项和为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知无穷数列是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n项和为，则（ ）
A．数列不可能是等差数列 B．数列不可能是等差数列
C．数列不可能是等差数列 D．数列不可能是等差数列
12．已知等差数列，，，是的前n项和，，则的前50项和为（ ）
A．1940 B．1950 C．1960 D．1970
13．已知等差数列的首项为，且从第10项开始均比1大，则公差d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值为（ ）.
A．15 B．20 C．25 D．40
15．数列中，，，那么这个数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知等差数列的前项和为，且，，有下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的是______．（填写所有正确结论的编号）
17．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_____.
18．在等差数列中，，则使成立的最大自然数n为_______
三、解答题
19．已知在等差数列中，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
20．已知数列中，，.
(1)证明:数列是等差数列.
(2)求数列的通项公式.
21．已知各项均为正数的等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
22．已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解.
【详解】
解：等差数列中，，
∴，
即，
所以，
则，
故选：B.
2．C
利用定义，可得是以1为首项，2为公差的等差数列，从而，利用，可得结论．
【详解】
，，
，
是以1为首项，2为公差的等差数列，
，
．
故选：C.
数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
3．C
根据题目中已给模型类比和联想，得出第一层、第二层、第三层、……、第十层的酒坛数，然后即可求解．
【详解】
每一层酒坛按照正三角形排列，从上往下数，最上面一层的酒坛数为1，
第二层的酒坛数为，第三层的酒坛数为，
第四层的酒坛数为，…，由此规律，
最下面一层的酒坛数为，
所以酒坛的总数为．
故选：C.
4．C
由已知为等差数列,设首项为和公差为,则用与分别表示已知等式和所求式子，从而可得结果．
【详解】
为等差数列且,
,
故选: C.
5．B
由题得出，则，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，
由得，则，
解得，，，
，对称轴为，开口向上，
当时，最小.
故选：B.
方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.
6．A
由题意可得，再由可求出的值
【详解】
解：根据题意，，则，
故选：A.
7．D
直接写出等差数列的通项公式，由且联立不等式组求得公差的取值范围．
【详解】
解：等差数列的首项是，
则等差数列的通项公式为，
要使从第10项开始为正，
则由，解得：．
故选：．
8．B
根据条件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差数列求和公式即可得解.
【详解】
由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.
又因为，
所以n＝14.
故选：B
9．B
由已知可得，从而得，再由得，所以，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
因为（），
所以，整理得，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以数列前2021项和为
，
故选：B
10．A
由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论．
【详解】
∵，
∴，
故选：A
11．D
计算等差数列的和，然后逐项进行判断即可.
【详解】
由题可知：，，其中
对A，，所以数列是公差为等差数列，故A错
对B，，当时，，
所以数列可能是等差数列，故B错
对C，，当时，，
所以数列可能是等差数列，故C错
，不可能转化为关于的一次函数形式，
故数列不可能是等差数列，故D正确
故选：D
12．B
求出等差数列的公差以及等差数列的通项公式，由等差数列的求和公式计算
即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，则，
所以，
因为，
所以
，
故选：B.
13．D
易得，结合通项公式，解关于的不等式即可.
【详解】
由题意得所以解得.
故选：D
14．B
将已知条件转化为的形式，由此求得的关系式，进而求得的值.
【详解】
因为等差数列的公差不为零，其前项和为，
又，
所以.
故选：B
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式，属于基础题.
15．B
由已知等式证明数列为等差数列，即可写出等差数列的通项公式.
【详解】
因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，
则.
故选：B
本题考查等差数列的概念及通项公式，属于基础题.
16．②④
构造函数，可知是奇函数，且是上的增函数，由，，可得，且，再结合等差数列的性质可判断
【详解】
令函数，因为，所以是奇函数，且是上的增函数．
由题可知，，，
所以，且，即，，所以①错误，②正确，
因为，，所以，所以，
因为，，所以，所以，所以④正确，
又因为是等差数列，
所以，，所以③错误．
故答案为：②④
17．-21
设这三个数为，，，依题意得到方程组，解得，即可得到这三个数，从而得解；
【详解】
解：设这三个数为，，，
则
解得或
这三个数为，，或，，.
它们的积为
故答案为：
18．4042
由等差数列的性质可得，的正负，再通过等差数列的求和公式得到答案.
【详解】
由等差数列的性质可得
又，所以异号，
又，所以等差数列必为递减数列，，
所以，
使成立的最大自然数n为4042.
故答案为：4042.
19．（1）证明见解析；（2）
（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式，解方程可得，可得，，再由等比数列的定义，即可得证；
（2）求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【详解】
解：（1）证明：等差数列的公差设为，由，
可得，即，
则，，
由，可得数列是首项为4，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得，
前项之和，
，
相减可得
，
化简可得．
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
20．(1)证明见解析；
(2)=.
(1)根据已知条件，证明－为常数即可；
(2)根据(1)的结论和等差数列通项公式即可求的通项公式.
(1)
由已知得，＝2，－＝＝＝2，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.
(2)
由(1)知，＝＋2(n－1)＝2n，∴＝.
21．(1)
(2)
（1）依题意可得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可．
(1)
解：各项均为正数的等差数列满足，，
整理得，
由于，
所以，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以．
(2)
解：由（1）可得，
所以．
22．（1）；（2）.
（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出和，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为，
由，可得
解得，
所以等差数列的通项公式可得;
（2） 由（1）可得，
所以.
本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.
答案第1页，共2页
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