选择性必修第二册4.3等比数列 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第二册 4.3等比数列 同步练习
一、单选题
1．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列，，…，…是首项为1，公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列满足，且，则（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
4．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
5．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．等比数列中，，，数列，的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180 B．108
C．75 D．63
8．已知数列满足，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知等比数列的项和，则（ ）
A． B． C． D．
10．设数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
12．数列中，，，则（　　）
A．32 B．62 C．63 D．64
13．在等比数列中，已知，则公比q=（ ）
A． B． C． D．
14．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ）
A． B． C． D．
15．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，恰好走了天到达目的地，则该人第一天走的路程为（ ）
A．里 B．里
C．里 D．里
二、填空题
16．某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元.如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，则原计划中每年的产值分别为______万元.
17．设数列满足，且，则数列前10项的和为__________
18．已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则数列通项公式为___________.
三、解答题
19．已知等比数列的前项和为，且.
（1）求与；
（2）记，求数列的前项和.
20．已知数列的前项和为，数列满足，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
21．已知正项等比数列的前项和为，且满足关于的不等式的解集为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
22．设数列的前项和为，，________给出下列两个条件；
条件①：数列为等比数列，数列也为等比数列；
条件②：点在直线上；
试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
设数列和的前项和分别为，然后利用分求出，再利用列方程，由对应项的系数相等可求出结果
【详解】
设数列和的前项和分别为，则
（），
若，则，则，显然没有出现，所以，
所以，
由两边的对应项相等可得，
解得，
所以.
故选：A
2．D
根据题意，求得，再利用累乘法即可求得，再结合对数运算，即可求得结果.
【详解】
由题设有，
而，
当时，也满足该式，故，
所以，
故选：D.
本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.
3．A
先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式即可求出的值
【详解】
等比数列满足，且，
则，
解得，
，
故选．
本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题.
4．B
由等比数列性质可知，即可求解，进而求出．
【详解】
解：由等比数列性质可知，所以或，
但，可知，所以，则，
故选：B
5．D
利用等差中项与等比中项的性质求出，从而可得答案.
【详解】
因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数，
所以，
所以的值为，
故选：D.
6．B
先求出，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求出
【详解】
由题意得，所以，
所以.
故选：B
7．D
由等比数列前n项和的性质S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列，分析即得解
【详解】
由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，
即S21－S14＝3，∴S21＝63.
故选：D
8．B
据题意求出，判断出数列递减，且，再对两边取倒数，然后平方整理得，再利用单调性进行放缩，可得出当时，，结合不等式的性质即可得解.
【详解】
解析： ，且，
∴，，则，
∵，
∴，即数列递减，则，
∵，
∴两边取倒数得，即，则，
∵数列递减，
∴当时，，即；
当时，，即，，，，
∴根据不等式的性质可得，即，
∴.
同理：，与选项范围不符.
故选：B
9．D
由与的关系可求得，进而可判断出数列也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.
【详解】
已知等比数列的项和.
当时，；
当时，.
由于数列为等比数列，则满足，所以，，解得，
，则，，且，
所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，
因此，.
故选：D.
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式或进行求解；
（2）前项和法：根据进行求解；
（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列中有，即第项与第项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列中有，即第项与第项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列中，（、均为常数，且，）.
一般化方法：设，得到，，可得出数列是以的等比数列，可求出；
②取倒数法：这种方法适用于（、、为常数，），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；
⑦（、为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.
10．A
先利用求通项公式，判断出为等比数列，直接求和.
【详解】
在中，令，得，所以．
由得，两式相减得，
即，又，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故选：A．
(1)数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由Sn求an；④累加（乘）法；⑤由递推公式求通项公式；
(2)数列求和常用方法：
①等差（比）公式法；②倒序相加法；③分组求和法；④裂项相消法；⑤错位相减法．
11．D
设等比数列的公比为，由已知求得，写出通项公式，然后求得积，确定在为偶数时，计算出（），再说明且为偶数时，即得．
【详解】
解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，
而在上单调递减，；；，则，且，
当且为偶数时，，
，所以，所以时，取得最大值．
故选：D．
12．C
把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.
【详解】
数列中，，故，
因为，故，故，
所以，所以为等比数列，公比为，首项为.
所以即，故，故选C.
给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：
（1），取倒数变形为；
（2），变形为，也可以变形为；
13．D
由等比数列的通项公式列出方程组求解即可.
【详解】
由，解得
故选：D
14．B
先计算出的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.
【详解】
，，
设，
则，
两式相加得，因此，.
故选：B.
本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．
15．C
建立等比数列的模型，由等比数列的前项和公式求解．
【详解】
记第天走的路程为里，则是等比数列，，
，．
故选：C．
16．90，100，110
结合已知条件，利用等差数列和等比数列求解即可.
【详解】
设原计划中每年的产值分别为x万元，y万元，z万元，
由题意知三年产值成等差数列，所以，
又三年总产值为300万元，即，所以，，
因为第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，则每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，
故，，成等比数列，
从而，消去z，得，
解得或
又，故，
所以原计划每年的产值为90万元，100万元，110万元.
故答案为：90，100，110.
17．
利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和法可求得数列前项的和.
【详解】
由题意可得，
所以，，
因此，数列前项的和为.
故答案为：.
18．##
由等差数列的通项公式及等比数列的性质列方程可求得，从而可得数列通项公式.
【详解】
因为，，成等比数列，所以，
所以，
又的公差为2，所以，
解得，
所以的通项公式为.
故答案为：.
19．（1），；（2）.
（1）利用可得数列的递推式，得其为等比数列，易得通项公式、求和；
（2）由（1）得，用错位相减法求和．
【详解】
（1）由，得，
当时，，得；
当时，，得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
（2）由（1）可得，
则，
，
两式相减得，
所以
.
（1）错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，求解的方法是等式两边乘等比数列的公比再错位相减，错位相减后化归为一个等比数列的求和；
（2）用错位相减法求和时，应注意两点：一是要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；二是在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“”的表达式.
20．（1），；（2）证明见解析.
（1）根据的前项和即可求出通项公式，进而可判断是以3为首项，4为公比的等比数列，即可求出的通项公式；
（2）可得，求和然后放缩利用等比数列求和公式即可证明.
【详解】
（1）数列的前项和为，
∴.
当时，符合，故，
∴，
∴，∴，∵
∴是以3为首项，4为公比的等比数列，
∴，∴.
（2）证明：∵，∴，
，
.
21．（1）；（2）.
（1）设等比数列的公比为，由不等式的解集为得到和的值，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）中的通项公式得到的通项公式，由的通项公式的特点进行等差数列和等比数列分组求和，进而得到的前项和.
【详解】
（1）设等比数列的公比为.
因为关于的不等式的解集为，所以，又，得，
所以，解得.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，.
因为，所以，
所以数列的前项和
.
所以.
本题主要考查数列通项公式与数列求和，考查运算求解能力，熟练掌握等差数列和等比数列的求和方法是快速解题的关键，属于中档题.
22．(1)
(2)
（1）选条件①，利用成等比数列求得公比，由此求得.
选条件②，利用来求得.
（2）利用裂项求和法求得.
(1)
选条件①，，设公比为，则，
由于数列也为等比数列，所以成等比数列，
即成等比数列，
也即成等比数列，
所以， 由于，故解得，
所以.
选条件②，，
当时，，
当时，，
，
由于，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以.
(2)
，
.
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