选择性必修第二册5.1导数的概念及其意义 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第二册5.1导数的概念及其意义 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 766.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-22 10:12:23 | ||
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文档简介
选择性必修第二册 5.1导数的概念及其意义
一、单选题
1．若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前n项和为，则的值为( )
A． B． C． D．
3．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若曲线在处的切线与直线平行，则a=（ ）
A． B．1 C．或1 D．或1
5．函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是
A． B． C． D．
7．直线与曲线相切于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数满足，且时，，若时，方程有三个不同的根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．函数在[0，π]上的平均变化率为
A．1 B．2 C．π D．
11．已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（3，+∞） D．（﹣1，3）
二、填空题
13．已知函数当时，，当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是___________.
14．已知函数在处的瞬时变化率为，则______．
15．设曲线在处的切线斜率为1，试写出满足题设的一个___________.
16．函数在处的瞬时变化率是______．
三、解答题
17．（1）求曲线在处切线的方程；
（2）过原点作曲线的切线，求切点的坐标．
18．曲线在点M处的切线斜率为2，求点的坐标．
19．已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
20．已知拋物线上一点，求：
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
21．泰山十八盘是泰山登山盘路中最险要的一段，在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”之说，一段登山路线如图所示，同样是登山，从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
利用导数求得曲线在处的切线方程，并设该切线与曲线切于点，利用导数的几何意义求出切点的坐标，代入切线方程可求得实数的值.
【详解】
对于函数，，则，又，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
设直线与曲线相切于点，
对于函数，其导数为，由导数的几何意义可得，得，
所以，切点坐标为，代入切线方程得.
故选：C.
本题考查利用两曲线的公切线求参数，解题时要注意以下两点：（1）切线的斜率等于函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象与切线的公共点.
2．A
首先利用导数的定义求出导函数在一点处的导数，然后结合导函数的几何意义求出参数，进而求出，从而可得到通项公式，然后利用裂项相消法求即可.
【详解】
因为，
所以．
因为函数的图象在点处的切线的斜率为3，
所以，解得，
所以，，
所以．
故选:A．
3．D
求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案.
【详解】
，
，切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，
解得.
故选：D.
4．A
利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
【详解】
解：，于是切线的斜率，
切线与直线平行
，
，
时，，切点是，
切线的斜率，
故切线方程是：，
即和直线重合，
故，
故选：A．
5．B
求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
6．D
分别求出两个函数的导函数，设出切点，求得切线的斜率，进而求得切线方程，通过对比系数得出等量关系式，也即原命题的等价命题，结合导数求得正实数的取值范围.
【详解】
的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，，所以，所以.所以正实数的取值范围是.
故选：D
本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
7．B
将切点坐标代入切线方程可求得，根据得到；将切点坐标代入得到；由此可求得结果.
【详解】
为切点，，解得：，
，，又，.
故选：B.
8．B
先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，判断单调性，可得出的取值范围．
【详解】
解：当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，，，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点，处的切线方程为：
；
当时，函数在点，处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由①及得，由①②令，则，
且，记
导数为，且在恒成立，
则函数在为减函数，
，
∴实数的取值范围是．
故选：B
9．C
由，可得函数的图像关于直线对称，由此可画出函数图像，而直线为过定点的一条直线，当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案
【详解】
因为，所以函数的图像关于直线对称.
当时，，则当时，的图像如图所示，直线为过定点的一条直线.
当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点.
当时，函数，，
设切点为，切线的斜率，
则切线方程为，把点代入得，所以；
当直线过点时，，
所以的取值范围为，
故选：C.
关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，解题的关键是根据题意画出函数的图像，利用数形结合的思想求解即可，属于中档题
10．C
根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.
【详解】
平均变化率为.
故选：C
本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.
11．A
由导函数的定义计算可得答案.
【详解】
解： 对于A：，故A正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：，故C不正确；
对于D：，故D不正确，
故选：A.
12．B
求得f（x）的导数，可得关于x的方程有两个不等的实根，由判别式大于0求解.
【详解】
因为，
所以，
因为曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程有两个不等的实根，
则，即，
解得a＞3或a＜﹣1，
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
故选：B.
13．
根据当时，，可得当时，函数为偶函数，再根据当时，，可得当时，函数可由当时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可，作出函数在时的函数图像，分和两种情况讨论，当是，结合图像根据临界点即可得出答案.
【详解】
解： 因为当时，，
所以当时，函数为偶函数，
又当时，，
则当时，，
则当时，函数可由当时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可，
作出函数在时的函数图像，如图所示，
当时，在区间上恰有三个不同的实数解，符合题意；
当时，当时，在上为增函数，
所以，
当函数过点时，，
当函数过点时，，
当函数过点时，，
当函数过点时，，
结合图像，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，
则或，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
本题考查了函数的对称性及周期性，还考查了方程的根的问题，考查了数据分析能力和数形结合思想，有一定的难度.
14．9
利用导数的定义求导函数，结合已知求参数，进而可求.
【详解】
由题知，，得，
∴．
故答案为：9
15．，为任意常数(或，，等)
根据题意，可以构造指数型函数，对数型函数，多项式函数等；
【详解】
根据题意，构造指数型函数，设，
所以，显然满足.
故答案为：，C为任意常数（答案不唯一）
本题考查导数的几何意义，考查创新能力，是中档题.本题是开放型题目，学生可以从熟悉的指对数函数，多项式函数，三角函数等基本初等函数入手考虑，构造满足条件的函数即可.
16．
根据导数定义，求解函数在处的导数即可.
【详解】
解：∵，
∴在处的瞬时变化率是
．
故答案为：
17．（1）；（2）.
（1）求出切点坐标和切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，再将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标.
【详解】
解：（1）当时，，即切点坐标为，
，切线斜率为，故所求切线方程为，即；
（2）设切点坐标为，对函数求导得，故切线斜率为，
所以切线方程为，将原点坐标代入切线方程可得，解得，
故切点坐标为.
18．
根据导数的定义求得，设，进而根据导数的几何意义得，进而得，即点的坐标为
【详解】
解：∵，
∴
．
设，因为曲线在点处的切线斜率为2
当时，，又．
∴点的坐标为．
19．（Ⅰ），（Ⅱ）.
（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
a
0
减 极小值 增
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】
（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
20．(1)0
(2)
求出函数的导数代入该点坐标即可求出斜率，再写出直线的点斜式方程，化简即可得该点切线方程.
(1)
将点的代入，
所以点P处的切线的斜率为0；
(2)
由（1）可知，点P处的切线的斜率，
根据直线的点斜式方程，点P处的切线为，得.
21．答案见解析
分别求出每段的平均变化率即可说明.
【详解】
山路从A处到B处高度的平均变化率为，山路从C处到D处高度的平均变化率为，由，知山路从C处到D处比从A处到B处陡峭，故从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前n项和为，则的值为( )
A． B． C． D．
3．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若曲线在处的切线与直线平行，则a=（ ）
A． B．1 C．或1 D．或1
5．函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是
A． B． C． D．
7．直线与曲线相切于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数满足，且时，，若时，方程有三个不同的根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．函数在[0，π]上的平均变化率为
A．1 B．2 C．π D．
11．已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（3，+∞） D．（﹣1，3）
二、填空题
13．已知函数当时，，当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是___________.
14．已知函数在处的瞬时变化率为，则______．
15．设曲线在处的切线斜率为1，试写出满足题设的一个___________.
16．函数在处的瞬时变化率是______．
三、解答题
17．（1）求曲线在处切线的方程；
（2）过原点作曲线的切线，求切点的坐标．
18．曲线在点M处的切线斜率为2，求点的坐标．
19．已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
20．已知拋物线上一点，求：
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
21．泰山十八盘是泰山登山盘路中最险要的一段，在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”之说，一段登山路线如图所示，同样是登山，从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
利用导数求得曲线在处的切线方程，并设该切线与曲线切于点，利用导数的几何意义求出切点的坐标，代入切线方程可求得实数的值.
【详解】
对于函数，，则，又，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
设直线与曲线相切于点，
对于函数，其导数为，由导数的几何意义可得，得，
所以，切点坐标为，代入切线方程得.
故选：C.
本题考查利用两曲线的公切线求参数，解题时要注意以下两点：（1）切线的斜率等于函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象与切线的公共点.
2．A
首先利用导数的定义求出导函数在一点处的导数，然后结合导函数的几何意义求出参数，进而求出，从而可得到通项公式，然后利用裂项相消法求即可.
【详解】
因为，
所以．
因为函数的图象在点处的切线的斜率为3，
所以，解得，
所以，，
所以．
故选:A．
3．D
求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案.
【详解】
，
，切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，
解得.
故选：D.
4．A
利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
【详解】
解：，于是切线的斜率，
切线与直线平行
，
，
时，，切点是，
切线的斜率，
故切线方程是：，
即和直线重合，
故，
故选：A．
5．B
求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
6．D
分别求出两个函数的导函数，设出切点，求得切线的斜率，进而求得切线方程，通过对比系数得出等量关系式，也即原命题的等价命题，结合导数求得正实数的取值范围.
【详解】
的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，，所以，所以.所以正实数的取值范围是.
故选：D
本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
7．B
将切点坐标代入切线方程可求得，根据得到；将切点坐标代入得到；由此可求得结果.
【详解】
为切点，，解得：，
，，又，.
故选：B.
8．B
先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，判断单调性，可得出的取值范围．
【详解】
解：当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，，，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点，处的切线方程为：
；
当时，函数在点，处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由①及得，由①②令，则，
且，记
导数为，且在恒成立，
则函数在为减函数，
，
∴实数的取值范围是．
故选：B
9．C
由，可得函数的图像关于直线对称，由此可画出函数图像，而直线为过定点的一条直线，当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案
【详解】
因为，所以函数的图像关于直线对称.
当时，，则当时，的图像如图所示，直线为过定点的一条直线.
当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点.
当时，函数，，
设切点为，切线的斜率，
则切线方程为，把点代入得，所以；
当直线过点时，，
所以的取值范围为，
故选：C.
关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，解题的关键是根据题意画出函数的图像，利用数形结合的思想求解即可，属于中档题
10．C
根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.
【详解】
平均变化率为.
故选：C
本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.
11．A
由导函数的定义计算可得答案.
【详解】
解： 对于A：，故A正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：，故C不正确；
对于D：，故D不正确，
故选：A.
12．B
求得f（x）的导数，可得关于x的方程有两个不等的实根，由判别式大于0求解.
【详解】
因为，
所以，
因为曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程有两个不等的实根，
则，即，
解得a＞3或a＜﹣1，
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
故选：B.
13．
根据当时，，可得当时，函数为偶函数，再根据当时，，可得当时，函数可由当时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可，作出函数在时的函数图像，分和两种情况讨论，当是，结合图像根据临界点即可得出答案.
【详解】
解： 因为当时，，
所以当时，函数为偶函数，
又当时，，
则当时，，
则当时，函数可由当时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可，
作出函数在时的函数图像，如图所示，
当时，在区间上恰有三个不同的实数解，符合题意；
当时，当时，在上为增函数，
所以，
当函数过点时，，
当函数过点时，，
当函数过点时，，
当函数过点时，，
结合图像，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，
则或，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
本题考查了函数的对称性及周期性，还考查了方程的根的问题，考查了数据分析能力和数形结合思想，有一定的难度.
14．9
利用导数的定义求导函数，结合已知求参数，进而可求.
【详解】
由题知，，得，
∴．
故答案为：9
15．，为任意常数(或，，等)
根据题意，可以构造指数型函数，对数型函数，多项式函数等；
【详解】
根据题意，构造指数型函数，设，
所以，显然满足.
故答案为：，C为任意常数（答案不唯一）
本题考查导数的几何意义，考查创新能力，是中档题.本题是开放型题目，学生可以从熟悉的指对数函数，多项式函数，三角函数等基本初等函数入手考虑，构造满足条件的函数即可.
16．
根据导数定义，求解函数在处的导数即可.
【详解】
解：∵，
∴在处的瞬时变化率是
．
故答案为：
17．（1）；（2）.
（1）求出切点坐标和切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，再将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标.
【详解】
解：（1）当时，，即切点坐标为，
，切线斜率为，故所求切线方程为，即；
（2）设切点坐标为，对函数求导得，故切线斜率为，
所以切线方程为，将原点坐标代入切线方程可得，解得，
故切点坐标为.
18．
根据导数的定义求得，设，进而根据导数的几何意义得，进而得，即点的坐标为
【详解】
解：∵，
∴
．
设，因为曲线在点处的切线斜率为2
当时，，又．
∴点的坐标为．
19．（Ⅰ），（Ⅱ）.
（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
a
0
减 极小值 增
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】
（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
20．(1)0
(2)
求出函数的导数代入该点坐标即可求出斜率，再写出直线的点斜式方程，化简即可得该点切线方程.
(1)
将点的代入，
所以点P处的切线的斜率为0；
(2)
由（1）可知，点P处的切线的斜率，
根据直线的点斜式方程，点P处的切线为，得.
21．答案见解析
分别求出每段的平均变化率即可说明.
【详解】
山路从A处到B处高度的平均变化率为，山路从C处到D处高度的平均变化率为，由，知山路从C处到D处比从A处到B处陡峭，故从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力.
答案第1页，共2页
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