选择性必修第二册5.2导数的运算 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第二册 5.2导数的运算
一、单选题
1．下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列求导数运算错误的是（ ）
A．(c为常数) B．
C． D．
4．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列结论正确的个数为（ ）
①若y＝ln2，则y′＝；②若f(x)＝，则f′（3）＝－；③若y＝2x，则y′＝2xln2；④若y＝log5x，则y′＝．
A．4
B．1
C．2
D．3
6．曲线的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为( )
A． B． C． D．
7．已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
8．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
9．下列求导运算正确的是
A． B．
C． D．
10．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．设曲线在点处的切线方程为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
12．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．曲线在点处的切线方程为___________.
14．已知函数，则_____________
15．已知函数的导函数，若，则________.
16．已知函数，，则______．
17．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
三、解答题
18．已知函数，设曲线在点处的切线为，若直线与圆：相切，求的值．
19．曲线在点处的切线平行于直线.
(1)求切点坐标；
(2)求切线的方程.
20．已知.
（1）当有两个零点时，求a的取值范围；
（2）当，时，设，求证：.
21．求下列函数的导数：
(1)；
(2).
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断．
【详解】
解：①，故错误；②，故正确；
③，故错误；④，故错误.
所以求导运算正确的个数为1.
故选：A.
2．D
由求导公式得出结果.
【详解】
由求导公式可知.
故选：D
运用求导公式是解题的关键.
3．C
根据求导公式与求导法则即可判断结果．
【详解】
C选项，因为，故C错
故选：C
4．B
求导得，从而，即可求出，进而求出即可.
【详解】
∵，∴，
令，则，解得，
∴，
∴.
故选：B.
5．D
由导数的运算求得导数后判断．
【详解】
解：在①中，(ln2)′＝0，错；
②，，正确；
③，，正确；
④，，正确．
共有3个正确，
故选：D．
6．C
由给定函数求导，结合斜率值，求出切点坐标，写出切线方程.
【详解】
由题得，设切点为，
则，而，则，
令，则，
0，f(x)在上单调递增，则，
所以方程只有一个实根，代入原函数得，
故切点为切线斜率为，所以切线方程为.
故选：C.
求超越方程的零点，一般是构造函数，利用函数单调性，借助观察比对的思路解决.
7．D
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
详解：
，
将代入得，故选D．
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
8．D
利用为奇函数求得的值，由此求得的值.
【详解】
依题意，由于是奇函数，所以，解得，所以，所以.
故选：D
本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.
9．B
由导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则，进行判断即可.
【详解】
函数可看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有
故选：B
本题主要考查了导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则的应用，属于基础题.
10．C
根据导数的运算法则求解．
【详解】
．
故选：C．
11．D
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解
【详解】
因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.
故选D
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
12．C
按照求导法则求导就可以判断出对错.
【详解】
对于选项A，，故A不正确；
对于选项B，，故B不正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D不正确.
故选：C.
13．
求出函数在处的导数值，再利用导数的几何意义求解作答.
【详解】
依题意，，则，又，于是得，即，
所以所求切线方程为.
故答案为：
14．
利用幂函数求导公式求导，再代入导函数求函数值.
【详解】
∵
∴
∴.
故答案为：1.
本题考查幂函数求导运算，乘方运算，考查运算求解能力，是基础题.
15．
根据导数运算法则可求得，代入即可构造方程求得结果.
【详解】
，
，解得：.
故答案为：.
16．
由题意可得，，，，进而可得周期为4，即可得出结果.
【详解】
，，
故，，，，
所以周期为4，故，
.
故答案为：
17．.
【详解】
分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.
详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
18．
利用导函数求出切线斜率，进而可求出切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求出的值．
【详解】
∵，∴．
又，切线的方程为，
即．
∵直线与圆：相切，
∴圆心到直线的距离为，
∴，解得．
19．(1)；
(2).
（1）根据导数的几何意义，结合两平行线的性质进行求解即可；
（2）结合（1）的结论，利用直线的点斜式方程进行求解即可.
(1)
因为点处的切线平行于直线，
所以过该点的曲线的切线的斜率，
由，所以，因此，
所以切点坐标为：；
(2)
由直线的点斜式方程可知：.
20．（1）或；（2）证明见解析.
（1）化简，根据题意得有一个非零实根，设，利用导数求得函数的单调性和极值，结合函数的值的变化趋势，即可求解；
（2）化简，根据题意转化为，令，得到新函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数
因为有两个零点，又因为时，解得，
所以当有一个非零实根，
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，时，；时，，
所以或，即实数a的取值范围是.
（2）由题意，可得，
要证，即证，
令，令，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，即.
利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
21．(1)
(2)
（1）先化简，再求导；
（2）先化简，再结合的导数公式即可求解，
(1)
（1）因为，
所以，所以函数的导数是；
(2)
， ，
所以函数的导数是.
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