选择性必修第三册6.2排列与组合 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第三册6.2排列与组合 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 267.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-22 10:17:48 | ||
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文档简介
选择性必修第三册 6.2 排列与组合 同步练习
一、单选题
1．把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（ ）
A．20个 B．62个 C．63个 D．64个
2．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）
A．180 B．192 C．420 D．480
3．3位大学生乘坐同一列动车，该动车有8节车厢，则至少有2位大学生在同一节车厢的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．现有甲 乙 丙 丁 戊五位同学，分别带着A B C D E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种.
A．12 B．14 C．16 D．18
6．将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）
A． B．36 C．48 D．60
7．七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙 丙两人必须相邻，则排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．可以表示为( )．
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（ ）种
A．5 B．8 C．14 D．21
10．某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种．
A．5040 B．1260 C．210 D．630
11．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）．
A．120种 B．90种 C．80种 D．60种
12．已知，则满足的有序数组共有（ ）个
A． B． C． D．
13．有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（ ）
A．120种 B．216种 C．384种 D．504种
14．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
15．某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（ ）
A．10 B．30 C．60 D．125
二、填空题
16．__________．
17．某外语组9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，则不同的选法有________种．
18．作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行，每一列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递______种信息.（用数字作答）
三、解答题
19．求证：．
20．规定，其中，m为正整数，且，这是排列数（n，m是正整数，且）的一种推广.
（1）求的值.
（2）排列数的两个性质①，②（n，m是正整数，且）是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，请说明理由.
21．已知集合，表示平面上的点，问：
（1）P可表示平面上多少个第二象限的点？
（2）P可表示多少个不在直线上的点？
22．（1）在1，2，3，…，30这30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？
（2）已知集合，，从集合A中选3个元素，从集合B中选2个元素，能组成多少个含有5个元素的集合？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
该数列恰好先减后增，则数字7一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，根据7前面的数字的个数多少分类即可．
【详解】
该数列恰好先减后增，则数字7一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，
当7前有1个数字时，有种，
当7前有2个数字时，有种，
当7前有3个数字时，有种，
当7前有4个数字时，有种，
当7前有5个数字时，有种，
根据分类计数原理，共有种，
故选：B．
2．C
就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数.
【详解】
相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.
若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）.
若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）.
若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为（种）.
综上，共有不同的涂色方案数为（种）.
故选：C.
本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.
3．C
先计算出基本事件的总数，然后计算出大学生1个人在不同车厢的事件数，再根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
基本事件的总数有种，
大学生1个人在不同车厢的事件数为.
所以至少有2位大学生在同一节车厢的概率为.
故选：C
4．D
利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】
先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.
故选：D
5．B
甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可.
【详解】
①甲在2道的安排方法有：种；
②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有种，共有种方案.
故选B.
方法点睛：（1）先讨论甲在乙的位置的情况，此时乙不受限制，剩余元素全排列即可；
（2）再讨论甲也不在乙的位置的情况；
（3）两种情况求和.
6．A
根据盒子内小球的个数进行分类讨论，由此求得不同的总数.
【详解】
将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组.
当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
故3个小球的编号只能是1、2、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；
当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共6种，
再分配到三个盒子中，此时，共有种.
综上所述，不同的放法种数为6+36=42种.
故选：A
7．D
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，再利用捆绑法即求.
【详解】
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有(种)．
故选：D
8．C
根据排列数的计算公式即可判断﹒
【详解】
＝，
故选：C﹒
9．C
按乙排第五和不是第五分类讨论．
【详解】
乙排在第五的情况有：，乙不在第五的方法有，
共有，
故选：C．
关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．
10．D
把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，即可求解.
【详解】
把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，共有种．
故选：D.
11．D
根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果.
【详解】
首先安排甲场馆的3名同学，即；
再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即；
最后安排2名同学到丙场馆，即.
所以不同的安排方法有：种.
故选：D.
12．A
从个位置中选2个位置填上或，其余位置填上0即可.
【详解】
所有有序数组 中,满足的
有序数组 中包含个0，另外两个数在或中选择，每个位置有2种选择，由乘法计数原理得不同的种数为
故选：A.
13．D
甲的位置固定，问题转化为排头排尾有限制的排列问题，利用间接法求解.
【详解】
因为甲的成绩是中间一名，
所以只需安排其余6人位次，
因为乙不排第一名，丙不排最后一名，
所以由间接法可得,
故选：D
14．D
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.
【详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），
故选：D.
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.
15．C
先从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，再根据学科的不同排列求解.
【详解】
根据题意，某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别，
则有种选法；
故选：C.
本题主要考查排列问题，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
16．23
利用排列数和组合数的计算法则进行计算﹒
【详解】
．
故答案为：23﹒
17．20
分类：第一类，会英语的从只会英语的6人中选，然后再选一个日语（两者都会的任意选），第二类，两者都会的选来作英语，然后再选一名会日语的，由此可得出方法数．
【详解】
依题意得，既会英语又会日语的有7＋3－9＝1(人)，6人只会英语，2人只会日语．
第1类：从只会英语的6人中选一人有6种选法，此时选会日语的有2＋1＝3(种)．
由分步乘法计数原理得N1＝6×3＝18(种)；
第2类：从既会英语又会日语的人中选一人会英语的有1种选法，此时选会日语的有2种．
由分步乘法计数原理得N2＝1×2＝2(种)．
综上，不同的选法共有N＝N1＋N2＝18＋2＝20(种).
故答案为：20．
关键点点睛：应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步
在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
18．34
分类讨论紫色小方格的个数：（1）无紫色小方格；（2）有且只有1个紫色小方格；（3）：有且只有2个紫色小方格；（4）有且只有3个紫色小方格.分别利用排列、组合进行计算即可.
【详解】
显然，紫色小方格顶多有3个.分类讨论：（1）若无紫色小方格，则只有1种结果；
（2）若有且只有1个紫色小方格，则有种结果；
（3）若有且只有2个紫色小方格，从行来看，
先选出有紫色小方格的那两行，有种选法，这两行的排法有种，
此种情况下共有18种结果；
（4）若有且只有3个紫色小方格，显然，这三行的排法有种.
综上，一共有34种结果，即一共可以传递34种信息.
故答案为：34
本题考查了排列、组合在实际生活中的应用，考查了分类与整合的思想，属于中档题.
19．证明见详解
利用排列数的计算公式即可证明.
【详解】
左边，
右边，
所以，即证.
20．（1）；（2）可推广，①，②，证明见解析.
（1）根据题意将展开求值，即可得到答案；
（2）分别讨论和两种情况，进而根据证明问题.
【详解】
（1）.
（2）性质①，②均可推广，推广的形式分别是：
①，②（，m是正整数）
事实上，在①中，当时，左边，右边，等式成立；
当时，左边右边，
因此（，m是正整数）成立.
在②中，当时，左边右边，等式成立；
当时，
左边右边，
因此（，m是正整数）成立.
21．（1）6（个）；（2）30（个）．
(1)由分步乘法原理求第二象限的点的个数，(2)依次确定横坐标和纵坐标的可能取法，由分步乘法原理求不在直线上的点的个数.
【详解】
（1）因为P表示平面上第二象限的点，故可分两步：
第一步，确定a，a必须小于0，则有3种不同的情况；
第二步，确定b，b必须大于0，则有2种不同的情况；
根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有（个）．
（2）因为P表示不在直线上的点，故可分两步：
第一步，确定a，有6种不同的情况；
第二步，确定b，有5种不同的情况．
根据分步乘法计数原理，不在直线上的点共有（个）．
22．（1）1360；（2）106
(1)将给定的前30个正整数按除以3余数相同的形成3个数集，再利用分类加法计数原理列式计算即可；
(2)按含有中元素个数以及有中元素时，这个元素的来源分类，再利用分类加法计数原理列式计算即得.
【详解】
（1）把这30个数分成三类，形成三个集合，被3整除的数集，
被3除余1的数集，被3除余2的数集，
每个集合各有10个元素，三个数的和是3的倍数的取法有两类：
第一类：在同一集合内取三个数，取法为，
第二类：每个集合内各取一个数，取法为，
根据分类加法计数原理，所求取法种数为（种）；
（2）由于，而由集合元素的无序性及互异性，可判断这是组合问题，因元素不能重复，应对5和6这两个元素分别进行讨论，
①不选5和6，则有种，
②在中选1个，则：在中选2个，在中选2个，共有种，
在中选3个，在中选1个，共有种，
③在中选2个，则：
在中选1个，而在中选2个，共有种，
在中选2个，而在中选1个，共有种，
在中选3个，而在中不选，共有种，
综上所述，根据加法原理，共有
（种）.
所以共有106个含有5个元素的集合.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（ ）
A．20个 B．62个 C．63个 D．64个
2．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）
A．180 B．192 C．420 D．480
3．3位大学生乘坐同一列动车，该动车有8节车厢，则至少有2位大学生在同一节车厢的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．现有甲 乙 丙 丁 戊五位同学，分别带着A B C D E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种.
A．12 B．14 C．16 D．18
6．将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）
A． B．36 C．48 D．60
7．七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙 丙两人必须相邻，则排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．可以表示为( )．
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（ ）种
A．5 B．8 C．14 D．21
10．某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种．
A．5040 B．1260 C．210 D．630
11．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）．
A．120种 B．90种 C．80种 D．60种
12．已知，则满足的有序数组共有（ ）个
A． B． C． D．
13．有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（ ）
A．120种 B．216种 C．384种 D．504种
14．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
15．某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（ ）
A．10 B．30 C．60 D．125
二、填空题
16．__________．
17．某外语组9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，则不同的选法有________种．
18．作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行，每一列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递______种信息.（用数字作答）
三、解答题
19．求证：．
20．规定，其中，m为正整数，且，这是排列数（n，m是正整数，且）的一种推广.
（1）求的值.
（2）排列数的两个性质①，②（n，m是正整数，且）是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，请说明理由.
21．已知集合，表示平面上的点，问：
（1）P可表示平面上多少个第二象限的点？
（2）P可表示多少个不在直线上的点？
22．（1）在1，2，3，…，30这30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？
（2）已知集合，，从集合A中选3个元素，从集合B中选2个元素，能组成多少个含有5个元素的集合？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
该数列恰好先减后增，则数字7一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，根据7前面的数字的个数多少分类即可．
【详解】
该数列恰好先减后增，则数字7一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，
当7前有1个数字时，有种，
当7前有2个数字时，有种，
当7前有3个数字时，有种，
当7前有4个数字时，有种，
当7前有5个数字时，有种，
根据分类计数原理，共有种，
故选：B．
2．C
就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数.
【详解】
相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.
若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）.
若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）.
若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为（种）.
综上，共有不同的涂色方案数为（种）.
故选：C.
本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.
3．C
先计算出基本事件的总数，然后计算出大学生1个人在不同车厢的事件数，再根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
基本事件的总数有种，
大学生1个人在不同车厢的事件数为.
所以至少有2位大学生在同一节车厢的概率为.
故选：C
4．D
利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】
先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.
故选：D
5．B
甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可.
【详解】
①甲在2道的安排方法有：种；
②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有种，共有种方案.
故选B.
方法点睛：（1）先讨论甲在乙的位置的情况，此时乙不受限制，剩余元素全排列即可；
（2）再讨论甲也不在乙的位置的情况；
（3）两种情况求和.
6．A
根据盒子内小球的个数进行分类讨论，由此求得不同的总数.
【详解】
将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组.
当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
故3个小球的编号只能是1、2、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；
当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共6种，
再分配到三个盒子中，此时，共有种.
综上所述，不同的放法种数为6+36=42种.
故选：A
7．D
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，再利用捆绑法即求.
【详解】
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有(种)．
故选：D
8．C
根据排列数的计算公式即可判断﹒
【详解】
＝，
故选：C﹒
9．C
按乙排第五和不是第五分类讨论．
【详解】
乙排在第五的情况有：，乙不在第五的方法有，
共有，
故选：C．
关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．
10．D
把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，即可求解.
【详解】
把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，共有种．
故选：D.
11．D
根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果.
【详解】
首先安排甲场馆的3名同学，即；
再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即；
最后安排2名同学到丙场馆，即.
所以不同的安排方法有：种.
故选：D.
12．A
从个位置中选2个位置填上或，其余位置填上0即可.
【详解】
所有有序数组 中,满足的
有序数组 中包含个0，另外两个数在或中选择，每个位置有2种选择，由乘法计数原理得不同的种数为
故选：A.
13．D
甲的位置固定，问题转化为排头排尾有限制的排列问题，利用间接法求解.
【详解】
因为甲的成绩是中间一名，
所以只需安排其余6人位次，
因为乙不排第一名，丙不排最后一名，
所以由间接法可得,
故选：D
14．D
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.
【详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），
故选：D.
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.
15．C
先从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，再根据学科的不同排列求解.
【详解】
根据题意，某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别，
则有种选法；
故选：C.
本题主要考查排列问题，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
16．23
利用排列数和组合数的计算法则进行计算﹒
【详解】
．
故答案为：23﹒
17．20
分类：第一类，会英语的从只会英语的6人中选，然后再选一个日语（两者都会的任意选），第二类，两者都会的选来作英语，然后再选一名会日语的，由此可得出方法数．
【详解】
依题意得，既会英语又会日语的有7＋3－9＝1(人)，6人只会英语，2人只会日语．
第1类：从只会英语的6人中选一人有6种选法，此时选会日语的有2＋1＝3(种)．
由分步乘法计数原理得N1＝6×3＝18(种)；
第2类：从既会英语又会日语的人中选一人会英语的有1种选法，此时选会日语的有2种．
由分步乘法计数原理得N2＝1×2＝2(种)．
综上，不同的选法共有N＝N1＋N2＝18＋2＝20(种).
故答案为：20．
关键点点睛：应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步
在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
18．34
分类讨论紫色小方格的个数：（1）无紫色小方格；（2）有且只有1个紫色小方格；（3）：有且只有2个紫色小方格；（4）有且只有3个紫色小方格.分别利用排列、组合进行计算即可.
【详解】
显然，紫色小方格顶多有3个.分类讨论：（1）若无紫色小方格，则只有1种结果；
（2）若有且只有1个紫色小方格，则有种结果；
（3）若有且只有2个紫色小方格，从行来看，
先选出有紫色小方格的那两行，有种选法，这两行的排法有种，
此种情况下共有18种结果；
（4）若有且只有3个紫色小方格，显然，这三行的排法有种.
综上，一共有34种结果，即一共可以传递34种信息.
故答案为：34
本题考查了排列、组合在实际生活中的应用，考查了分类与整合的思想，属于中档题.
19．证明见详解
利用排列数的计算公式即可证明.
【详解】
左边，
右边，
所以，即证.
20．（1）；（2）可推广，①，②，证明见解析.
（1）根据题意将展开求值，即可得到答案；
（2）分别讨论和两种情况，进而根据证明问题.
【详解】
（1）.
（2）性质①，②均可推广，推广的形式分别是：
①，②（，m是正整数）
事实上，在①中，当时，左边，右边，等式成立；
当时，左边右边，
因此（，m是正整数）成立.
在②中，当时，左边右边，等式成立；
当时，
左边右边，
因此（，m是正整数）成立.
21．（1）6（个）；（2）30（个）．
(1)由分步乘法原理求第二象限的点的个数，(2)依次确定横坐标和纵坐标的可能取法，由分步乘法原理求不在直线上的点的个数.
【详解】
（1）因为P表示平面上第二象限的点，故可分两步：
第一步，确定a，a必须小于0，则有3种不同的情况；
第二步，确定b，b必须大于0，则有2种不同的情况；
根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有（个）．
（2）因为P表示不在直线上的点，故可分两步：
第一步，确定a，有6种不同的情况；
第二步，确定b，有5种不同的情况．
根据分步乘法计数原理，不在直线上的点共有（个）．
22．（1）1360；（2）106
(1)将给定的前30个正整数按除以3余数相同的形成3个数集，再利用分类加法计数原理列式计算即可；
(2)按含有中元素个数以及有中元素时，这个元素的来源分类，再利用分类加法计数原理列式计算即得.
【详解】
（1）把这30个数分成三类，形成三个集合，被3整除的数集，
被3除余1的数集，被3除余2的数集，
每个集合各有10个元素，三个数的和是3的倍数的取法有两类：
第一类：在同一集合内取三个数，取法为，
第二类：每个集合内各取一个数，取法为，
根据分类加法计数原理，所求取法种数为（种）；
（2）由于，而由集合元素的无序性及互异性，可判断这是组合问题，因元素不能重复，应对5和6这两个元素分别进行讨论，
①不选5和6，则有种，
②在中选1个，则：在中选2个，在中选2个，共有种，
在中选3个，在中选1个，共有种，
③在中选2个，则：
在中选1个，而在中选2个，共有种，
在中选2个，而在中选1个，共有种，
在中选3个，而在中不选，共有种，
综上所述，根据加法原理，共有
（种）.
所以共有106个含有5个元素的集合.
答案第1页，共2页
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