选择性必修第三册6.3二项式定理 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第三册 6.3二项式定理 同步练习
一、单选题
1．若对于任意的实数，有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．的展开式中的系数为
A．10 B．20 C．40 D．80
3．的展开式中含项的系数为（ ）
A．60 B．240 C．60 D．240
4．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（ ）
A．14 B． C．240 D．
5．在的二项展开式中，的系数是（ ）
A． B． C． D．
6．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
7．展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
9．若，则（ ）
A．20 B． C．15 D．
10．的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
11．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等．则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan等于（ ）
A．32 B．64
C．128 D．256
12．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在的二项展开式中项的系数为__________．
14．已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则锐角______．
15．若，则的展开式中含项的系数为_________．（用数字作答）
16．的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
三、解答题
17．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.
（1）求n；
（2）求展开式中系数最大的项.
18．已知二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为.
（1）求的值；
（2）求展开式中项的系数.
19．求证：．
20．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第项的系数与第项的系数之比为；
②第项与倒数第项的二项式系数之和为；
③.
已知在的展开式中， .
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含的项.
21．已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
由，由二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】
，所以.
故选：B
2．C
【详解】
分析：写出，然后可得结果
详解：由题可得
令,则
所以
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．
3．C
先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为，求出的值，从而可求出含项的系数
【详解】
二项式的展开式，
当r=4，此时，可得展开式中项的系数为60，
故选：C.
4．C
由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解．
【详解】
二项展开式的第项的通项公式为，
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，
可得：，解得：.
所以，
令，解得：，
所以的系数为，
故选：C.
本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
5．C
由二项式展开式通项，即可确定的系数.
【详解】
由二项式通项，
∴当时，，则.
∴的系数是.
故选：C.
6．A
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】
由题意得x3的系数为，故选A．
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
7．B
由，由此可求得展开式中含项的系数.
【详解】
，
所以，展开式中含项为：，故项的系数为.
故选：B.
8．C
将代入即为各项系数之和，可求出，再结合展开式得通项即可求解常数项.
【详解】
展开式的各项系数之和为32,
令，得，解得，
则的展开式的通项为，
令，可得常数项为.
故选：C.
本题主要考查了二项式定理的应用，熟记二项式展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.
9．B
先将写成，然后根据展开式的通项求解出项的系数即为.
【详解】
因为，所以展开式的通项为，
令，则，所以，
故选：B.
10．D
利用展开式的通项公式，分别求得和的展开式的常数项，再求和即可.
【详解】
的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
所以的展开式中的常数项为-32+70=38
故选：D
11．D
根据二项式系数的性质，结合赋值法进行求解即可.
【详解】
由题意可知：，，
令二项式中x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256．
故选：D
12．A
根据二项式系数的单调性，求得；再结合二项式展开式的通项公式，即可求得指定项的系数.
【详解】
解：因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以，
所以的展开式的通项
令，得.
所以展开式中的系数为.
故选：A
13．
写出的通项公式，计算含项中的值，代入计算可得系数.
【详解】
解：的通项公式为：，
当时，，此时.
故答案为：
14．
由二项式定理可得，结合条件即得.
【详解】
由二项式定理，知的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
于是有，解得，
即或（舍去），
所以锐角．
故答案为：.
15．7
先根据二项式系数求和公式得到，再使用二项式定理通项公式进行求解.
【详解】
，故，则的展开式通项公式，令，解得：，所以
故答案为：7
16．
首先变形可得：，利用通项公式，令，即可得解.
【详解】
，
展开式的通项公式为，
令，可得，
所以.
故答案为：
17．（1）；（2）系数最大的项为.
（1）由题意利用等差数列的定义、二项展开式的通项公式，求得的值．
（2）二项展开式的通项公式求得展开式中系数最大的项．
【详解】
解：（1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，
∴
解得(舍去).
（2）设第项的系数为最大，则，
则.解得.
当时，
当时，，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为.
18．（1）；（2）180.
（1）结合二项式的展开式中的二项式系数可得，解组合数方程即可求出结果；
（2）结合（1）的结论，以及二项式的展开式的通项公式，得，令即可求出结果.
【详解】
（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，可得，
化简可得，求得.
（2）由于二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中项的系数为.
19．证明见解析
利用二项式定理可证得结论成立.
【详解】
证明：
.
20．（1）；（2）.
无论选择①②③，均结合展开式的通项公式和组合数的运算求得；
（1）由二项式系数的性质可知第项的二项式系数最大，代入可得结果；
（2）令可求得，代入通项公式可得结果.
【详解】
若选①，展开式通项公式为，
则第项的系数为，第项的系数为，，解得：（舍）或；
若选②，第项与倒数第项的二项式系数分别为和，
，解得：（舍）或；
若选③，由得：；
的展开式通项公式为；
（1）当时，若取得最大值，则，即第项的二项式系数最大，
展开式中二项式系数最大的项为；
（2）令，解得：，
展开式中含的项为.
21．（1）；（2）；（3）.
（1）利用赋值法，令和，求系数和；（2）求函数的导数，再令，求；（3）用组合数公式表示，再代入组合数公式，变形化简，得，利用裂项相消法求和.
【详解】
（1），，
所以；
（2），
所以；
（3）因为，所以
因为
所以原式
所以的值为.
关键点点睛：本题的难点和关键是第三问，利用组合数公式化简，其中用到了组合数的阶乘公式，关键步骤是
.
答案第1页，共2页
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