选择性必修第三册7.3离散型随机变量的数字特征 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征
一、单选题
1．已知随机变量满足，且为正数，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的和为（ ）
A．6 B．15 C．19 D．22
3．若随机变量的概率分布列如下表：
0 2 4
0.3 0.2 0.5
则等于（ ）A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2
4．随机变量的概率分布为，．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）
A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567
6．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为
A． B． C． D．
7．盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是
A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>
9．设0X 0 a 1
P
则当a在(0，1)内增大时，（ ）A．V(X)增大 B．V(X)减小
C．V(X)先增大后减小 D．V(X)先减小后增大
10．已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知随机变量X的分布列如下：
0 1 3
若随机变量Y满足，则Y的方差（ ）A． B． C． D．
12．随机变量的分布列为
若，则（ ）A． B． C． D．
二、填空题
13．已知随机变量的分布列为
－1 0 1
则随机变量的方差的值为______.
14．已知随机变量X的分布列如下：
0 1 3
若随机变量Y满足，则Y的方差___________.
15．已知随机变量X的分布列如下表所示．
X 0 1
P
若，则______．
16．一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量的期望为_________.
17．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m
若，则___________.
三、解答题
18．某超市每年10月份都销售某种桃子，在10月份的每天计划进货量都相同，进货成本为每千克16元，销售价为每千克24元；当天超出需求量的部分，以每千克10元全部卖出．根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：℃）有一定关系：最高气温低于25，需求量为1000千克；最高气温位于[25，30）内，需求量为2000千克；最高气温不低于30，需求量为3000千克．为了制订2020年10月份的订购计划，超市工作人员统计了近三年10月份的气温数据，得到下面的频率分布直方图．以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．
（1）求2020年10月份桃子一天的需求量X的分布列；
（2）设2020年10月份桃子一天的销售利润为Y元，当一天的进货量为多少千克时，E（Y）取到最大值？
19．为建设粤港澳大湾区教育高地，办人民满意的教育，深入推进基础教育课堂教学改革，某高中为了提升教育质量，探索了一种课堂教学改进项目．某研究机构为了解实施新项目后的教学效果，通过随机抽样调查了该校某年级100位学生，对这些学生的课堂测试成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)若这些学生课堂测试成绩的分数X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），求；
(2)为做进一步了解，研究机构采用分层抽样的方法从课堂测试成绩位于分组，，的学生中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到分数位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则；；．
20．某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
21．某中学选取名优秀学生参加数学知识竞赛，将他们的成绩（单位：分）分成范围为、、、、、，共组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）若将成绩大于或等于分视为高分，试求参加竞赛学生成绩的高分率；
（2）若从参加竞赛的学生中随机抽取人，抽到的学生成绩在范围记分，在范围记分，用表示被抽取得名学生的总记分，求的分布列和数学期望.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果.
【详解】
由方差的性质可得，，
因为，所以，
又a为正数，所以．
故选：C.
本题主要考查由方差的性质求参数，属于基础题型.
2．C
根据，利用平均数和方差的性质求.
【详解】
由题，
则，，
所以.
故选：C.
3．A
先求出，再根据均值的性质可求出.
【详解】
据题意，得，
所以.
故选：A.
本题考查根据分布列求离散型随机变量的均值，以及根据均值求新的均值.
4．D
根据分布列的性质及期望公式得到方程组，求出，，再根据两点分布的方差公式计算可得；
【详解】
解：由题意，得，∴，．
由题意知随机变量服从参数为的两点分布，故．
故选：D
5．B
直接利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】
记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，
由题意可知，，所以．
故选：B.
本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力
6．B
利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．
【详解】
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．
所以，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝.
本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．C
算出的分布列和期望后可得正确的选项.
【详解】
，，
∵，∴ .
∵，，，
∴，
故选：C.
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望，概率计算时需仔细审题，弄清黑球变化的规律，本题属于中档题.
8．C
表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。
【详解】
解：依题意可得，
因为
所以即故，错误；
即，故成立；
故错误
故选：
本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。
9．D
根据分布列求出方差，根据二次函数的性质可得.
【详解】
由题意可知，，
所以，
所以当a在(0，1)内增大时，V(X)先减小后增大．
故选：D.
10．C
分和两种情况分别去求数学期望，再进行比较即可解决.
【详解】
交换后，记甲、乙两个盒中红球个数，
当时，,
则，
则.选项AB均判断错误；
当时，，
则，
.
即.
则选项C判断正确；选项D判断错误.
故选：C
11．D
先根据离散型随机变量分布列概率和为“1”的性质求出的值，然后计算的期望值和方差，最后利用公式，则求出的值.
【详解】
由题意可知，，则，
则，
又，
所以．
故选：D
方法点睛：分布列的概率和为1，利用概率和为1先求出里面参数的值或关系.
12．A
由分布列性质和数学期望公式可求得的值，由方差的公式可计算得到结果.
【详解】
由分布列性质知：，解得：；
，；
.
故选：A.
13．
根据分布列的性质，求得，结合期望与方差的公式，即可求解.
【详解】
由分布列的性质，可得，解得，
可得，
所以.
故答案为：.
14．9
先根据分布列的性质，即概率和为1，求出的值，再分别计算出的数学期望与方差，然后根据，利用即可求出．
【详解】
由分布列的性质可知，，所以，
所以数学期望，
方差，
因为，所以，
故答案为：9．
15．5
利用分布列和期望、方差公式求解.
【详解】
，
，
则．
故答案为：5
16．##
由题意，分别求出的可能取值为1，2，3的概率后，再用数学期望公式计算即可.
【详解】
随机变量的可能取值为1，2，3，
，，，
∴.
故答案为：
17．
根据概率综合为1求出m，再用分布列求出数学期望，
用公式即可求解.
【详解】
由随机变量分布列的性质，
得，解得，
∴.
由，得，即.
故答案为： .
18．（1）答案见解析；（2）2000千克．
（1）由题意知X的可能取值为1000，2000，3000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（2）设一天的进货量为n千克，则1000≤n≤3000，当100≤n＜2000时，求出E（Y）＝5.2n+2800＜13200；当2000≤n≤3000时，求出EY＝14000﹣0.4n≤13200，由此能求出当一天的进货量为2000千克时，E（Y）取到最大值．
【详解】
（1）由题意知X的可能取值为1000，2000，3000，
P（X＝1000）＝（0.0089+0.0311）×5＝0.2，
P（X＝2000）＝0.0800×5＝0.4，
P（X＝3000）＝（0.0467+0.0333）×5＝0.4，
∴X的分布列为：
X 1000 2000 3000
P 0.2 0.4 0.4
（2）设一天的进货量为n千克，则1000≤n≤3000，
①当1000≤n＜2000时，
若最高气温不低于25，则Y＝8n，
若最高气温低于25，则Y＝1000×8﹣（n﹣1000）×6＝14000﹣6n，
此时E（Y）＝0.8×8n+0.2×（14000﹣6n）＝5.2n+2800＜13200．
②当2000≤n≤3000时，
若最高气温不低于30，则Y＝8n，
若最高气温位于[25，30）内，则Y＝2000×8﹣（n﹣2000）×6＝28000﹣6n，
若最高气温低于25，则Y＝1000×8﹣（n﹣1000）×6＝14000﹣6n，
此时，EY＝0.4×8n+0.4×（28000﹣6n）+0.2×（14000﹣6n）＝14000﹣0.4n≤13200，
当且仅当n＝2000时，取等号，
综上，当一天的进货量为2000千克时，E（Y）取到最大值．
19．(1)
(2)分布列见解析；
（1）先按照直方图平均数的定义求出平均数，然后按照正态分布的规律计算即可；
（2）按照抽样的人数关系，计算出 的可能取值，对于每一个取值，
用组合的方法算出其概率即可.
(1)
根据频率分布直方图得：
，
由题意知，
；
(2)
由于，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为0、1、2、3，
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
P
∴．
20．(1)员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等
(2)应选择第二种方案；理由见解析
(1)根据超几何分布求出员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率即可；
(2)根据题意可知有两种方案、，分别求出对应的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，从而得出结论.
(1)
用X表示员工所获得的奖励额．
因为，，
所以，
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等．
(2)
第一种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
40 120 200
P
所以的数学期望为，
的方差为；
第二种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
80 120 160
P
所以的数学期望为，
的方差为，
又因为（元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案．
21．（1）；（2）分布列见解析，（分）.
（1）根据频率分布直方图可计算得出参加竞赛学生成绩的高分率；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】
（1）据题设知，所求参加竞赛学生成绩的高分率；
（2）参加竞赛的学生成绩在范围的有（人），在范围的有人，
随机变量的可能取值是、、.
，，.
所以，随机变量的分布列为
所以，（分）.
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页