2013年高考模拟系列试卷（2）【新课标版】（理）

2013年高考模拟系列试卷（二）
数学试题【新课标版】（理科）

题 号
第Ⅰ卷
第Ⅱ卷
总分
一
二
17
18
19
20
21
22
得 分
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的
1、设集合，，则等于 （ ）
A．R B． C． D．
2、在复平面内，复数表示的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、若，则（ ）
A． B． C． D．
4、设数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，且、、成等比数列，则等于（ ）
A．6 B．7 C．4 D．3
5、已知点和圆上一动点，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．C． D．
6、命题“存在，使”的否定为（ ）
A．任意，使
B．任意，使
C．存在，使
D．存在，使
7、设，函数的图象可能是（ ）
8、程序框图如下：
如果上述程序运行的结果S的值比2013小，若使输出的S最大，那么判断框中应填入（ ）
A． B． C． D．
9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
10、在的展开式中，常数项为（ ）
A． B．5376 C． D．84
11、如果点P在平面区域上，点Q在曲线（x－1）2＋(y－1)2＝1上，那么|PQ|的最小值为（ ）
A．－1 B． C． D．－1
12、已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与圆相切于点A，并与椭圆C交与不同的两点P，Q，如图，若A为线段PQ的靠近P的三等分点，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
13、由曲线和直线所围成的面积为 。
14、如图，△ABC是圆内接三角形，圆心O在BC上，若AB=6，BD=3.6，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆子落在△ABD内”，则P（N|M）= ．
15、某市居民用户12月份燃气用量（单位：m3）的频率分布直方图如图所示，现抽取了500户进行调查，则用气量在[26，36）的户数为 。
16、在△ABC中，D为AB上任一点，h为AB边上的高，△ADC、△BDC、△ABC的内切圆半径分别为，则有如下的等式恒成立：．在三棱锥P-ABC中D位AB上任一点，h为过点P的三棱锥的高，三棱锥P-ADC、P-BDC、P-ABC的内切球的半径分别为，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本题满分12分）已知函数，（其中），其部分图像如图所示．
（I）求函数的解析式；
（Ⅱ）已知横坐标分别为、、的三点、、都在函数的图像上，求的值．
18.（本题满分12分）
如图，在直角梯形ABCD中，AP/BC，，是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将沿折起，使得平面ABCD.
（I）求证：AP//平面EFG；
（II）求二面角G-EF-D的大小.
19.(本题满分12分) 等差数列中，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和。
20．（本小题满分12分）
若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。
某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；
（Ⅱ）某工人师傅有该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数的分布列和数学期望。
21.（本题满分13分）已知函数，．
（I）若函数，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设直线为函数的图象上一点处的切线．证明：在区间上存在唯一的，使得直线l与曲线相切．
22.（本题满分13分）
已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、，与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，试证明：直线过定点并求此定点.
参考答案
一选择题（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
B
C
B
B
C
B
A
C
C
二填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13． 14． 15． 16.
三解答题
17.【解析】（Ⅰ）由图可知， 最小正周期 所以．
又 ，且，
所以，．所以．
（Ⅱ）解法一：因为
所以，，
从而．
由得．
解法二：因为，
，所以，
，
，
则．
由得．
18.【解析】 (Ⅰ) 证明: 由题知,直线两两垂直,以为原点,以
为方向向量建立空间直角坐标系,如图所示.
则.
所以 . ……2分
设平面的法向量为,
取. ……………………4分
∵,
又平面,
//平面. ……………………6分
(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形,.又∵面ABCD,
.又,
平面PCD,向量是平面PCD的一个法向量, = . ……9分
又由(Ⅰ)知平面EFG的法向量为,

结合图知二面角的平面角为 ……………………12分
19.【解析】（Ⅰ）设数列
且，解得………2分
所以数列……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以………6分
所以………
两式相减得……………10 分
…………12分
20．【解析】设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得：……2 分
有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B，由独立重复试验得：………4分
（2）依据知X的可能取值为1.2.3………5
且………6 ………7
………8
则X的分布列如下表：
X
1
2
3
p
……10分
………12分
21.【解析】（Ⅰ），．
∵且，∴，∴函数的单调递增区间为．
（Ⅱ）∵，∴，∴切线的方程为,
即, ①
设直线与曲线相切于点，∵，∴，∴．∴直线也为， 即， ②
由①②得，∴．
下证：在区间（1，+）上存在且唯一．
由（1）可知，在区间上递增．
又，，
结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．故结论成立．
22.【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为，焦距为2c， -------1分
由题意知 b=1,且，又
得. -------------3分
所以椭圆的方程为 ---------5分
(Ⅱ) 由题意设，设l方程为，
由知
∴，由题意，∴ -----------------7分
同理由知
∵，∴ （*） ------8分
联立得
∴需 （**）
且有 （***） -------10分
（***）代入（*）得，∴，
由题意，∴(满足（**）)， ----------12分
得l方程为,过定点(1,0),即P为定点. ---------------13分