上海高考数学押题预测卷01
一、填空题（6×4+6×5=54）
1、已知集合,则用列举法表示集合
2、如，则
3、若复数满足，则的虚部为_________
4、直线的单位法向量是__________
5、已知直线的参数方程是，则它的普通方程是___________
6、在中，角所对的边分别为，若,则
7、一名医护人员维护3台独立的呼吸机，一周内这些呼吸机需要维护的概率分别为0.9，0.8和0.5，则一周内至少有一台呼吸机不需要维护的概率为___________(结果用小数表示)
8、已知定义在R上的增函数满足，若实数满足不等式，则的最小值是__________
9、平面直角坐标系内有点，将四边形绕轴旋转一周，所得到的几何体的体积为__________
10、若是二项式展开式的系数，则
11、等差数列中，，则数列的公差为________
12、给定曲线族，为参数，则这些曲线在直线上所截得的弦长的最大值是_________
二、选择题（4×5=20）
13、函数的零点在区间( )内
A、 B、 C、 D、
14、正方体中，为棱的中点(如图)，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )
15、设函数的图像为C，下面结论中正确的是( )
A、函数的最小正周期是
B、图像C关于点对称
C、图像C可由函数的图像向右平移个单位得到
D、函数在区间上是增函数
16、在平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为( )
A、 B、 C、 D、不存在
三、解答题（14+14+14+16+18=76）
17、如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，垂直于底面,.
(1)求四棱锥的体积；
(2)设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.
18、已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称；
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围；
19、市环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作.
(1)令，求的取值范围;
(2)市政府规定，每天的综合性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
20、已知椭圆长轴的两顶点为，左右焦点分别为，焦距为且，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在双曲线上取点(异于顶点)，直线与椭圆交于点，若直线的斜率分别为，试证明：为定值；
（3）在椭圆外的抛物线上取一点，若的斜率分别为，求的取值范围.
21、设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”；
①；②；
(1)若等比数列为阶“期待数列”（），求公比；
(2)若等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列（），求数列通项公式；
(3)记阶“期待数列”的前项和为：
①求证：；
②若存在，使，试问数列能否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列，若不能，请说明理由.2022上海数学高考押题预测卷01 参考答案
一、填空题
1、，，且
2、，，
3、，，，虚部为，注意虚部为实数
4、和，法向量可以为，此时，单位法向量即，同理还有
5、，，两式相减得，整理得，或者用代入法消去参数
6. ，，余弦定理，解得
7. ，“至少有一台呼吸机不需要维护”的反面情况是“台都需要维护”，“台都需要维护”的概率为，所求概率为
8. ，，即为增函数，即的最小值是
法二：关于对称，且递增，不妨设即
9. ，四边形如图所示，绕轴旋转一周后，所得的几何体为一个大圆柱减去一个小圆柱，大圆柱半径为，小圆柱半径为，高均为，
10. ，，
11. ，设公差为，
整理可得，
12. ，联立方程或 弦长，由得：，由辅助角公式，平方整理得，，即，即弦长的最大值是
二．选择题
13.选，单调递增，且在内有零点
14.选，过点的平面即图中阴影部分所示，截去该正方体的上半部分后剩余几何体如图所示，由图可知选项为左视图
15.选，最小正周期错误；正确；，由函数的图像向右平移个单位得到，错误；取到最大，，不可能在上递增，错误
16.选，设；
由，则，分两种情况：
（1）当时，，则；
（2）当时，，则；
满足条件的实数的所有值为；或
三．解答题
17.（1）联结为边长为的菱形，且，
（2）解法一：取中点，联结且,
为异面直线与所成的角
又在中，
同时，为等边三角形，
即异面直线与所成的角的大小为
解法二：如图以为原点，建立空间直角坐标系，
其中设与交于点则
，又,
即
异面直线与所成角的大小为
18.解：（1），
设是图像上任一点，关于轴的对称点在的图像上，即
（2）当时，
令，则方程在上有解，
于是
即为所求
19.（1）当时，；当时， ，
当且仅当即时取到最大值
由于在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的值域是，所以的取值范围是
综上，的取值范围是
（2）当时，
依题意，，即
解得时，故时不超标，时超标
20.（1）由已知可得：，解得：，则椭圆方程为
（2）设，则，
故；类似地：
由已知三点共线，则，从而：
（3）由已知设
则
因为点在椭圆外，所以
整理得：，解得：
函数在是增函数，则
所以且
21.（1）若由①得，得，不合题意，舍去；
若，由①得，得，
由②得或
（2）设等差数列的公差是，
因为，所以，
因为，所以
则，，
两式相减得，即，又，得，
（3）记中非负项和为，负项和为，
则，得，
因为，所以，
若存在，使，
则，且，
若数列是阶“期待函数”，记的前项和为，
则,
因为，所以，所以，
又因为，则
所以
所以,与不能同时成立
即数列不能为阶“期待数列”。
