选填题专项训练（二）圆锥曲线-2022届高三数学三轮冲刺复习（Word版含解析）

试卷化作业（二）圆锥曲线（单选题）
1、已知为双曲线 的右焦点，A为双曲线的右顶点， 为双曲线上的点， 且垂直于轴，若直线的斜率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2、已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
3、 在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
4、已知双曲线：(，)的左 右焦点分别为，，为左支上一点，，，则的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
5、已知双曲线：的离心率为；若抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则抛物线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6、 若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（ ）
A. B. C. D.
7、 已知双曲线的右顶点为, 以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点.若,且（其中为原点），则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
8、如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9、已知椭圆C：的上、下顶点分别为A，B，点在椭圆C上，若点满足，，则（ ）
A． B． C． D．
10、已知双曲线C：的左焦点为F，右顶点为A，点B在C的一条渐近线上，且（点O为坐标原点），直线FB与y轴交于点D．若直线AB过线段OD的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
11、如图，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线l与双曲线左、右两支分别交于点P，Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12、已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴的上方），且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
13、若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
14、 已知点F为双曲线（，）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
15、双曲线的右顶点为在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
16、已知双曲线C；的焦距为2c，过C的右焦点F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若且，则C的离心率为
A． B． C． D．
17、已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点A作与双曲线的一条渐近线平行的直线l，过点F作直线l的垂线，垂足为P，若线段AP的中点在双曲线的另一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
18、已知双曲线的左 右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且.若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
19、若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
20、设，是椭圆的左，右焦点，点的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．
21、已知双曲线C：的两个焦点为、，点M，N在C上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
22、双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 与有关
23、 已知椭圆：与双曲线有公共的焦点 ，为曲线 在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A. 9 B. C. 7 D.
24、已知双曲线的左 右焦点分别为，过作x轴的垂线并与C交于两点，且，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25、已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
26、已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27、已知双曲线的右焦点为，以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为，若直线与另一条渐近线平行，则的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
28、若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
29、已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
30、已知双曲线的左 右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
试卷化作业（二）参考答案
1、已知为双曲线 的右焦点，A为双曲线的右顶点， 为双曲线上的点， 且垂直于轴，若直线的斜率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知，轴，当时，，解得：，又因为直线的斜率为，所以点在第一象限，所以，，即，化简得，两边同时除以后得，解得：（舍去）或．故选D．
2、已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【解析】设点，，因为PD，PC是圆的切线，所以，
所以C，D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为，又C，D在圆上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：，即，所以直线CD恒过定点，又因为，M，Q，C，D四点共线，所以，即M在以OQ为直径的圆上，其圆的方程为，圆心，半径为，所以，所以的最小值为，故选A．
3、 在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
不妨设正三角形的边长为，则，，，
设，则，，
，，
，即；
点轨迹为：，
；
当时，，；
当时，令，则表示与连线的斜率，
设直线与圆相切，
则圆心到直线距离，解得：或，
，
则当时，取得最小值，；
综上所述：最小值为.故选：D.
4、已知双曲线：(，)的左 右焦点分别为，，为左支上一点，，，则的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【详解】设，则，由双曲线的定义知，∴，又，∴，即，∴，即，
∴双曲线的离心率为，故选：D.
5、已知双曲线：的离心率为；若抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则抛物线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【详解】由得,∴.
∴双曲线的渐近线方程为，
抛物线的焦点是（0,）,
它到直线的距离
∴.
∴抛物线方程为.故选：C.
6、 若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（ ）
A. B. C. D.
【详解】因抛物线上一点，所以，
因此抛物线的准线方程为：，
由抛物线上一点到其焦点的距离等于3，
故根据抛物线定义得：，解得.故选：A.
7、 已知双曲线的右顶点为, 以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点.若,且（其中为原点），则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【详解】解：设双曲线的一条渐近线方程
为yx，A（a，0），P（m，），（m＞0），
由3，可得Q（3m，），
圆的半径为r＝|PQ|2m ，
PQ的中点为H（2m，），
由AH⊥PQ，可得，
解得m，r．
A到渐近线的距离为d，
则|PQ|＝2r，
即为dr，即有 ．
可得，e．
另解：可得△PAQ为等边三角形，
设OP＝x，可得OQ＝3x，PQ＝2x，
设M为PQ的中点，可得PM＝x，AMx，
tan∠MOA，
则e．故选C．
8、如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，连接，，则，A，C和，B，D都三点共线．
设，则．
由，得，
又，则，，，
因此，即，
则，，，故．故选B
9、已知椭圆C：的上、下顶点分别为A，B，点在椭圆C上，若点满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题可知，．因为，，故直线QA：，直线QB：，联立两式，解得又，所以，故是．故选B
10、已知双曲线C：的左焦点为F，右顶点为A，点B在C的一条渐近线上，且（点O为坐标原点），直线FB与y轴交于点D．若直线AB过线段OD的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【详解】设AB交y轴于Q，渐近线方程为，则直线FD的方程为，令，得．由可得，则，所以直线AB的方程为，令，得．因为Q为OD的中点，故，整理得，即，解得．
故选C
11、如图，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线l与双曲线左、右两支分别交于点P，Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【解析】连接，，设，则由题意可得，因为，为双曲线上的点，所以，，因为为的中点，且，所以，所以，所以，所以，，，在直角三角形中，，所以在三角形中，由余弦定理可得，所以可得，则，故选A．
12、已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴的上方），且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
详解】如下图所示：
由题意可知，直线与渐近线垂直，则，
又，则，故，则，则，
所以，该双曲线的离心率为.
故选：B.
13、若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【详解】由题意得：渐近线方程的斜率为，
又渐近线方程为，所以，
所以C的离心率为，故选：D
14、 已知点F为双曲线（，）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【详解】设直线为，
因为直线与圆相切，
所以，所以
解得，因为点在双曲线的右支上，
所以，所以，所以，
所以，所以，故选：B
15、双曲线的右顶点为在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【解析】设点的轨迹方程为．
联立得，解得（舍去），，由题意知点在双曲线的右支上，即，故，化简得，因为，所以，故选D．
16、已知双曲线C；的焦距为2c，过C的右焦点F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若且，则C的离心率为
A． B． C． D．
【解析】如图，设，因为sin∠AFO，所以，所以，所以。又，所以，所以，所以。又因为，所以。在Rt△AOB中，，所以，化简得，所以故选D．
17、已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点A作与双曲线的一条渐近线平行的直线l，过点F作直线l的垂线，垂足为P，若线段AP的中点在双曲线的另一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设双曲线的焦距为，则，，的两条渐近线分别为：和：，不妨设，则的方程为，联立方程解得故的中点坐标为，所以点的坐标为，所以，，因为，所以，所以，解得（舍去）或，故双曲线的离心率为．故选D．
18、已知双曲线的左 右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且.若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【详解】设圆与相切于点，取中点，连接，
，为中点，，
圆与相切于点，且，
，又为中点，；
由双曲线定义知：，即，
，又，，
，即，
整理可得：，即，解得：或（舍去），
双曲线的离心率为.故选：B.
19、若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【详解】不妨设双曲线的一条渐近线为，
圆的圆心为，半径，
则圆心到渐近线的距离为
所以弦长，
化简得：，即，
解得，所以 .故选：D
20、设，是椭圆的左，右焦点，点的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．
【解析】由题知点，所以，，，
设与的角平分线交轴于点，
过点作，垂足为，如图，
则，，易知，
所以，所以，
所以的角平分线所在直线的料率为.故选：A.
21、已知双曲线C：的两个焦点为、，点M，N在C上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
方法一
因为，，由双曲线对称性可知，直线与交于轴上一点，且为等腰直角三角形，如图，，代入中，得，化简得，即，解得，所以．
方法二
因为，，由双曲线对称性可知，直线与交于轴上一点，且为等腰直角三角形，如图，，，，所以，，
则，即，
则．故选：D
22、双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 与有关
【详解】由题意，双曲线的渐近线为坐标轴，即双曲线为等轴双曲线，
所以该双曲线的离心率为.故选：A.
23、 已知椭圆：与双曲线有公共的焦点 ，为曲线 在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A. 9 B. C. 7 D.
【详解】记椭圆中的几何量为a，b，c，双曲线中的几何量为，，
则由椭圆和双曲线定义可得…①，…②，
两式平方相减整理得，
记，则由余弦定理得…③
①2-③得…④
由面积公式可得，即，代入④整理得，
因为，所以，所以，得，
所以，即，
所以，即，
所以，
当且仅当时等号成立.故选：B
24、已知双曲线的左 右焦点分别为，过作x轴的垂线并与C交于两点，且，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由，得，则为钝角，从而，则，得，解得或(舍去). 故选：C
25、已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】记，，，
∵，∴，
在中，由余弦定理得，
配方得，即，
∴，
由任意三角形的面积公式得，
∴，而，，，故选：A.
26、已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，
所以，，从而有，
所以,，，
由题意，三角形的面积为1，
设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形分割为面积相等的两部分，可得，所以，故点M在射线上．
设直线y＝ax+b和的交点为N，则由可得点N的坐标为．
①若点M和点重合，如图：
则点N为线段的中点，故N，
把、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点之间，如图：
此时，点N在点和点之间，
由题意可得三角形的面积等于，即，
即，可得a，求得，
故有．
③若点M在点的左侧，
则，由点M的横坐标，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和的交点为P，则由求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形APN的面积等于，即，
即，化简可得．
由于此时b＞a＞0，所以 ．
两边开方可得 ，所以，化简可得，
故有．
综上，b的取值范围应是.故选：B.
27、已知双曲线的右焦点为，以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为，若直线与另一条渐近线平行，则的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【详解】不妨设为第一象限的交点.联立方程组可得的坐标为，所以直线的斜率.因为直线与另一条渐近线平行，所以，所以，则，故的离心率.故选：D.
28、若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【详解】由题得双曲线的渐近线方程为，
圆心到渐近线距离为，
则点到直线的距离为，
即，整理可得，
所以双曲线的离心率．故选：A．
29、已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【详解】如图所示，设，，设线段的中点为，则在双曲线的右支上，
又为等边三角形，所以，所以，所以
连接，则在等边三角形中，且，
所以，所以，即双曲线的离心率为.
故选：C.
30、已知双曲线的左 右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
,
点P在双曲线上，
双曲线的渐近线方程为，
因为与双曲线相交，
所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，
则，解得，
故该双曲线离心率的取值范围是，故选：A