选填题专项训练（五）数列-2022届高三数学三轮冲刺复习（Word版含解析）

试卷化作业（五）数 列
一、选择题
1、《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用向题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，向各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，向五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为（ ）
A． B． C． D．
2、 已知等差数列的前n项和为，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3、已知等比数列的首项为1，若成等差数列，则的前6项的和为
A．31 B． C． D．63
4、已知为等差数列的前项和，且满足，，，若对任意的正整数，恒有，则正整数的值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
5、等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则
A．29 B．31 C．33 D．36
6、已知数列是递增的等比数列，且，，若的前项和满足，则正整数等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7、已知数列满足，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8、已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9、已知等差数列的公差不为零，，是和的等比中项，设，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10、已知数列满足，则（ ）
A．32 B． C．1320 D．
11、已知等差数列的前n项和为，且成公比为q的等比数列，则（ ）
A． B．1 C． D．3
12、意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（ ）
A. B.
C. D.
13、正项等比数列的前n项和为，若，，则
A．8 B．16 C．27 D．81
14、已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．-6065 B．-6061 C．6061 D．6065
15、 已知数列的前项和为，若是等差数列，且，，则（ ）
A. 1 B. C. 10 D.
16、在等比数列中，，，则（ ）
A．80 B．242 C． D．244
二、填空题
1、“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物儿何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为______．
2、已知数列的各项都是正数，．若数列各项单调递增，则首项的取值范围是______；当时，记，若，则整数______．
3、若数列的前n项和，则其通项公式为_______．
4、数列中，已知，，，则的取值范围是________．
5、在正项等比数列中，，则______．
6、在数列中，，且数列是等差数列，则_________.
7、设，圆：（）与y轴正半轴的交点为，与曲线的交点为（，），直线与x轴的交点为A（，0），若数列的通项公式为，要使数列成等比数列，则常数__________．
8、已知数列，当时，，则数列的前项的和为______．
9、记为等比数列的前n项和．若，，则______．
10、已知{}是公差为的等差数列，若存在实数，，，…，满足方程组：，则d的最小值为___________
11、在数列中，，为的前项和，且函数的导函数有唯一的零点，则________；当不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为________．
12．将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（）的周长为__________，图（）的面积为___________．
13．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则
（Ⅰ）__________； （Ⅱ）若，则__________．（用表示）
14、 已知数列，，对于任意正整数m，n，都满足，则______．
15、已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，______．
16、已知数列满足：①仍为数列中的项；②当，且时，仍为数列中的项；③仍为数列中的项.则其通项公式可以为___________.
17、用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，的因数有1，2，5，10，，那么__________.
18、九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的最少移动次银和翠玉制九连环数，且数列满足，，（，），则_______．
试卷化作业（五）参考答案
一、选择题
1、《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用向题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，向各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，向五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，由题意可得，，，故，，解得，，，故任意两人所得的最大差值为．故选B．
2、 已知等差数列的前n项和为，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【详解】
令，即和是函数的零点
∵，故f(x)最多有一个零点
，
∴
又∵，，
∴1＜＜2，
∴，，∴.故选：B
3、已知等比数列的首项为1，若成等差数列，则的前6项的和为
A．31 B． C． D．63
【解析】设数列的公比为，由题意，得，即，解得，故前6项的和为，故选D．
4、已知为等差数列的前项和，且满足，，，若对任意的正整数，恒有，则正整数的值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【解析】由，，所以，，所以，，所以的公差，所以当时，；当时，，所以，，，，，…，所以，又，故为的最小值，故．故选A．
5、等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则
A．29 B．31 C．33 D．36
【解析】设等比数列的首项为，公比为，由题意知，解得，所以，故选B．
6、已知数列是递增的等比数列，且，，若的前项和满足，则正整数等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】由，，知，，解得，，所以，
则，所以，解得．故选A．
7、已知数列满足，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【详解】因为，，所以，，
因为指数函数单调递减，所以，即，
即，故，即，所以，
可猜想数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减，且奇数项均小于偶数项，
因为，当时，
所以，所以①，
因为，所以，即，进而得到，
以此类推得且，所以，
由①可得，
由，所以，即，由得到，
以此类推得单调递减，所以，
所以；故选：D
8、已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】由条件有，
当时，，即；
当时，，即.
即，所以取得最大值时n的值为.故选：C
9、已知等差数列的公差不为零，，是和的等比中项，设，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设的公差，因为，是和的等比中项，所以，
即，解得，则，
所以，
所以的最小值为，故选：D
10、已知数列满足，则（ ）
A．32 B． C．1320 D．
【详解】当时，，
当时，由，可得，
两式相除可得，
所以，
所以，故选：A
11、已知等差数列的前n项和为，且成公比为q的等比数列，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【详解】等差数列的公差为，则，因为成公比为q的等比数列，所以，整理得，故，则故选：B
12、意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（ ）
A. B.
C. D.
【详解】由题意知：前项所占格子组成长为，宽为的矩形，其面积为，A正确；
，以上各式相加得，，化简得，即，B正确；
，C错误；
易知，，D正确.
故选：C.
13、正项等比数列的前n项和为，若，，则
A．8 B．16 C．27 D．81
【解析】设正项等比数列的公比为q.
由可得：，所以.
所以，解得：（舍去），
所以.故选B．
14、已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．-6065 B．-6061 C．6061 D．6065
【解析】设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得
，
整理解得，所以．故选B．
15、 已知数列的前项和为，若是等差数列，且，，则（ ）
A. 1 B. C. 10 D.
【详解】设数列的公差为，首项为
，两边同除以6得：，，解得
又，即，解得，故选：B
16、在等比数列中，，，则（ ）
A．80 B．242 C． D．244
【详解】因为等比数列的公比，
所以，即，故选：B
二、填空题
1、“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物儿何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为______．
【解析】易知满足被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小的数为23，满足该条件的数从小到大构成以23为首项，为公差的等差数列，其通项公式为，令，解得，则所有满足条件的数的和为．
2、已知数列的各项都是正数，．若数列各项单调递增，则首项的取值范围是______；当时，记，若，则整数______．
【解析】∵，∴，
又∵正数数列是单调递增数列，且，
∴，解得，∴，．
∴．
又由，可得．∴．
∵，
∴
．
∵，且数列是递增数列，
∴，即，∴．∴整数．
3、若数列的前n项和，则其通项公式为_______．
【详解】当时，；
当时，，当时，不满足上式，所以，
．故答案为：．
4、数列中，已知，，，则的取值范围是________．
【解析】由题意知两式相加得，因此，令，则，又由于，故．
5、在正项等比数列中，，则______．
【解析】由及等比数列的性质得，所以，，所以．
6、在数列中，，且数列是等差数列，则_________.
【详解】设数列的公差为，因为，
则，所以，
所以，
因此，解得.故答案为
7、设，圆：（）与y轴正半轴的交点为，与曲线的交点为（，），直线与x轴的交点为A（，0），若数列的通项公式为，要使数列成等比数列，则常数__________．
【详解】因为圆：与曲线的交点为，
所以，即，
由题可知，点的坐标为，由直线方程的截距式可得直线的方程为：．
由点在直线上得：．
将，代入并化简得：，
即，
所以，
，
令，得：
，
由等式对任意恒成立得：
，即，
解得或
故当时，数列成公比为4的等比数列，
当时，数列成公比为2的等比数列，
故答案为：2或4．
8、已知数列，当时，，则数列的前项的和为______．
【详解】当时，，共项，
当时，，共项，
当时，，共项，
当时，，共项，又因为，
所以，数列的前项的和为，
记，
则，
上述两个等式作差可得，
所以，，
因此，数列的前项的和为.
故答案为：.
9、记为等比数列的前n项和．若，，则______．
【详解】设等比数列的公比为q，
由已知，
即，解得，所以．
10、已知{}是公差为的等差数列，若存在实数，，，…，满足方程组：，则d的最小值为___________
【详解】把方程组中的都用和表示得：
，
把代入得：，
要使最小，则要最大，
因为， 所以，
时分母取最大值20
所以，所以的最小值为．
11、在数列中，，为的前项和，且函数的导函数有唯一的零点，则________；当不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为________．
【解析】因为，则，
则，
所以，函数为偶函数，
若，则函数的零点个数为偶数，不合乎题意，
所以，，所以，，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，，
所以，，
由可得，则.
令，当时，，
所以当时，；当时，．
所以，，且，，，且，
当为偶数时，则有，则；当为奇数时，，得，
综上可知的取值范围是.
12．将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（）的周长为__________，图（）的面积为___________．
【详解】第一个三角形的周长为，观察发现：
第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了实验室的周长的，第三个在第二个的基础上多了其周长的，
所以第二个图形的周长为，
第三个图形的周长为，
第四个图形的周长为，
……，
所以第个图形的周长是第一个周长的倍，所以第个图形的周长为，
由题意可知，第个图形的边长都相等，且长度变为原来的，则边长的递推公式为
，，所以，
边数的递推公式为，，则，
第一个图形的面积为,
当时，
，
则
13．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则
（Ⅰ）__________； （Ⅱ）若，则__________．（用表示）
【详解】（Ⅰ）;
（Ⅱ）因为
所以
叠加得
因为
所以
14、 已知数列，，对于任意正整数m，n，都满足，则______．
【详解】令，得，所以，则
，，……，，，
所以当时，
，
又满足上式，所以
所以，
故答案为：.
15、已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，______．
【解析】因为，所以
，
所以的图象的对称中心为，即为，
因为等差数列中，，所以，得，
因为的图象的对称中心为，
所以，，，，，
因为，所以，
故答案为：，44．
16、已知数列满足：①仍为数列中的项；②当，且时，仍为数列中的项；③仍为数列中的项.则其通项公式可以为___________.
【详解】结合三个性质与等比数列的性质，不妨设，
则仍为数列中的项；
当，且时，仍为数列中的项；
仍为数列中的项；
故满足题意．故答案为：．
17、用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，的因数有1，2，5，10，，那么__________.
【解析】由的定义易知，且若为奇数则，
令，
则
，
即，
由此可得，
以上各式相加得，
即，
故答案为：.
18、九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的最少移动次银和翠玉制九连环数，且数列满足，，（，），则_______．
【详解】由题意，
故
各项相加，可得
即
故答案为：