第六章平面向量及其应用 提升卷（Word版含解析）

必修二第六章平面向量及其应用（提升卷）
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ）

1. 下列说法中正确的个数是( )
①方向相同的向量叫作相等向量；
②零向量的长度为；
③共线向量是在同一条直线上的向量；
④零向量是没有方向的向量；
⑤共线向量不一定相等；
⑥共线向量方向相同．
A. B. C. D.

2. 设向量不共线，且与共线，则实数的值为（ ）
A. B. C.或 D.

3. 如图，飞机的航线和山顶在同一铅垂面内，若飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到）（ ）
A. B. C. D.

4. 如图，在平行四边形中，分别为和的中点，且.若，其中，则的值为
A. B. C. D.

5. 已知，．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.或

6. 已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.

7. 设向量，，且，则等于
A. B. C. D.

8. 设向量，，若向量与平行，则
A. B. C. D.
二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

9. 若四边形是矩形，则下列命题中正确的是( )
A.，共线 B.，相等
C.，模相等，方向相反 D.，模相等

10. 下列说法错误的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小

11. 已知下列各式：①；②；③；④．其中结果为零向量的是( )
A.① B.② C.③ D.④

12. 在三棱锥中，以下说法正确的有( )
A.若，则
B.若，，则
C.若，，分别为，的中点，则
D.若为的重心，则
三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 在梯形中，，，设，，则________.（用向量表示）

14. 已知是夹角为的两个单位向量，，，则________.

15. 在中，，，且，则________．

16. 在中，，，，是过点的一条线段，且，若，则的最小值为________．
四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）

17.(10分) 已知两个不共线的向量满足，，．
（1）若，求角的值；
（2）若与垂直，求的值；
（3）当时，若存在两个不同的使得成立，求正数的取值范围．

18.(12分) 在中，角，，的对边分别为，，，且.
求角的大小；
若，且，，求边长的值．

19.(12分) 在中，内角，，对边分别是，，，已知.
求；
若，，求的面积．

20.(12分) 在中，边，，分别为角，，的对边，若，且．
（1）求角的度数；
（2）若，求的面积．

21.(12分) 已知圆：，过点的动直线与圆交于、两点，为坐标原点，且.
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求的方程及的面积.

22.(12分) ，角，，的对边为，，．
（1），，，求；
（2），，，求．
参考答案与试题解析
必修二第六章平面向量及其应用（提升卷）
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
零向量
相等向量与相反向量
平行向量（共线向量）
向量的物理背景与概念
【解析】
根据零向量、共线向量、相等向量、以及平行向量的概念，对题目中的命题进行分析、判断即可．
【解答】
解：①大小相等，方向相同的向量叫相等向量，故①错误；
②零向量的长度为，故②正确；
③方向相同或相反的向量叫共线向量，它们不一定在同一条直线上，故③错误；
④零向量的方向是任意的，故④错误；
⑤共线向量不一定是相等向量，故⑤正确；
⑥共线向量方向相同或相反，故⑥错误．
综上，正确的命题序号是②⑤，共个．
故选．
2.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
利用平面向量共线定理可知存在唯一实数使成立，从而求解．
【解答】
解：与共线，
则存在唯一实数使
∵ ，不共线，
∴ ，
∴ ．
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
解三角形的实际应用
【解析】
根据题意求得和的长，然后利用正弦定理求得，最后利用求得问题的答案．
【解答】
解：在中，，，．
根据正弦定理，，
∴ ．
．
所以，山顶的海拔高度为（千米）．
故选：．
4.
【答案】
C
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量的加法及其几何意义
相等向量与相反向量
向量的几何表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：分别为和的中点，
连接与交于点，如图，
则是的一个四等分点，
，
所以.
故选.
5.
【答案】
A
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
求出向量，利用向量共线列出方程，求解即可．
【解答】
，．
．
，
可得：＝，∴ ．
6.
【答案】
D
【考点】
平行向量的性质
向量的模
【解析】
(1)根据题目所给信息进行求解即可.
【解答】
解：已知向量，，
若，则，
解得，
故，
可得.
故选.
7.
【答案】
B
【考点】
向量的模
【解析】
分别求出关于的表达式，解方程即可得结果
【解答】
由题意，可知：
．
：
．
，解得：
故选．
8.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量的坐标运算
【解析】
利用向量共线求出，然后求解斜率的数量积．
【解答】
解：向量，，若向量与平行，
可得，解得．
则．
故选：．
二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9.
【答案】
A,C,D
【考点】
平行向量（共线向量）
相等向量与相反向量
【解析】
根据向量的加法和减法的几何意义（平行四边形法则），结合矩形的判定与性质进行分析可解．
【解答】
解：如图，
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∴ ，的模相等，方向相反，故正确；
∵ 矩形的对角线相等，，
∴ ，模相等，但方向不同，故不正确.
故选.
10.
【答案】
A,B,C
【考点】
向量的物理背景与概念
【解析】
认真审题，首先需要了解向量的物理背景与概念(了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度；既有大小又有方向的量叫做向量)．
【解答】
解：向量不能比较大小，故选项错误；
向量的模能比较大小， 故选项正确.
故选.
11.
【答案】
A,D
【考点】
向量的减法及其几何意义
向量的加法及其几何意义
零向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于①，；
对于②，因为，
所以；
对于③，；
对于④，，
故结果恒为零向量的是①④.
故选．
12.
【答案】
B,D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量加减混合运算及其几何意义
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】

【解答】
解：对于，因为，所以，故错误；
对于，因为，，
所以，，
所以⊥平面，所以，，故正确；
对于，因为
，
且，
所以，，两两垂直，
故
，故错误；
对于，因为为的重心，
所以，
所以，
，
即，
所以，故正确．
故选.
三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
【考点】
向量加减法的应用
向量的线性运算性质及几何意义
向量加减混合运算及其几何意义
向量的加法及其几何意义
相等向量与相反向量
向量的几何表示
向量的物理背景与概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，
.
故答案为：.
14.
【答案】
【考点】
平面向量数量积
向量加减混合运算及其几何意义
单位向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为夹角为，
所以.
已知，，
则
.
故答案为：.
15.
【答案】
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
16.
【答案】
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
问题转化为求的最小值，通过解三角形求出即可．
【解答】
解：由题意可得 ．
由于是过点的一条线段，且，
∴ ，，
要求最小值，问题就是求的最小值，
因为在线段上，如图示：
那么时，最小，
由，得，
∴ ，解得，
∴ ，
∴ 则的最小值是，
故答案为：．
四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）
17.
【答案】
∵ ，∴ ＝，∴ ，
∴ ，．
＝，＝，
若与垂直，则＝，
即，即，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
由得，
令，，
则在上单调递增，在上单调递减，
∴ 的最大值为，
∵ 存在两个不同的使得成立，且，，
∴ ，又，
∴ ．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
（1）根据向量的共线定理列方程得出，从而得出的值；
（2）根据向量垂直得出，计算，开方得出的值；
（3）两边平方得出关于的函数，判断的单调性和最值，根据根的个数得出的范围，从而得出结论．
【解答】
∵ ，∴ ＝，∴ ，
∴ ，．
＝，＝，
若与垂直，则＝，
即，即，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
由得，
令，，
则在上单调递增，在上单调递减，
∴ 的最大值为，
∵ 存在两个不同的使得成立，且，，
∴ ，又，
∴ ．
18.
【答案】
解：在中，根据余弦定理，且，得，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
由及余弦定理得，
，
即，
即，
解得：或.
∵ ，
∴ .
【考点】
余弦定理
【解析】


【解答】
解：在中，根据余弦定理，且，得，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
由及余弦定理得，
，
即，
即，
解得：或.
∵ ，
∴ .
19.
【答案】
解：由正弦定理可得，，
即有，化简得，
由余弦定理，得.
由于，则.
由于，，
则，即. ①
又，即，②
由①②解得，，
则的面积为．
【考点】
余弦定理
正弦定理
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
（1）运用正弦定理，化为边，化简整理，再由余弦定理，即可得到角；
（2）运用向量的数量积的定义和余弦定理，及面积公式即可求得．
【解答】
解：由正弦定理可得，，
即有，化简得，
由余弦定理，得.
由于，则.
由于，，
则，即. ①
又，即，②
由①②解得，，
则的面积为．
20.
【答案】
解：（1）∵
∴ ，
，，，
∴
又∵ 为三角形内角
∴ ．
（2）
∴ ．
【考点】
平行向量的性质
余弦定理的应用
【解析】
（1）∵ ，且．∴ 可根据平面向量平行的坐标运算公式，构造出关于角的方程．解方程求出值．
（2）由（1）的结论，及，根据余弦定理，可以求出值，再利用三角形面积公式，即可求解．
【解答】
解：（1）∵
∴ ，
，，，
∴
又∵ 为三角形内角
∴ ．
（2）
∴ ．
21.
【答案】
（2）
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
（1）由得为的中点，根据圆的性质可得，设出，利用向量数量积的坐标表
示可得结果；
（2）设的轨迹的圆心为，由得到，求出直线！的斜率，再由点斜式可得】的方程，由点到直
线距离公式求出（到】的距离，再由勾股定理求出，代入面积公式可得答案
【解答】
（1）由圆可知圆心，半径为，
设，因为，所以为的中点，
所以
所以，即对
化简得
（2）由（1）知，的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
由于，故○在线段的垂直平分线上，
又在圆上，从而
所以，所以直线】的斜率为
所以直线】的方程为，即
则到直线！的距离为
又到】的距离为
所以
所以的面积为
22.
【答案】
解：（1）∵ ，，，
∴
∵
∴ ；
（2）
由正弦定理可得，
∴ ．
【考点】
解三角形
【解析】
（1）已知三角形的三边，直接利用余弦定理，可求；
（2）先求，再利用正弦定理，即可求得结论．
【解答】
解：（1）∵ ，，，
∴
∵
∴ ；
（2）
由正弦定理可得，
∴ ．
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