第六章平面向量及其应用 基础卷（Word版含解析）

必修二第六章平面向量及其应用（基础卷）
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ）

1. 下列说法中错误的是（ ）
A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B.若向量与不共线，则与都是非零向量
C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D.方向相反的两个非零向量必不相等

2. 已知向量，，若，则
A. B. C. D.

3. 若平面向量，且，则
A. B. C. D.

4. 平面直角坐标系中，向量，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.

5. 若，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.

6. 设，，，且，则实数、的值分别为（ ）
A.， B.， C.， D.，

7. 已知向量，．若不超过，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

8. 已知向量，使成立的与使成立的分别为（ ）
A. B.
C.， D.，
二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

9. 已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是
A.
B.若且则
C.，则
D.若，则与共线且反向

10. 若四边形是矩形，则下列命题中正确的是( )
A.，共线 B.，相等
C.，模相等，方向相反 D.，模相等

11. 已知向量＝，＝，＝，则（ ）
A.（） B.（）
C. D.

12. 已知，，分别是三边，，的中点，则下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 已知、．,，若，，则的坐标为________．

14. 已知等边三角形的中心为，边长为，则向量在上的投影为________．

15. 一船以每小时 的速度向东航行，船在处看到一灯塔在北偏东方向，行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东方向，这时船与灯塔的距离为________.

16. 中，，，则的值为________.
四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）

17.(10分) 已知向量，．
（1）若，求实数；
（2）若，求实数．

18.(12分) 的内角，，所对的边分别为，，．
（1）若，，成等差数列，证明：；
（2）在中，若，求角的大小．

19.(12分) 已知，（其中、分别为、轴正方向的单位向量）
（1）若，求、的夹角；
（2）若，求实数的值．

20. （12分） 设①；②；③，请在这三个条件中任选两个补充到下列问题中，若补充后问题中的三角形存在，求的面积；若不存在，请说明理由．
问题：是否存在，其内角，，的对边分别为，，，且，________．

21.(12分) 已知，.
若，求向量的坐标；
若，求向量的坐标.

22.(12分) 某村子的正西是一片山区．山脚下处已建一处采石场，村子的北边有一池塘，南边有一树林，在处是个石粉厂，在采石场采到的石料由公路运输到石粉厂，如图所示．已知，，，在一条直线上，，，，，．
（1）求的长．
（2）在运作了一段时间后，发现在运输车经过公路，时对池塘有污染..需要另建公路．为了不破坏树林，必须要求，，．求建这条新的公路中的长．
参考答案与试题解析
必修二第六章平面向量及其应用（基础卷）
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1.
【答案】
C
【考点】
向量的物理背景与概念
【解析】
根据向量的基本概念，结合共线向量、相等向量，对选项中的命题进行判断即可．
【解答】
解：对于，向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示向量，有向线段不是向量，向量也不是有向线段，∴ 正确；
对于，∵ 与任一向量都共线，∴ 向量与不共线时，、都是非零向量，正确；
对于，长度相等但方向相反的两个向量是共线向量，∴ 错误；
对于，相等向量的大小相等，方向相同的两个向量，∴ 方向相反的两个非零向量必不相等，正确．
故选：．
2.
【答案】
D
【考点】
数量积的坐标表达式
【解析】
根据向量垂直的条件，利用数量积坐标直接计算即可．
【解答】
故选：
3.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量的坐标运算
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由，得，解得，
又，所以，所以，
所以，
所以
故选．
4.
【答案】
D
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据，两个向量平行的条件是建立等式，解之即可．
【解答】
解：因为，由两个向量平行的条件得，故
故选．
5.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
平行向量的性质
【解析】
，是两个单位向量，可得，由于与夹角没有给出，因此，即可判断出．
【解答】
解：∵ ，是两个单位向量，
∴ ，
由于与夹角没有给出，
∴ 不一定正确，，，
因此．．．不正确．
对于，正确．
故选：．
6.
【答案】
D
【考点】
平面向量的坐标运算
相等向量与相反向量
【解析】
利用向量的线性坐标运算法则和向量相等即可得出．
【解答】
解：∵ ，且，．
∴ ，解得．
故选．
7.
【答案】
C
【考点】
向量的加法及其几何意义
向量的模
【解析】
利用向量加法的坐标运算求出的坐标，再代入向量模的公式，由题意列出关于的不等式，求出解集即是的范围．
【解答】
解：∵ ，，∴ ，
∴ ，∵ 不超过，
∴ ，即，解得，
∴ 的取值范围是．
故选．
8.
【答案】
A
【考点】
平行向量的性质
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
利用平行与垂直的充要条件将垂直与平行转化为关于的方程解方程求．
【解答】
解：若，则；
若，则：：，．
故应选．
二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9.
【答案】
A,D
【考点】
平面向量数量积
相等向量与相反向量
平行向量（共线向量）
【解析】
对于，由向量的夹角公式判断即可；对于，举反例即可；对于，若，则不一定共线；对于，对
两边平方化简即可
【解答】
解：对于，若中有零向量，则显然成立，若均不为零向量，则因为，所以
Ⅰ，所以正确；
对于，若所在的直线在所在直线夹角的平分线上，且，则有，而不成立，所以错误；
对于，若，则，而不一定共线，所以错误；
对于，因为，所以，所以，所以与共线且反向，所
以正确，
故选：
10.
【答案】
A,C,D
【考点】
平行向量（共线向量）
相等向量与相反向量
【解析】
根据向量的加法和减法的几何意义（平行四边形法则），结合矩形的判定与性质进行分析可解．
【解答】
解：如图，
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∴ ，的模相等，方向相反，故正确；
∵ 矩形的对角线相等，，
∴ ，模相等，但方向不同，故不正确.
故选.
11.
【答案】
A,D
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
通过向量坐标运算，求解．然后判断向量是否平行与垂直判断；求解向量模判断；
【解答】
，；
，故错对，正确．
12.
【答案】
A,B,C,D
【考点】
向量的加法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
【考点】
向量数乘的运算及其几何意义
【解析】
求出，则可求出的坐标，于是．
【解答】
解：，．
∴ ，．
∴ ，
∴ ．
故答案为．
14.
【答案】
【考点】
向量的投影
平面向量数量积
【解析】
画出图形，求出向量的模长，从而求出在向量上的投影大小．
【解答】
解：如图，；
∵ 是等边的中心，且；
∴
∴ 向量在上的投影为
；
故答案为：．
15.
【答案】
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ ，
在中，，.
设，根据正弦定理得：，
即，
∴ ，即此时船与灯塔的距离为.
故答案为：.
16.
【答案】
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：
，
.
故答案为：.
四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）
17.
【答案】
解：因为，分（1）因为，所以分
（2）因为，所以分
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
直接求出，，（1）利用向量共线的充要条件求解即可．
（2）通过斜率的数量积为，求解即可．
【解答】
解：因为，分（1）因为，所以分
（2）因为，所以分
18.
【答案】
（1）证明：∵ ，，成等差数列，
∴ ，即，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即，
∵ ，
∴ ．
【考点】
余弦定理
【解析】
（1）由，，成等差数列，利用等差数列的性质得到，利用正弦定理化简，整理即可得证；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，代入已知等式求出的值，即可确定出的度数．
【解答】
（1）证明：∵ ，，成等差数列，
∴ ，即，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即，
∵ ，
∴ ．
19.
【答案】
解：（1）当时，，，
设、的夹角为，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，，
∴ ，，
由可得 ，
代入数据可得，
解得
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
（1）当时可得，，由夹角公式和反三角函数可得；
（2）由题意易得，，由垂直可得 ，解的方程可得．
【解答】
解：（1）当时，，，
设、的夹角为，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，，
∴ ，，
由可得 ，
代入数据可得，
解得
20.
【答案】
解：由得，
，
，
，，
选择①②：
得，，
∴ ，
∴ ，
解得或（舍），
所以存在这样的三角形，
；
选择②③：
得，，
，，可知，，
∴ ，
由，得，，
所以存在这样的三角形，
；
选择①③：
，，
∴ ，
∴ ，解得，
所以存在这样的三角形，
．
【考点】
解三角形
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：由得，
，
，
，，
选择①②：
得，，
∴ ，
∴ ，
解得或（舍），
所以存在这样的三角形，
；
选择②③：
得，，
，，可知，，
∴ ，
由，得，，
所以存在这样的三角形，
；
选择①③：
，，
∴ ，
∴ ，解得，
所以存在这样的三角形，
．
21.
【答案】
解：设向量，
由题意可得
解得或
所以或．
设向量，
由题意可得
解得或
所以或．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设向量，
由题意可得
解得或
所以或．
设向量，
由题意可得
解得或
所以或．
22.
【答案】
解：（1）在中，由余弦定理可知
∴
（2）过作交与，，交与，则
，
∴
在中，由正弦定理可知
∴
∴
∵
∴ ．
【考点】
解三角形的实际应用
【解析】
（1）在中，利用余弦定理根据，和求得．
（2）过作交与，，交与，则，，进而求得，进而在中，由正弦定理求得，则可求，最后把和相加即可．
【解答】
解：（1）在中，由余弦定理可知
∴
（2）过作交与，，交与，则
，
∴
在中，由正弦定理可知
∴
∴
∵
∴ ．
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