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6.3三角形的中位线
一、单选题
1．如图在中，点点分别是边的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．中，点D、E分别为边上的一点．给出命题：①如果D为的中点，且，那么E也是的中点；②如果，那么．其中（ ）．
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确
3．如图，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为【 】
A．5 B．10 C．20 D．40
4．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
5．在□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E是AD的中点，AB=6，BC=8,BD=12，则△DOE的周长是（ ）
A．24 . B．13 . C．10. D．8.
6．如图，在四边形中，E，F分别为、的中点，G是的中点，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
7．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC＝10，则PQ的长为( )
A． B． C．3 D．4
8．如图，中，、分别是、的中点，平分，交于点，若，则的长是
A．3 B．2 C． D．4
9．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )
A．12 B．14 C．24 D．21
10．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).
A． B． C． D．
二、填空题
11．中位线性质：三角形的中位线____第三边，并且等于第三边的__________.
12．如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长为15m，则A、B两点间的距离为__________
13．如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____．
14．如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．
15．如图，在中，，点分别在上，且，点分别为的中点，则的长为___________．
16．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则的周长的最小值是____．
17．如图所示，在中，点，，分别是、、的中点，，，分别是、、的中点，…，以此类推．若的周长为1，则的周长为__________．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．证明：四边形DECF是平行四边形．
19．已知，如图在△ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点．
求证：（1）四边形AFDE是平行四边形；
（2）周长等于AB+AC．
20．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．
（1）求DB的长；
（2）在△ABC中，求BC边上高的长．
21．如图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点．
（1）求证：，；
（2）若，，求四边形的面积．
22．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．
（1）若EF＝5cm，则AB＝______cm；若BC＝9cm，则DE＝_______cm；
（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．
23．如图，等边△ABC的边长是4，点D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
24．如图，在四边形中，，、分别是边、的中点，的延长线分别、的延长线交于点、，求证：．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．
26．如图，图1中ΔABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF.
(1)求证：BE=EF；
(2)若将DE从中位线的位置向上平移，使点D、E分别在线段AB、AC上(点E与点A不重合)，其他条件不变，如图2，则(1)题中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立.请说明理由.
27．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
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6.3三角形的中位线
一、单选题
1．如图在中，点点分别是边的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理解答即可．
解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
2．中，点D、E分别为边上的一点．给出命题：①如果D为的中点，且，那么E也是的中点；②如果，那么．其中（ ）．
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形中位线性质可判定①正确；由BC=2DE，不能得到DE//BC，据此判断②错误．
解：如图，
①中，
D为的中点，且，
是的中位线，
E也是的中点，
故①正确；
② D为的中点，
无法判断与是否相等，故不能判断，
故②错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形中位线的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3．如图，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为【 】
A．5 B．10 C．20 D．40
【答案】C
【解析】
由已知，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点，根据三角形中位线定理，得AB、BC、AC分别是FE、DF、DE的两倍．因此，由△DEF的周长为10，得△ABC的周长为20．故选C．
4．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可．
∵AD＝AC，
∴是等腰三角形，
∵AE⊥CD，
∴，
∴E是CD的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了三角形的线段长问题，掌握等腰三角形的性质和中位线的性质是解题的关键．
5．在□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E是AD的中点，AB=6，BC=8,BD=12，则△DOE的周长是（ ）
A．24 . B．13 . C．10. D．8.
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质和三角形中位线定理即可得出答案．
∵ ABCD对角线相交于点O，E是AD的中点，
∴，AD= =8，，
EO是△ABD的中位线，
∴，
∴△DOE的周长．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质的应用,利用三角形中位线定理求得是解题的关键．
6．如图，在四边形中，E，F分别为、的中点，G是的中点，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意易得，然后根据三角形三边关系可进行排除选项．
解：∵E，F分别为、的中点，G是的中点，
∴，
由三角形三边关系可得：，即，
∴，
当四边形是平行四边形时，则有，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线，熟练掌握三角形中位线是解题的关键．
7．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC＝10，则PQ的长为( )
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．
解：∵BQ⊥AE，BQ平分∠ABE，BQ=BQ
∴
∴AB=BE，AQ=QE
同理可证AC=CD，AP=PD
∵△ABC的周长为26，
∴AB+BC+AC=26，
∴AB+AC=16，
∴BE+CD=16，
∴BD+DE+CD=16
∴BC+DE=6
∴DE=6，
又∵Q、P分别是AE，AD的中点，
∴PQ是△ADE的中位线，
∴
8．如图，中，、分别是、的中点，平分，交于点，若，则的长是
A．3 B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB，进而求出DF的长．
在中，、分别是、的中点，
，
，
平分，
．
．
．
在中，，
，
．
故选．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定于性质．三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
9．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )
A．12 B．14 C．24 D．21
【答案】A
【解析】
【分析】
利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，然后代入数据进行计算即可得解．
∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12.
故选A.
【点睛】
此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出BC的值
10．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位线的性质得到EMAC′＝1，根据勾股定理得到AB＝2，即可得到结论．
取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大．
∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2．
∵E为BC′的中点，∴EMAC′＝1．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM．
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
11．中位线性质：三角形的中位线____第三边，并且等于第三边的__________.
【答案】 平行于 一半
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，即可解答.
三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，
故答案为(1). 平行于 (2). 一半.
【点睛】
本题考查三角形中位线定理.
12．如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长为15m，则A、B两点间的距离为__________
【答案】30m
【解析】
【分析】
由D，E分别是边AC，BC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB的长即可．
解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形的中位线定理，得：AB=2DE=30m．
故答案为：30m．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理的运用；熟记三角形中位线定理是解决问题的关键．
13．如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____．
【答案】15
【解析】
∵ ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD．
∴OE=BC．
∴△DOE的周长="OD+OE+DE=" OD +（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．
故答案是：15．
14．如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
依据三角形中位线定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．
解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=2，MN∥BC，
∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE=CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD=MN=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
15．如图，在中，，点分别在上，且，点分别为的中点，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
取AB的中点D，连接，利用三角形中位线定理证得为等腰直角三角形，即可求得答案．
如图，取的中点，连接，．
∵点分别为的中点，
∴为的中位线，为的中位线，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理和等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活运用三角形中位线定理是解答本题的关键．
16．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则的周长的最小值是____．
【答案】3
【解析】
【分析】
连接AG交EF于M，根据等边三角形的性质证明A、G关于EF对称，得到P，△PBG周长最小，求出AB+BG即可得到答案．
解：要使△PBG的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG最短即可，
连接AG交EF于M，
∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴AG⊥BC，EF∥BC，
∴AG⊥EF，AM=MG，
∴A、G关于EF对称，
即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，
AP=PG，BP=BE，
最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．
故答案为3．
17．如图所示，在中，点，，分别是、、的中点，，，分别是、、的中点，…，以此类推．若的周长为1，则的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据中位线的性质得出△的周长为的一半，再以此类推，即可得出答案.
∵点，，分别是、、的中点
∴，，
∴
又∵，，分别是、、的中点
∴，，
∴
…
∴
故答案为.
【点睛】
本题考查的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三条边的一半.
三、解答题
18．如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．证明：四边形DECF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先由中位线定理得到DF∥BC，，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
证明：∵D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．
∴DF∥BC，，
∴四边形DECF是平行四边形．
19．已知，如图在△ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点．
求证：（1）四边形AFDE是平行四边形；
（2）周长等于AB+AC．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据三角形的中位线的性质得到DE和AF平行且相等，从而得出平行四边形；
(2)根据中点的性质得出DF=EC，DE=BF，从而得出答案．
证明： (1)∵D、E分别是BC、AC的中点，F为AB的中点，
∴DE=AF，DE∥AF，
∴四边形AFDE是平行四边形；
(2)、∵点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点，
∴DF=EC，DE=BF，
∴四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC．
20．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．
（1）求DB的长；
（2）在△ABC中，求BC边上高的长．
【答案】（1）BD=3；（2）BC边上高的长为6．
【解析】
【分析】
（1）直接利用勾股定理得出BD的长即可；
（2）利用三角形中位线定理得出BD=AE，即可得到结论．
解：（1）∵DB⊥BC，BC=4，CD=5
∴BD==3；
（2）延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E
∵DB⊥BC，AE⊥BC
∴AE∥DB
∵D为AC边的中点
∴BD=AE
∴AE=6
即BC边上高的长为6．
【点睛】
本题考查勾股定理；三角形中位线定理．
21．如图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点．
（1）求证：，；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）利用中位线性质可得，．，．可证四边形是平行四边形．由平行四边形性质可得，．
（2）由和，可推得．求由点是中点，．由三等分可求．根据平行四边形性质可得四边形的面积．
（1）证明：∵点，分别是，的中点，
∴，．
∵点，分别是，的中点，
∴，．
∴，．
∴四边形是平行四边形．
∴，；
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∵，
∵点是中点，
∴．
∴．
∴四边形的面积．
【点睛】
本题考查中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，掌握中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，注意中线与中位线的区别以及它们性质是解题关键．
22．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．
（1）若EF＝5cm，则AB＝______cm；若BC＝9cm，则DE＝_______cm；
（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．
【答案】（1）10、4.5；（2）中线AF与中位线DE互相平分；理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”可得解；
（2）由三角形的中位线的性质可知四边形ADFE是平行四边形，因此中线AF与中位线DE互相平分．
解：（1）∵在△ABC中，点E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB且EFAB．又EF＝5cm，
∴AB＝10cm．同理，DEBC＝4.5cm；故答案是：10、4.5
（2）互相平分，理由：如图，连接DF，
∵AD＝EF，AD∥EF，∴四边形ADFE为平行四边形，∴中线AF与DE的关系是互相平分．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，它的性质与线段的中点及平行线紧密相连．
23．如图，等边△ABC的边长是4，点D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）EF=；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用三角形中位线定理即可解决问题；
（2）先求出CD，再证明四边形DEFC是平行四边形即可；
（3）过点D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解决问题．
解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF；
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD＝＝，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝；
（3）过点D作DH⊥BC于H，
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DH＝DC＝，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝2×＝．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24．如图，在四边形中，，、分别是边、的中点，的延长线分别、的延长线交于点、，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，根据三角形中位线定理即可得到PF=AD，PF∥AD，EP=BC，EP∥BC，进而得出∠AHF=∠BGF．
解：如图所示，连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，
∵E、F分别是DC、AB边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF=AD，PF∥AD，EP=BC，EP∥BC，
∴∠H=∠PFE，∠BGF=∠FEP，
又∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴∠AHF=∠BGF．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理的运用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当∠A＝90°时，FG⊥FH．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，得到DB＝EC，根据三角形中位线定理证明结论；
（2）延长FG交AC于N，根据三角形中位线定理得到FH∥AC，FN∥AB，根据平行线的性质解答即可．
（1）证明：∵AB＝AC．
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴DB＝EC，
∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，
∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FG＝BD，FH＝CE，
∴FG＝FH；
（2）解：延长FG交AC于N，
∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FH∥AC，FN∥AB，
∵FG⊥FH，
∴∠A＝90°，
∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
26．如图，图1中ΔABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF.
(1)求证：BE=EF；
(2)若将DE从中位线的位置向上平移，使点D、E分别在线段AB、AC上(点E与点A不重合)，其他条件不变，如图2，则(1)题中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立.请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)结论仍然成立；(3)
【解析】
【分析】
(1)利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论;
(2)由中位线的性质、平行线的性质,等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明
(1)证明：∵ΔABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=，AB=BC=AC
∵DE是中位线，
∴E是AC的中点，
∴BE平分∠ABC，AE=EC
∴∠EBC=∠ABC=
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠F
∵∠CEF+∠F=∠ACB=，
∴∠F=，
∴∠EBC=∠F，
∴BE=EF
(2)结论仍然成立.
∵DE是由中位线平移所得；
∴DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC=，∠AED=∠ACB=，
∴ΔADE是等边三角形，
∴DE=AD=AE，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵AE=CF，
∴DE=CF
∵∠BDE=-∠ADE=，∠FCE=-∠ACB=，
∴∠FCE=∠EDB，
∴ΔBDE≌ΔECF，
∴BE=EF
【点睛】
此题考查等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用三线合一证明得出结论
27．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）、；（2）等腰直角三角形，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出结论．
解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形． 理由如下： 由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD=AB+AD=14，
∴PM=7，
∴S△PMN最大= PM2=×49=．
【点睛】
本题主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.
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八下数学同步备课 课件+作业+单元检测
北师大版八年级下册
第六章 平行四边形
6. 3三角形的中位线
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给两个小朋友，要求两人所分的大小相同，请设计合理的解决方案；若平均分给四个小朋友，要求他们所分的大小都相同，请设计合理的解决方案；
情景引入
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案.
问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗
合作探究
问题2：连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形
四个全等的三角形
三角形的中位线及其性质
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
D
E
知识要点
两层含义:
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 .
① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的 ；
中位线
中点
A
B
C
1.画出△ABC中所有的中位线.
2.画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别.
D
E
F
温馨提示
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
E
D
F
A
C
B
你还能画出几条三角形的中位线？
（1）相同之处——都和边的中点有关；
（2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点。
C
B
A
E
D
概念对比
C
B
A
D
中线DC
中位线DE
DE和边BC关系
数量关系：
位置关系：
DE∥BC
DE= BC.
A
B
C
D
E
问题1:△ABC中,若D是AB的中点时,E也是AC
的中点,则DE与BC存在何种关系
小组讨论
想一想
如图：在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点.
则有：
DE∥BC,
DE= BC.
2
1
E
A
B
C
D
说一说
E
A
B
C
D
F
解题分析2:
延长DE到F,使EF=DE , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
得CF=AD , CF//AB
又可得CF=BD,CF//BD
所以四边形BCFD是平行四边形
则有DE//BC,DE= DF= BC
解题分析 3.
A
B
C
D
E
B
C
A
D
E
F
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴四边形DBCF是平行四边形
∵AE=EC
∴ CF∥DA，CF=DA
∴CF∥BD，CF=BD
∴ DF∥BC，DF=BC
又DE= DF
∴DE∥BC且DE= BC
三角形中位线定理
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
几何语言：
∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE)
C
E
D
B
A
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
用 途
A
C
B
E
D
F
初试身手
练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点
若∠ADE=65°，则∠B= 度，为什么？
若BC=8cm，则DE= cm，为什么？
65
4
若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm，
则△DEF的周长=______
练习1.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点
9cm
若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____
12
1、 三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？
探究活动
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？
图中有_____个平行四边形
若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
3
6
设 计 方 案：
F
（中点）
(中点)D
E(中点)
A
B
C
例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线
互相平分.
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC.
求证：AE与DF互相平分.
F
A
B
C
D
E
证明:连接DE、EF，因为
AD=DB，BE=EC，
所以DE ∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）。
同理EF ∥AB。
所以四边形ADEF是平行四边形。
因此AE、DF互相平分。（平行四边形的对角线互相平分）
定应用
已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,小明通过学习,估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗
C
M
B
A
N
其中的道理是:
连结A、B,
∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠1＝∠2．
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.
猜想四边形EFGH的形状并证明。
A
B
C
D
E
F
G
H
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
证明：如图，连接AC
∵EF是△ABC的中位线
同理得：
∴四边形EFGH是平行四边形
典例示范
答： 四边形EFGH为平行四边形。
1.如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若AB=10cm，AC=8cm，BC=12cm，则EF=____，DF=____，DE=____，△DEF的周长为______ .
5cm
4cm
6cm
15cm
课堂练习
2.如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD于E，若OE=3cm，则AD的长为（ ）．
A.3cm
B.6cm
C.9cm
D.12cm
B
3.如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
求证：AB=2OF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD=BC．
∵CE=CD，∴AB＝CE，
∴四边形ABEC为平行四边形．
∴BF=FC，∴OF＝ AB，即AB=2OF．
∥
∥
∥
4.如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MN∥AD且MN= AD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
又∵EF∥AB，∴EF∥CD．
∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．
又∵M，N分别为□ABEF和□ECDF对角线的交点．
∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．
∴MN∥AD且MN= AD．
谢谢
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