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6.1 平行四边形的性质
一、单选题
1．已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确，再根据外角的性质得到∠2=∠CBE+∠1，即可判断C．
解：A正确；
∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1=∠2；
B、D正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠1=∠2；
C不正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1=∠BCE，
∵∠2=∠CBE+∠BCE，
∴∠2=∠CBE+∠1，
∴∠2＞∠1，即一定不相等；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、对顶角的性质、平行线的性质以及外角的性质；熟练掌握平行四边形的性质时解决问题的关键．
2．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm
【答案】D
【解析】
【分析】
平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形，从而可得答案．
解：由平行四边形的对角线互相平分，可得：
A、∵2+3＜10，
不能构成三角形，故不符合题意；
B、 4+3＜10，
不能构成三角形，故不符合题意；
C、 4+6＝10，
不能构成三角形，故不符合题意；
D、 ＞15，
能构成三角形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的三边之间的关系，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
3．如图，在中，已知，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，，又由，根据勾股定理，即可求得的长．
解：四边形是平行四边形，，
，，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题的关键是还要注意勾股定理的应用．
4．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质：
②平行四边形是中心对称图形：
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是（ ）．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质、中心对称图形的定义和全等三角形的判定进行逐一判定即可．
解：∵平行四边形是四边形的一种，
∴平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确：
∵平行四边形绕其对角线的交点旋转180度能够与自身重合，
∴平行四边形是中心对称图形，故②正确：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠CBA
∴△ADC≌△CBA（SAS）
同理可以证明△ABD≌△CDB
∴平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∴，，，
∴，
∴平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形中线把面积分成相同的两部分等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．如图，在平面直角坐标系中，□AOCB的顶点C的坐标为（3，4），点A的坐标为（6，0），则顶点B的坐标为（ ）
A．（6，4） B．（7，4） C．（8，4） D．（9，4）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可得BC＝AO＝6，再根据C点坐标可得B点坐标．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AO，
∵点A的坐标为(6,0)，
∴CB＝AO＝6，
∵C的坐标为(3,4)，
∴点B的坐标为(9,4)，
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是平行四边形的性质，解题关键是利用平行四边形对边相等解题．
6．如图，的周长为，，和相交于点，交于点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，两组对边分别平行且相等，对角线相互平分，OE⊥BD可说明EO是线段BD的中垂线，中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，则BE=DE，再利用平行四边形ABCD的周长为16cm可得AB+AD=8cm，进而可得△ABE的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD
又∵OE⊥BD
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE=DE
∴AE+E=AE+BE，
∵平行四边形ABCD的周长为16cm
∴AB+AD=8cm
∴△ABE的周长=AB+AD=AB+AE+BE=8cm．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，关键是掌握平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分．
7．如图，，的顶点在上，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出∠BAD=∠C=100°，AD∥BC，由平行线的性质得出∠2=∠ADE，∠ADE+∠BAD+∠1=180°，得出∠1+∠2=180°-∠BAD=80°即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=100°，AD∥BC，
∴∠2=∠ADE，
∵l1∥l2，
∴∠ADE+∠BAD+∠1=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAD=80°；
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质和平行线的性质是解题的关键．
8．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）
A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平行四边形的周长为28，
∴
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴的周长，
故选D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理.
9．如图,在中，，是上的点,∥交于点，∥交于点，那么四边形的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明□AFDE的周长等于AB＋AC．
∵DE∥AB，DF∥AC，
则四边形AFDE是平行四边形，
∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF，
∴BF＝FD，DE＝EC，
所以□AFDE的周长等于AB＋AC＝10．
故答案为B
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键．
10．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ( )
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=4∠AEF
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
【答案】B
【解析】
【分析】
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD．
∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF．
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故①正确；
延长EF，交CD延长线于M．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF．
∵F为AD中点，
∴AF=FD．
在△AEF和△DFM中，，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M．
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°．
∵FM=EF，
∴EF=CF，故②正确；
∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM．
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故③正确；
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题的关键．
二、填空题
11．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA=3x，AC=4x+12，则OC的长为______．
【答案】18
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可得方程，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，
∵OA＝3x，AC＝4x+12，
，
解得：x＝6，
∴OC＝3x＝18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质．注意根据平行四边形的对角线互相平分，得到方程是关键．
12．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD=120°，若BC=10cm，则AC=________，AB=_________．
【答案】 cm 5cm
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理得到，根据所对的直角边为斜边的一半以及勾股定理可得出答案．
解： ∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵∠BAD=120°，
∴，
∵CA⊥AB，
∴，，
∴，，
故答案为：cm；5cm．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，所对直角边的性质，熟知性质定理是解本题的关键．
13．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB=_____，BC=_____．
【答案】 20cm 10cm
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分．已知周长为60cm，可以求出一组邻边的和为30cm，△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB比BC的值多10cm，则进一步可求出AB，BC的长．
解：∵□ABCD的周长为60cm，
AB+BC=30，
∵△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，
∴AB-BC=10，
∴
解得
故答案为：①20cm ②10cm．
【点睛】
本题考察了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分，做题的关键是由一组邻边的和为30cm，△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，列出方程解方程即可．
14．若平行四边形的一边长为6，一条对角线为8，则另一条对角线a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD，在△BOC中，由三角形的三边关系定理得出OB的取值范围，得出BD的取值范围即可．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD，
在△BOC中，BC＝6，OC＝4，
∴OB的取值范围是BC OC＜OB＜BC＋OC，
即2＜OB＜10，
∴BD的取值范围是4＜BD＜20．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形的三边关系定理；熟练掌握平行四边形的性质和三角形的三边关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．
15．如图，为的对角线，M、N分别在上，且则_____（填“＜”、“＝”或“＞”）
【答案】＝
【解析】
【分析】
连结，根据平行四边形的性质可得，，由已知条件根据等底同高的三角形面积相等可得，即可得出答案．
连结，如图
四边形是平行四边形，
，
，,
，
,
，
．
故答案为：=
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，通过找到等底同高的三角形是解题的关键．
16．如图，、分别是的边、上的点，与相交于点，与相交于点．若，，则阴影部分的面积为__________．
【答案】40
【解析】
【分析】
连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．
解：如图，连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC，
即S△EFQ=S△BCQ，
同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△APD，
∵S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，
∴S四边形EPFQ=40cm2，
故答案为：40．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
17．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则AP=______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据BD＝CD，AB＝CD，可得BD＝BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN＝AM．由DN＝AM＝，依据∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，∠ABD＝∠P＋∠PAB，即可得到是等腰直角三角形，进而得到．
解：∵BD＝CD，AB＝CD，
∴BD＝BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，∠ABD＝∠P＋∠PAB，
∴∠P＝∠MAP，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，解决问题给的关键是判定是等腰直角三角形．
18．如图所示，在平行四边形ABCD中，，F是AD的中点，作，垂足E在线段上，连接EF、CF，则下列结论；；，中一定成立的是______ 把所有正确结论的序号都填在横线上
【答案】
【解析】
分析：由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系，进而得出答案．
详解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，
即∠BCD=2∠DCF；故此选项错误；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
④∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
综上可知：一定成立的是②③，
故答案为②③．
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．
三、解答题
19．已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度．
【答案】其他各边的长都是5，两条对角线的长分别为6，8
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，先证明AC⊥BD，得四边形ABCD是菱形，即可解决问题．
解：∵OA=3，OB=4，AB=5，
∴OA2+OB2=32+42=25，AB2=25，
∴AO2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥DB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，AC=2AO=6，BD=2BO=8．
．
答：其他各边的长都是5，两条对角线的长分别为6，8．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是利用勾股定理的逆定理得出对角线互相垂直．
20．如图，在中，对角线与相交于点O，．求的长度及的面积．
【答案】OB的长为3， ABCD的面积为48．
【解析】
【分析】
直接利用勾股定理得出BD的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．
解：∵BD⊥AD，AB=10，AD=8，
∴BD==6．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=BD=3，
∴S ABCD=6×8=48．
故OB的长为3， ABCD的面积为48．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出BD的长是解题关键．
21．如图，在中，，求和的度数．
【答案】∠ACB=21°，∠CAB=34°
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质AD//CB，AB∥CD，∠B=∠ADC=125°，再根据三角形的内角和以及平行线的性质即可得出答案；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=125°，
∴AD//CB，AB∥CD，∠B=∠ADC=125°，
∴∠ACB=∠CAD，
∵∠CAD=21°，
∴∠ACB=21°，
在△ABC中，∠CAB=180°-∠B-∠ACB=180°-125°-21°=34°，
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形的内角和，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键
22．如图，四边形是平行四边形．求：
（1）和的度数；
（2）和的长度．
【答案】（1）；（2）25，30
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质：对角相等、邻角互补，结合已知条件即可得到相关答案；
（2）根据平行四边形的性质：两组对边分别相等，即可得到正确答案．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ,
∵
∴
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，牢记相关知识点灵活应用是解题的关键．
23．如图，中，、是直线上两点，且．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；
（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．
证明：（1）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD≌△ECB是解题的关键．
24．如图，O为□ABCD 的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形 请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．
【答案】（1）有4对全等三角形．分别为，，，；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）有4对全等三角形，分别为，，，；利用平行四边形的性质，可证得；；再由OE=OF，可证得；，即可求解；
（2）先证得，可得，再根据平行四边形的性质，可得，即可求证．
解：（1）有4对全等三角形，分别为，，，；证明如下：
在 中，
∴ ，
∵O为□ABCD 的对角线AC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴；
∵OE=OF， ， ，
∴；
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴；
在 中，
，
∵ ，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25．已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD=DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．
（1）如图1，若，AF=，求DG的长；
（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM﹣EM=2DG．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）设EF=x，DF=2x，则DE=EF+DF=3x=AD，根据勾股定理求出x，在△ADF中，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D点作DK⊥DM交AC于点K，求出为等腰直角三角形，求出MK=2DG即可．
（1）解：设EF=x，
，
DF=2x，则DE=EF+DF=3x=AD
在Rt中，AD2+DF2=AF2，
，
∵x＞0，
∴x=1，
∴EF=1，DF=2，AD=3，
∴由三角形面积公式得：
即
（2）证明：过D点作DK⊥DM交AC于点K，
∵∠1+∠KDF=90°，∠2+∠KDF=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠3+∠4=90°，∠5+∠EFM=90°，
又∵∠4=∠EFM，
∴∠3=∠5，
在△ADK和△EDM中
，
∴（ASA），
∴DK=DM，AK=EM，
∴为等腰直角三角形，
∵DG⊥AC，
∴MK=2DG，
∴AM﹣EM=AM﹣AK=MK=2DG．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
26．如图1，在 ABCD中，∠D=45°，E为BC上一点，连接AC，AE，
（1）若AB=2，AE=4，求BE的长；
（2）如图2，过C作CM⊥AD于M，F为AE上一点，CA=CF，且∠ACF=∠BAE，求证：AF+AB=AM．
【答案】（1）2-2；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）如图（1），过A作AH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）如图（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF内以AF为底边作等腰直角三角形AFP，连接CP，根据平行线的性质函数三角形的内角和得到∠CAN=∠PAC，求得∠APC=∠FPC==135°=∠ANC，根据全等三角形的性质得到AP=AN，于是得到结论．
解：（1）如图（1），过A作AH⊥BC于H，
在 ABCD中，∠D=∠B=45°，AB=2，
∴AH=BH=2，
∵AE=4，
∴EH==2，
∴BE=BH-EH=2-2；
（2）如图（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF内以AF为底边作等腰直角三角形AFP，连接CP，
∵∠AFC+∠FAC+∠ACF=180°，∠B+∠FAC+∠BAF+∠CAN=180°，
∴∠AFC=∠B+∠CAN=45°+∠CAN，
∵∠FAC=∠FAP+∠PAC=45°+∠PAC，∴∠FAC=∠AFC，
∴∠CAN=∠PAC，
∵∠APC=∠FPC==135°=∠ANC，
∴△APC≌△ANC（AAS），
∴AP=AN，
∵AM=AN+MN，
∴AM=AN+MN=AF+CD=AF+AB，
即AF+AB=AM．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线解题的关键．
27．问题探究：已知平行四边形的面积为，是所在直线上一点．
如图：当点与重合时，________；
如图，当点与与均不重合时，________；
如图，当点在（或）的延长线时，________．
拓展推广：如图，平行四边形的面积为，、分别为、延长线上两点，连接、、、，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．
实践应用：如图是一平行四边形绿地，、分别平行于、，它们相交于点，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域（连接、、，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）；拓展推广：阴影部分的面积；实践应用：三角形区域的面积．
【解析】
【分析】
(1)平行四边形的面积等于底乘以高，设平行四边形ABCD的高为h， △DCM边CD的高也为h，由题S平行四边形ABCD=CD×h，S△DCM=CD×h=S平行四边形ABCD=50；
(2)由（1）同理可得S△DCM =50；
(3)由（1）同理可得S△DCM =50；
拓展推广：由（1）的结论可得S△ADF=a， S△ABE=a，由此即可得阴影部分的面积；
应用，由推广的结论，有，，，由此即可求出三角形区域的面积.
设平行四边形ABCD的边CD上的高为h，则△DCM边CD的高也为h，
∵S平行四边形ABCD=CD×h，则平行四边形的面积，
；
与同理可得；
与同理可得；
拓展推广：
根据的结论，，
，
∴阴影部分的面积；
实践应用：
根据前面信息，，
，
，
∴三角形区域的面积．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等底同高的三角形的面积等知识，弄懂题意，结合图形、熟练运用相关知识是解题的关键.
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6.1 平行四边形的性质
一、单选题
1．已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（ ）
A． B． C．D．
2．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm
3．如图，在中，已知，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质：
②平行四边形是中心对称图形：
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是（ ）．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
5．如图，在平面直角坐标系中，□AOCB的顶点C的坐标为（3，4），点A的坐标为（6，0），则顶点B的坐标为（ ）
A．（6，4） B．（7，4） C．（8，4） D．（9，4）
6．如图，的周长为，，和相交于点，交于点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，的顶点在上，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）
A．28 B．24 C．21 D．14
9．如图,在中，，是上的点,∥交于点，∥交于点，那么四边形的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
10．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ( )
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=4∠AEF
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
二、填空题
11．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA=3x，AC=4x+12，则OC的长为______．
12．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD=120°，若BC=10cm，则AC=________，AB=_________．
13．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB=_____，BC=_____．
14．若平行四边形的一边长为6，一条对角线为8，则另一条对角线a的取值范围是________．
15．如图，为的对角线，M、N分别在上，且则_____（填“＜”、“＝”或“＞”）
16．如图，、分别是的边、上的点，与相交于点，与相交于点．若，，则阴影部分的面积为__________．
17．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则AP=______．
18．如图所示，在平行四边形ABCD中，，F是AD的中点，作，垂足E在线段上，连接EF、CF，则下列结论；；，中一定成立的是______ 把所有正确结论的序号都填在横线上
三、解答题
19．已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度．
20．如图，在中，对角线与相交于点O，．求的长度及的面积．
21．如图，在中，，求和的度数．
22．如图，四边形是平行四边形．求：
（1）和的度数；
（2）和的长度．
23．如图，中，、是直线上两点，且．
求证：（1）；
（2）．
24．如图，O为□ABCD 的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形 请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．
25．已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD=DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．
（1）如图1，若，AF=，求DG的长；
（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM﹣EM=2DG．
26．如图1，在 ABCD中，∠D=45°，E为BC上一点，连接AC，AE，
（1）若AB=2，AE=4，求BE的长；
（2）如图2，过C作CM⊥AD于M，F为AE上一点，CA=CF，且∠ACF=∠BAE，求证：AF+AB=AM．
27．问题探究：已知平行四边形的面积为，是所在直线上一点．
如图：当点与重合时，________；
如图，当点与与均不重合时，________；
如图，当点在（或）的延长线时，________．
拓展推广：如图，平行四边形的面积为，、分别为、延长线上两点，连接、、、，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．
实践应用：如图是一平行四边形绿地，、分别平行于、，它们相交于点，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域（连接、、，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．
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八下数学同步备课 课件+作业+单元检测
北师大版八年级下册
第六章 平行四边形
6.1 平行四边形的性质
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
观察下图，平行四边形在生活中无处不在.
情景引入
你还能举出其他的例子吗？
活动1：如果将一个三角形的两边分别平移,会得到什么图形？
思考：请观察颜色相同的两组对边，它们有怎样的位置关系呢？
合作探究
一、平行四边形边的相关概念
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
平行四边形
活动2：观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2.记作： ABCD . 读作：平行四边形ABCD.
几何语言：
∵AB∥CD，AD∥BC ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线.如图AC.
4.平行四边形中，相对的边称为对边，
相对的角称为对角.
概念学习
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
2
3
1
4
5
说一说
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O 旋转180°，你发现了什么
A
C
D
B
O
合作探究
二、平行四边形边的中心对称性
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
再看一遍
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
你有什么猜想？
根据刚才的旋转，你知道平行四边形是什么图形？
猜一猜
□ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说□ABCD是 中心对称图形，两条对角线的交点O是它的对称中心.
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
活动3：将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.
说一说：通过拼图你可以得到什么启示？
平行四边形对边相等，对角相等.
这个结论正确吗？
三、平行四边形边和角的性质
方法1：度量法
A
B
C
D
这个方法准确吗？
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形；
A
B
C
D
四边形问题
转化
三角形问题
方法2：推理证明
证明：如图，连接AC
∵AD∥BC，AB ∥ CD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
又AC是△ABC和△CDA的公共边
∴ △ABC≌ △CDA（ASA）
∴AB=CD，AD=CD
∠B=∠D
已知： ABCD,AB∥CD，AD∥BC.
求证： AB=CD，BC=DA； ∠B=∠D,∠BAD=∠DCB
又∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3
即∠BAD=∠DCB.
证明结论
思考：不添加辅助线，你能否直接 运用平行四边形
的定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵AB∥DC
∠ABC+∠BCD=180°
AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC=180°
∴∠BCD=∠BAD
同理 ∠ABC=∠ADC
几 何 语 言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
D
平行四边形的性质
知识要点
性质定理1
性质定理2
在上一课的“做一做”中，我们还发现：平行
四边形的对角线互相平分. 请你尝试证明这一结论.
四、平行四边形对角线的性质
已知：如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.求证：OA＝OC, OB＝OD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD(平行四边形的对边
相等)，
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAO＝∠DCO, ∠ABO＝∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴OA＝OC，OB＝OD.
你还有其他证明方法吗？与同伴交流.
证明：
例1
定理 平行四边形的对角线互相平分.
总 结
对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．
数学表达式：
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
例2
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝BO(平行四边形的对角线互相平分），
AD∥BC(平行四边形的定义）.
∴∠ODE＝∠OBF.
∵∠DOE＝∠BOF,
∴△DOE≌△BOF. ∴OE＝OF.
已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：OE＝OF.
已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB他的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以AC＝2OA＝6 ，BD＝2OB＝8 .
又因为OA2＋OB2＝32＋42＝52＝AB2，所以AC⊥BD.
由勾股定理，可得AD2＝OA2＋OD2，
而OD＝OB，所以AD2＝32＋42.
所以AD＝5. 同理，可得DC＝5，BC＝5.
解：
1
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( )
A．AO＝OD
B．AO⊥OD
C．AO＝OC
D．AO⊥AB
2
C
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( )
A．10
B．14
C．20
D．22
3
B
如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( )
A.
B.
C.
D.
4
D
如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若 ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．14
B．13
C．12
D．10
5
C
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6
B
1.面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平
行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边
间的距离)；
2.等底等高的平行四边形的面积相等．
五、平行四边形的面积
〈福州〉如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，
AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是________．
例3
20
求 ABCD的周长，已知一
条边AD＝6，只需求出AD的
邻边AB或CD的长即可．
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC.
∴EC＝BC－BE＝6－2＝4，∠ADE＝∠DEC.
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.
∴∠EDC＝∠DEC. ∴DC＝EC＝4.
∴ ABCD的周长是2×(4＋6)＝20.
导引：
〈本溪〉如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，
∠B＝30°，则此平行四边形的面积是( )
A．6
B．12
C．18
D．24
例4
B
过点A作AE⊥BC于E，根据含30°角的直角三角形
的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等
于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形的面
积公式即可求出其面积．
如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵在直角三角形ABE中，
∠B＝30°，
∴AE＝ ×AB＝ ×4＝2.
∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝6×2＝12.
导引：
求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面
积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．
平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平
行线间的距离处处相等．
总 结
如图，若 ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm， ABCD的面积为( )cm2.
A．40
B．32
C．36
D．50
1
A
如图，过 ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的 AEMG的面积S1与 HCFM的面积S2的大小关系是( )
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．2S1＝S2
2
C
如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A．3
B．6
C．12
D．24
3
C
通过本节课的学习，你有什么收获？
1.平行四边形的定义
2.平行四边形的性质
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
课堂小结
3.平行四边形与四边形的关系．
4.学行四边形哪些方面的性质？
5.两条平行线的距离是怎样定义的？有什么性质？
谢谢
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