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八下数学同步备课 课件+作业+单元检测
北师大版八年级下册
第六章 平行四边形
6.2 平行四边形的判定
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
学行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形.第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.
小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢
大家都困惑了……
情景引入
活动1：用两根长30cm的木条和两根长20cm的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.
20cm
30cm
猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
合作探究
一、平行四边形的判定定理1
已知： 四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
连接BD，
在△ABD和△CDB中,
AB=CD
BD=DB
AD=CB
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴ ∠1=∠2 , ∠ 3=∠4.
∴AB∥ CD , AD∥ CB
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理1
B
D
C
A
总结归纳
例1 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的两点，且AF＝CE.
求证：四边形AECF为平行四边形
B
A
C
D
F
E
证明：可求得△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE=CF
又∵AF=CE
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
典例精析
活动2：将两根同样长的木条AD，BC平行放置,再用木条AB，DC加固,得到的四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
二、平行四边形的判定定理2
连接AC.
∵AB//CD, ∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（SAS）.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
D
A
B
C
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理2
B
D
C
A
总结归纳
例2 如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵在平行四边形ABCD中，
AE、CF分别是∠DAB、 ∠BCD的角平分线
∴∠B=∠D,AB=CD, AD∥BC
∠BAE=∠DCF= ∠DAB= ∠BCD
∴△ABE≌△CDF(ASA)
∴BE=DF∴AF=CE ∵AF∥CE
∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框，为什么？
7cm
4cm
3cm
3cm
5cm
4cm
阅读思考
4cm
4cm
4cm
4cm
3cm
3cm
3cm
3cm
发现：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.
活动：
有一名同学将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图的四边形，你认为这个四边形是平行四边形吗？
活动探究：做一做 :小组活动，回答下列问题。（小组讨论，3min）
三、平行四边形的判定定理3
现在将你手中两根长度不等的细木条摆放在一张纸上，能否使得这两根细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点呢 做一做，与同伴交流．
活动探究：做一做 :小组活动，回答下列问题。（小组讨论，3min）
已知:如图6-12,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明: ∵ OA=OC,OD=OB,
∠AOD=∠COB,
∴ △AOD≌△COB.
∴ AD=CB,∠ADO=∠CBO,
∵ ∠ADO=∠CBO
∴ AD∥CB
∵ AD=CB且AD∥CB
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
思考：以上活动事实,能用文字语言表达吗？
平行四边形判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
以上定理转换成数学语言是
如图
∵ OA=OC,OB=OD
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
例2:已知,如图6-13(1),在平行四边形ABCD中，
点E、F在对角线AC上，并且AE=CF．
求证:四边形BFDE是平行四边形吗？
证明: 如图,连接BD，交AC于点O.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC,OB=OD.
又∵AE=CF
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、F分别是OA和OC的中点，四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OD=OB,OA=OC
∵E、F分别是AO、CO的中点
∴OE= OA,OF= OC
∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
2
1
2
1
变式2：若E、F移至OA、OC的延长线上，且AE=CF，结论有改变吗？为什么？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OD=OB,OA=OC
∵ AE=CF
∴OE=OA+AE,OF=OC+CF
∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
思考：我们可以从角出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
四、由定义判定平行四边形
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°
∴2∠A+2∠B=360°
即∠A+∠B=180°
∴ AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥ CD
证明：
定义判定：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
归纳小结
判定
定理1
定理2
定义判定
文字语言
图形语言
符号语言
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理
A
B
C
D
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
∵ AB= CD,
AB∥CD,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
O
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,
∴四边形ABCD是
ABCD
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图中也可以看到这一点)．
猜想：平行线间距离处处相等.
活动：
平行线之间的距离
五、平行线之间的距离
如图，直线a//b，A,B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C,D.求证：AC=BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1=∠2=90°.
∴AC∥BD.
∵ AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形.
∴AC=BD.
a
b
A
B
C
D
1
2
猜想证明：
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线间的距离处处相等）.
结论
A
B
思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到线之间的距离有何区别与联系？
a
b
A
B
点到直线的距离只有一条，即过直线外一点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线上任一点都可以得到一条两平行直线的距离.
结论
A
B
思考：若垂线段改为夹在两条平行线间的平行线段呢？它们是否相等呢？
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.
结论
例 如图,甲船从北岸码头A向南行驶,航速为36千米/时;乙船从南岸码头B向北行驶,航速为27千米/时.两船均于7:15出发,两岸平行,水面宽为18.9千米,求两船距离最近时的时刻.
平行线之间的距离
素养考点 1
解：设x分钟后两船距离最近,
当如图EF⊥BD,AE = DF时,两船距离最近,
根据题意得出:36x=18.9-27x, 解得x=0.3,
0.3小时=0.3×60分钟=18(分钟),
则两船距离最近时的时刻为7:33.
方法总结
平行线之间的距离概念辨析
注意:平行线之间的距离是指其中一条直线上的点到另一条直线的距离,是垂线段的长度,而不是垂线段.
作法:从其中一条直线上任意找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度即平行线之间的距离.
如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 .
A
B
C
D
E
分析：根据平行线之间的距离处处相等.
解析：设高为h,则S△ABD= ·BD·h=16,所以h=4,
所以S △ACE= ·AE·h= ×5 ×4=10.
10
变式训练
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD EF，EF BC.
∴AD BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
//
=
//
=
//
=
思考：四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD 是平行四边形.
提示:要由其中的一个或多个平行四边形，得出四边形中边角的条件，判定其他四边形也是平行四边形
平行四边形性质与判定的综合运用
A
B
C
D
E
F
已知，如图，在平行四边形ABCD中，BN=DM，BE=DF．求证：四边形MENF是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠MDF=∠NBE．
∵DM=BN，DF=BE，
∴△MDF≌△NBE(SAS).
∴MF=NE，∠MFD=∠NEB．
∴四边形MENF是平行四边形.
∴∠MFE=∠NEF ∴FM∥EN．
平行四边形性质与判定的综合运用
素养考点 2
例
如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：BE=DF；
（2）若M,N分别为边AD,BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
变式训练
（2）四边形MENF是平行四边形．
由（1）可知：BE=DF，
∵四边形ABCD为平行四边行，∴AD∥BC，
∴∠MDB=MBD，
∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，
∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，
∴∠MFE=∠NEF， ∴MF∥NE，
∴四边形MENF是平行四边形．
谢谢
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6.2平行四边形的判定
一、单选题
1．能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ ）
A．已知平行四边形的两邻边 B．已知平行四边形的相邻两角
C．已知平行四边形的两邻边和一条对角线 D．已知平行四边形的两条对角线
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C
3．下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠D
C．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC
5．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）
A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形
B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形
C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形
6．点A、B、C、D在同一平面内，从（1），（2），（3），（4）这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（ ）种．
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．11个
8．如图，过 ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的 AEMG的面积S1与 HCFM的面积S2的大小关系是( )
A．S1=S2 B．S1>S2 C．S19．如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为【 】
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,再添加一个条件____,则四边形ABCD是平行四边形(图中不再添加辅助线)
12．四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，当CD=_______时，四边形ABCD是平行四边形．
13．如图，在四边形中，，若加上，则四边形为平行四边形，现在请你添加一个适当的条件：__________，使得四边形为平行四边形．（图中不再添加点和线）
14．如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有_______个平行四边形，它们分别是____________．
15．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，剩余一条为边，可以画出________个平行四边形.
16．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是68°25′，那么光线与纸板左上方所成的∠2的度数为_______.
17．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6 cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动(Q运动到B时两点同时停止运动),则________后四边形ABQP为平行四边形.
18．在△ABC中，BC=a．作BC边的三等分点C1，使得CC1：BC1=1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2=1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为______________.
三、解答题
19．在四边形中，，求的长度．
20．已知：如图，在中，E，F分别是边和上的点，交于点H，交于点G．求证：．
21．如图，的对角线与相交于点O，E，F是上的两点．
（1）当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由；
（2）当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由．
22．如如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的点．
（1）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，那么四边形EFGH是平行四边形吗？证明你的结论；
（2）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，那么四边形EFGH是平行四边形吗？证明你的结论；
（3）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，其中n为大于1的正整数，那么上述结论还成立吗？
23．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
25．如图，平行四边形中，对角线、交于点．将直线绕点顺时针旋转分别交、于点、．
（）在旋转过程中，线段与的数量关系是__________．
（）如图，若，当旋转角至少为__________时，四边形是平行四边形，并证明此时的四边形是是平行四边形．
26．如图，中，，连结，是边上一点，连结交于点．
（1）如图1，连结，若，，求的面积；
（2）如图2，延长至点，连结、，点在上，且，，过作于点．若，求证：．
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6.2平行四边形的判定
一、单选题
1．能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ ）
A．已知平行四边形的两邻边 B．已知平行四边形的相邻两角
C．已知平行四边形的两邻边和一条对角线 D．已知平行四边形的两条对角线
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行四边形的判定定理结合四边形的不稳定性进行判断即可．
解：A、仅仅知道平行四边形的两邻边根据平行四边形的不稳定性知不能确定其形状和大小；
B、已知平行四边形的相邻两角只能大体确定其形状，但并不能确定其大小，故错误；
C、能确定其形状及大小，故正确；
D、已知平行四边形的两对角线只能确定大小，不能确定形状，故错误．
故选：C．
【点睛】
考查了平行四边形的判定和不稳定性，平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
解：A、当AB∥CD，AD=BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；
B、AB∥CD，AB=DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；
C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
3．下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定逐项分析即可得．
解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．
4．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠D
C．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC
【答案】C
【解析】
【分析】
平行四边形的判定定理①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．
解：A、根据AD∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．
5．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）
A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形
B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形
C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可.
解：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形的对角线互相平分
∴D能判定ABCD是平行四边形．
若AO＝BO，CO＝DO，证明AC=BD，并不能证明四边形ABCD是平行四边形，故C错误，
若AO＝OC，条件不足，无法明四边形ABCD是平行四边形，故A错误，
若AC＝BD，条件不足，无法明四边形ABCD是平行四边形，故B错误，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定条件.
6．点A、B、C、D在同一平面内，从（1），（2），（3），（4）这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（ ）种．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
平行四边形与边相关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据以上判定方法对条件逐一判断即可得到答案.
解：如图，
选取（1），（2），
由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
选取（1），（3），
由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
选取（2），（4），
由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
选取（3），（4），
由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
故选：
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定方法是解题的关键.
7．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．11个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的定义即可求解．
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、
GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形，
共9个，
故选：C．
【点睛】
本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
8．如图，过 ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的 AEMG的面积S1与 HCFM的面积S2的大小关系是( )
A．S1=S2 B．S1>S2 C．S1【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，相减即可求出答案．
∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD都是平行四边形，
在△ABD和△CDB中
∵，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2．
故选A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．
9．如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A不符合题意；根据平行线的性质得到∠DEF=∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF=BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意；根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C符合题意；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D不符合题意．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故A不符合题意；
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，故B不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
同理，，
∴不能判定四边形为平行四边形；故C符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
10．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为【 】
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，PE．
∵APBE，
∴四边形APEB是平行四边形．
∴PEAB．，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EFBD．
∴EF∥AB．
∴P，E，F共线．
设BD=a，
∵，∴PE=AB=4a．
∴PF=PE﹣EF=3a．
∵PH∥BC，
∴S△HBC=S△PBC．
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形．
∴BH=PF=3a．
∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，
∴S△PBC：S△ABC=3：4．
故选D．
二、填空题
11．如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,再添加一个条件____,则四边形ABCD是平行四边形(图中不再添加辅助线)
【答案】AB=CD（或AD∥BC）
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理添加条件即可.
解：已知AB∥CD，
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴可添加AB=CD或AD∥BC，
故答案为AB=CD（或AD∥BC）.
【点睛】
本题考查了平行线四边形的判定，平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
12．四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，当CD=_______时，四边形ABCD是平行四边形．
【答案】4
【解析】
【分析】
直接利用平行四边形的判定方法得出AB＝CD时四边形ABCD是平行四边形．
解：当AB∥CD，且AB＝CD时，四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，AB＝4，
∴当CD＝4时，四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定定理是解题关键．
13．如图，在四边形中，，若加上，则四边形为平行四边形，现在请你添加一个适当的条件：__________，使得四边形为平行四边形．（图中不再添加点和线）
【答案】
【解析】
连结，交于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
14．如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有_______个平行四边形，它们分别是____________．
【答案】 3 □ABCE，□ABGC，□AFBC
【解析】
试题解析：图中共有3个平行四边形，它们分别是
理由如下：
∵AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，
∴AB∥EC，EA∥BC,
∴四边形ABCE是平行四边形；
同理可证，四边形ABGC是平行四边形；
四边形AFBC是平行四边形.
故答案为3,
15．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，剩余一条为边，可以画出________个平行四边形.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质得出OA=OC= AC，BO =OD=BD，分为三种情况：①AC=10，BD=14，AB=20时，②AC=10，BD=20，AB=14时，③AC=20，BD=14，AB=10时，求出AO和BO的值，根据三角形的三边关系定理看看△AOB是否存在即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，BO=OD=BD，
分为三种情况：
①AC=10，BD=14，AB=20时，AO=5，BO=7，
则5+7＜20，不符合三角形三边关系定理；不能组成平行四边形；
②AC=10，BD=20，AB=14时，AO=5，BO=10，
则5+10＞14，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
③AC=20，BD=14，AB=10时，AO=10，BO=7，
则7+10＞10，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
可以画出不同形状的平行四边形的个数是2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和三角形的三边关系定理的应用，能运用定理判断平行四边形是否存在时解此题的关键．
16．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是68°25′，那么光线与纸板左上方所成的∠2的度数为_______.
【答案】68°25′
【解析】
因为AB∥CD，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以∠2=∠1=68°25′，故答案为68°25′.
17．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6 cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动(Q运动到B时两点同时停止运动),则________后四边形ABQP为平行四边形.
【答案】2s
【解析】
【分析】
设运动时间为t秒，则AP=t，QC=2t，根据四边形ABQP是平行四边形，得AP=BQ，则得方程t=6-2t即可求解．
如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，
则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，
∵AD∥BC，
∴AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=6-2t，
∴t=2，
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．
故答案为2s．
【点睛】
此题主要考查的是平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是关键．
18．在△ABC中，BC=a．作BC边的三等分点C1，使得CC1：BC1=1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2=1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理得到四边形A1C1CD1为平行四边形，根据平行四边形的性质得到A1D1=C1C，总结规律，根据规律解答．
∵A1C1∥AC，A1D1∥BC，
∴四边形A1C1CD1为平行四边形，
∴A1D1=C1C=a=，
同理，四边形A2C2C1D2为平行四边形，
∴A2D2=C1C2=a=，
……
∴线段AnDn=，
故答案为．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定和性质、图形的变化规律，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
三、解答题
19．在四边形中，，求的长度．
【答案】2
【解析】
【分析】
先证明，从而可证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质解答．
解：∵，
∴∠A+∠B=30°+150°=180°，∠B+∠C=180°，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴AB=CD，
∵AB=2，
∴CD=2．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握平行四边形的判定和性质是关键．
20．已知：如图，在中，E，F分别是边和上的点，交于点H，交于点G．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据题意四边形是平行四边形，可得，结合已知条件，可得四边形是平行四边形可得，进而判断四边形是平行四边形，可得，进而可得四边形是平行四边形，即可证明．
证明：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
21．如图，的对角线与相交于点O，E，F是上的两点．
（1）当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由；
（2）当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据四边形是平行四边形，则，，由即可得到，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形；
（2）根据四边形是平行四边形，进而可得，，结合，证明进而可得，，根据等角的补角相等可得，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边即可得证．
解：（1），理由如下，
四边形是平行四边形
，
四边形是平行四边形；
（2），理由如下，
四边形是平行四边形
又
四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．
22．如如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的点．
（1）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，那么四边形EFGH是平行四边形吗？证明你的结论；
（2）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，那么四边形EFGH是平行四边形吗？证明你的结论；
（3）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，其中n为大于1的正整数，那么上述结论还成立吗？
【答案】（1）四边形EFGH是平行四边形，理由见解析；（2）四边形EFGH是平行四边形，理由见解析；（3）上述结论成立；理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再由AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，得出OE=OG，OF=OH，根据平行四边形的判定定理即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质和已知条件得出OE=OG，OF=OH，即可得出结论；
（3）由平行四边形的性质和已知条件得出OE=OG，OF=OH，即可得出结论．
解：（1）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（3）上述结论成立；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解决问题的关键．
23．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°，由直角三角形的性质可得FG，CG，GD的长，由勾股定理可求CD的长．
（1）∵点E为CD中点，
∴CE=DE．
∵EF=BE，
∴四边形DBCF是平行四边形．
（2）∵四边形DBCF是平行四边形，
∴CF∥AB，DF∥BC．
∴∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°．
在Rt△FCG中，CF=6，
∴FG＝CF＝3，CG＝．
∵DF=BC=4，
∴DG=1．
在Rt△DCG中，
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用直角三角形的性质求线段CG的长度是本题的关键．
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）20.
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出平行四边形ABCD的周长．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=20．
25．如图，平行四边形中，对角线、交于点．将直线绕点顺时针旋转分别交、于点、．
（）在旋转过程中，线段与的数量关系是__________．
（）如图，若，当旋转角至少为__________时，四边形是平行四边形，并证明此时的四边形是是平行四边形．
【答案】（）相等；（）
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE
（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，然后根据平行四边形的对边平行求出AF∥BE，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
试题解析：
（）相等,理由如下：
如图所示：
在 ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；
（）证明：当旋转角为时，
，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴AB∥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
即：AF∥BE，
∵AB∥EF，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
26．如图，中，，连结，是边上一点，连结交于点．
（1）如图1，连结，若，，求的面积；
（2）如图2，延长至点，连结、，点在上，且，，过作于点．若，求证：．
【答案】（1）；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE，然后求出三角形面积；
（2）利用已知条件能够求出≌，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果．
解：（1）
如图：过A点作AN⊥BE，交BE于N．
∵，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE=6
即：AN=
∵
∴
∵BE=6
∴BC=10
∴EC=4
∴
即：的面积为．
（2）
如图：延长GD至P使DP=BG，连接AP，
∵AH=AF，
∴∠AFH=∠AHF
即：∠AFB=∠AHD，
又∵AF=AH，BF=DH，
∴≌
∴AB=AD
又∵，，
∴∠ABG=∠ADP
∵BG=DP，
∴≌
∴AG=AP，∠BAG=∠DAP
∵∠ABC=60°
∴∠BAD=120°
即：∠GAP=120°
∴∠AGP=∠APG=60°，
又∵AM⊥GD
∴GP=2GM=AG，
∵BG=GP
∴BG+GD=GD+DP=GP
即：BG+GD=AG．
【点睛】
本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．
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