1平行四边形的性质
第2课时
教材认知
1．平行四边形的对角线__互相平分__．
2．平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形，相对的三角形__全等__．
微点拨
平行四边形的两条对角线交点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，把平行四边形分成的四部分的面积相等，并且经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．
基础必会
1．平行四边形的一边长为6 cm，则它的两条对角线长可以是(D)
A.4 cm，6 cm B．5 cm，6 cm C．4 cm，8 cm D．2 cm，12 cm
2．(恩施州中考)如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为(B)
A．30 B．60 C．65 D．
3．(新疆哈密质检)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是(A)
A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
4．如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则(C)
A．S1＋S2＞ B．S1＋S2＜
C．S1＋S2＝ D．S1＋S2的大小与P点位置有关
5．(兰州质检)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为____．
6．在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若△AOB的面积为4，则 ABCD的面积为__16__.
7.(兰州质检)如图，在 ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE＝CF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF.
8.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于F.
(1)求证：△ADE≌△BFE.
(2)若DF平分∠ADC，连接CE.试判断CE与DF的位置关系，并说明理由．
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠F，∠A＝∠2，
∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE，∴△ADE≌△BFE.
(2)CE⊥DF.理由：
∵DF平分∠ADC，∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠F，∴∠3＝∠F，∴CD＝CF.
又∵△ADE≌△BFE，
∴DE＝FE，∴CE⊥DF.
能力提升
1．(乌鲁木齐期中)如图，过 ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的 AEMG的面积S1与 HCFM的面积S2的大小关系是(C)
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．2S1＝S2
2．(银川质检)如图，在 ABCD中，AC＝4 cm，AB＝5 cm，则BD的取值范围是(D)
A．3 cmC．6 cm3．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是__26°__．
4．(江西中考)如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则 ABCD的周长为__4a＋2b__．
5．如图， ABCD与 DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为__25°__.
6．(素养提升)在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，____________(填写序号).
求证：BE＝DF.
【解析】选②，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BE＝DF.
选择：②(答案不唯一)
PAGE1平行四边形的性质
第2课时
教材认知
1．平行四边形的对角线__ __．
2．平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形，相对的三角形__ __．
微点拨
平行四边形的两条对角线交点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，把平行四边形分成的四部分的面积相等，并且经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．
基础必会
1．平行四边形的一边长为6 cm，则它的两条对角线长可以是( )
A.4 cm，6 cm B．5 cm，6 cm C．4 cm，8 cm D．2 cm，12 cm
2．(恩施州中考)如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为( )
A．30 B．60 C．65 D．
3．(新疆哈密质检)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是( )
A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
4．如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则( )
A．S1＋S2＞ B．S1＋S2＜
C．S1＋S2＝ D．S1＋S2的大小与P点位置有关
5．(兰州质检)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为__ __．
6．在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若△AOB的面积为4，则 ABCD的面积为__ __.
7.(兰州质检)如图，在 ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE＝CF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF.
8.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于F.
(1)求证：△ADE≌△BFE.
(2)若DF平分∠ADC，连接CE.试判断CE与DF的位置关系，并说明理由．
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠F，∠A＝∠2，
∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE，∴△ADE≌△BFE.
(2)CE⊥DF.理由：
∵DF平分∠ADC，∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠F，∴∠3＝∠F，∴CD＝CF.
又∵△ADE≌△BFE，
∴DE＝FE，∴CE⊥DF.
能力提升
1．(乌鲁木齐期中)如图，过 ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的 AEMG的面积S1与 HCFM的面积S2的大小关系是( )
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．2S1＝S2
2．(银川质检)如图，在 ABCD中，AC＝4 cm，AB＝5 cm，则BD的取值范围是( )
A．3 cmC．6 cm3．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是__ __．
4．(江西中考)如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则 ABCD的周长为__ __．
5．如图， ABCD与 DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为__ __.
6．(素养提升)在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，____________(填写序号).
求证：BE＝DF.
【解析】选②，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BE＝DF.
选择：②(答案不唯一)
PAGE第六章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第1课时
教材认知
1．平行四边形：两组对边分别__平行__的四边形．
四边形ABCD是平行四边形，记作“ ABCD”．
2．平行四边形的性质：
(1)平行四边形的中心对称性：平行四边形是__中心__对称图形，其对称中心为两条__对角线__的交点．
(2)平行四边形的边角关系：
平行四边形的对边平行且__相等__，平行四边形的对角__相等__，邻角__互补__．
微点拨
理解平行四边形定义的两点注意
(1)只有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，当四边形的两组对边分别平行时才是平行四边形．
(2)平行四边形的定义既是平行四边形的性质又是平行四边形的判定．
基础必会
1．(青海海东质检)如图， ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC的长为(D)
A．6 cm B．12 cm C．4 cm D．8 cm
2．如图，在 ABCD中，已知AD＝12 cm，AB＝8 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于(C)
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
3．(株洲中考)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝(B)
A．38° B．48° C．58° D．66°
4．如图，平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC的垂直平分线交AD于E，则三角形CDE的周长是(C)
A．6 B．8 C．14 D．16
5．(甘肃酒泉质检)如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是(C)
A．(－4，1) B．(4，－2) C．(4，1) D．(2，1)
6．(兰州质检)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是(C)
A．61° B．109° C．119° D．122°
7．如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为__50°__．
8．(内蒙古乌海质检)如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为__50__．
9.已知：如图，E是 ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC.
求证：△ABC≌△DCE.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE(SAS).
10．(新疆伊犁期中)已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.
求证：(1)△ADE≌△CBF；
(2)ED∥BF.
【证明】(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC＋∠EAD＝180°，
∠BCA＋∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)由(1)知，△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，
∴ED∥BF.
能力提升
1．(兰州质检)如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝3 cm，AF＝4 cm.若 ABCD的周长为56 cm，则BC的长为(B)
A．14 cm B．16 cm C．28 cm D．32 cm
2．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝(C)
A．55° B．65° C．75° D．85°
3．(包头中考)如图，在 ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2＋CE2的值为__16__．
4.(素养提升)如图，在 ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE.
(1)若∠D＝105°，∠DAF＝35°.求∠FAE的度数．
(2)求证：AF＝CD＋CF.
【解析】(1)∵∠D＝105°，∠DAF＝35°，
∴∠DFA＝180°－∠D－∠DAF＝40°(三角形内角和定理).
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD(平行四边形对边平行且相等).
∴∠DFA＝∠FAB＝40°(两直线平行，内错角相等)；
∵∠DFA＝2∠BAE(已知)，
∴∠FAB＝2∠BAE(等量代换).即∠FAE＋∠BAE＝2∠BAE.∴∠FAE＝∠BAE，
∴2∠FAE＝40°，∴∠FAE＝20°.
(2)
在AF上截取AG＝AB，连接EG，CG.
∵∠FAE＝∠BAE，AE＝AE，∴△AEG≌△AEB.
∴EG＝BE，∠B＝∠AGE.
又∵E为BC中点，∴CE＝BE.∴EG＝EC，∴∠EGC＝∠ECG.
∵AB∥CD，∴∠B＋∠BCD＝180°.
又∵∠AGE＋∠EGF＝180°，∠AGE＝∠B，∴∠BCF＝∠EGF；
又∵∠EGC＝∠ECG，∴∠FGC＝∠FCG，∴FG＝FC；
又∵AG＝AB，AB＝CD，∴AF＝AG＋GF＝AB＋FC＝CD＋FC，∴AF＝CD＋CF得证．
PAGE第六章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第1课时
教材认知
1．平行四边形：两组对边分别__ __的四边形．
四边形ABCD是平行四边形，记作“ ABCD”．
2．平行四边形的性质：
(1)平行四边形的中心对称性：平行四边形是__ __对称图形，其对称中心为两条__ __的交点．
(2)平行四边形的边角关系：
平行四边形的对边平行且__ __，平行四边形的对角__ __，邻角__ __．
微点拨
理解平行四边形定义的两点注意
(1)只有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，当四边形的两组对边分别平行时才是平行四边形．
(2)平行四边形的定义既是平行四边形的性质又是平行四边形的判定．
基础必会
1．(青海海东质检)如图， ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC的长为( )
A．6 cm B．12 cm C．4 cm D．8 cm
2．如图，在 ABCD中，已知AD＝12 cm，AB＝8 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于( )
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
3．(株洲中考)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝( )
A．38° B．48° C．58° D．66°
4．如图，平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC的垂直平分线交AD于E，则三角形CDE的周长是( )
A．6 B．8 C．14 D．16
5．(甘肃酒泉质检)如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( )
A．(－4，1) B．(4，－2) C．(4，1) D．(2，1)
6．(兰州质检)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是( )
A．61° B．109° C．119° D．122°
7．如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为__ __．
8．(内蒙古乌海质检)如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为__ __．
9.已知：如图，E是 ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC.
求证：△ABC≌△DCE.
10．(新疆伊犁期中)已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.
求证：(1)△ADE≌△CBF；
(2)ED∥BF.
能力提升
1．(兰州质检)如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝3 cm，AF＝4 cm.若 ABCD的周长为56 cm，则BC的长为( )
A．14 cm B．16 cm C．28 cm D．32 cm
2．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝( )
A．55° B．65° C．75° D．85°
3．(包头中考)如图，在 ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2＋CE2的值为__ __．
4.(素养提升)如图，在 ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE.
(1)若∠D＝105°，∠DAF＝35°.求∠FAE的度数．
(2)求证：AF＝CD＋CF.
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