2平行四边形的判定
第2课时
教材认知
对角线__ __的四边形是平行四边形．
微点拨
判定平行四边形的方法选择
已知条件 证明思路
一组对边相等 1.另一组对边也相等 2.相等的边也平行
一组对边平行 1.另一组对边也平行 2.平行的边也相等
对角线相交 对角线互相平分
基础必会
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD B．AD∥BC
C．AB＝CD，AD∥BC D．AC⊥BD
3．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD＋PE＋PF＝( )
A．条件不够，不能确定 B．6
C．9 D．18
4．小玲的爸爸在做平行四边形框架时，采用如下方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是__ __．
5．(青海海西质检)已知四边形ABCD，点O是对角线AC与BD的交点，且OA＝OC，请再添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，那么添加的条件可以是__ __．(用数学符号语言表达)
6．(青海玉树质检)若AC＝10，BD＝8，那么当AO＝__ __，DO＝__ __时，四边形ABCD是平行四边形．
7.如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.
(1)求证：△AOF≌△COE；
(2)连接AE，CF，则四边形AECF________(填“是”或“不是”)平行四边形．
8.如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)若AD的长为2，求CF的长．
(2)若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
能力提升
1．(新疆吐鲁番期中)如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①BE＝DF；②EF＝CD；③四边形AEFD为平行四边形．其中正确的结论是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．在平面直角坐标系中，已知A(2，1)，B(3，－1)，C(1，－1).若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是__ __．
3．(宁夏吴忠质检)四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD；②AD∥BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有__ __种．
4．(素养提升)如图所示，已知D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长至G，使FG＝2DF，连接AG，则ED，AG互相平分吗？请说明理由．
PAGE2平行四边形的判定
第3课时
教材认知
1．若两条直线互相平行，则其中一条直线上__任意__两点到另一条直线的距离__相等__，这个距离称为平行线之间的距离．结论：夹在两平行线间的平行线段__相等__．
2．符号语言：如图，E，N为直线a上任意两点且直线a∥b，EF⊥b，NM⊥b，垂足分别为F，M，则EF＝__MN__．
微点拨
平行线之间的距离是指其中一条直线上的点到另一条直线的距离，是垂线段的长度，而不是垂线段．
基础必会
1．(宁夏固原质检)体育课上，老师测量跳远成绩的依据是(C)
A.平行线间的距离相等
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
2．(青海玉树质检)以长为5 cm，4 cm，7 cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(内蒙古通辽质检)如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5 cm，BC＝3 cm，那么平行线a，b之间的距离为(B)
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．不能确定
4．如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，则S1，S2，S3的关系是__S1＝S2＝S3__．
5．(甘肃天水质检)如图，已知AD∥BC，CE＝5，CF＝8，则AD与BC间的距离是__5__．
6．如图，直线MN过 ABCD的顶点D，过A，B，C三点，分别作MN的垂线，垂足分别是E，F，G.求证：DE＝FG.
【证明】作CH⊥BF于H，则CH∥FG，
∵CG⊥MN，BF⊥MN，∴CG∥BF，
∴四边形CGFH是平行四边形，∴CH＝FG，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABF＋∠FBC＝180°，
∵AE⊥MN，∴∠AED＝∠BHC＝90°，AE∥BF，
∴∠EAD＋∠DAB＋∠ABF＝180°，∴∠EAD＝∠FBC，∴△EAD≌△HBC(AAS).
∴DE＝CH，∴DE＝FG.
能力提升
1．(兰州质检)已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3 cm，直线b与c之间的距离是5 cm，那么直线a与c的距离是(C)
A．2 cm B．8 cm C．8或2 cm D．不能确定
2．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为__4__．
3.(素养提升)如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C.
(1)若∠1＝60°，求∠2的度数；
(2)若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
【解析】(1)如图，∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
又∵AC⊥AB，∴∠2＝90°－∠3＝30°.
(2)如图，过A作AD⊥BC于D，则AD的长即为直线a与b的距离．
∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AD，
∴AD＝＝＝，
∴直线a与b的距离为.
PAGE2 平行四边形的判定
第1课时
教材认知
1．平行四边形的判定方法：
(1)定义：两组对边分别__平行__的四边形．
(2)两组对边分别__相等__的四边形．
(3)一组对边__平行且相等__的四边形．
2．在平行四边形判定的证明中，常作的辅助线是连接__对角线__，证明三角形__全等__．
微点拨
从两边的角度证明平行四边形的方法
(1)两组对边分别平行的四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形．
基础必会
1．(甘肃白银质检)下列说法不正确的是(B)
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
2．(青海玉树质检)四边形ABCD中，AD∥BC.要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件(D)
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠A＝180°
C．∠A＝∠D D．∠B＝∠D
3．(甘肃酒泉质检)如图，D，E，F是△ABC各边的中点，连接DE，EF，FD，则图中共有______个平行四边形．(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD.请你添加一个条件__AD＝BC(答案不唯一，合理即可)__，使AB＝CD.(填一种情况即可)
5．若AD＝8，AB＝4，那么当BC＝__8__，CD＝__4__时，四边形ABCD是平行四边形．
6．(甘肃天水质检)如图，两条射线AM∥BN，点C，D分别在射线BN，AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是__AB∥CD(或AD＝BC)(答案不唯一)__(写出一个即可).
7．(乌鲁木齐质检)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB边上的中点．
求证：四边形BDEF是平行四边形．
【证明】∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DE是△CAB的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥BF，EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形．
8．如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF.
(1)求证：△AEC≌△BFD.
(2)判断四边形DECF的形状，并证明．
【解析】(1)证明：∵AD＝BC，∴AD＋DC＝BC＋DC，
∴AC＝BD，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，
在△AEC和△BFD中，，
∴△AEC≌△BFD(SAS).
(2)四边形DECF是平行四边形，
证明：∵△AEC≌△BFD，
∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，
∴CE∥DF，
∴四边形DECF是平行四边形．
能力提升
1．(兰州期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为(B)
A．4 s B．3 s C．2 s D．1 s
2．(宁夏中卫质检)(多选)如图，平面直角坐标系中，△OAC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，0)，C(1，2)，若以O，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则D点坐标为(ACD)
A．(5，2) B．(－5，2) C．(－3，2) D．(3，－2)
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点．则△AOE与△BMF的面积比为__3∶4__．
4．(素养提升)如图，四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形，连接AF，BE交于点I.求证：AF和BE互相平分．
【证明】连接AE，BF，
∵四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形，
∴AB∥CD，EF∥CD，AB＝CD，EF＝CD，∴AB∥EF，AB＝EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，∴AF和BE互相平分．
PAGE2 平行四边形的判定
第1课时
教材认知
1．平行四边形的判定方法：
(1)定义：两组对边分别__ __的四边形．
(2)两组对边分别__ __的四边形．
(3)一组对边__ __的四边形．
2．在平行四边形判定的证明中，常作的辅助线是连接__ __，证明三角形__ __．
微点拨
从两边的角度证明平行四边形的方法
(1)两组对边分别平行的四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形．
基础必会
1．(甘肃白银质检)下列说法不正确的是( )
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
2．(青海玉树质检)四边形ABCD中，AD∥BC.要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件( )
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠A＝180°
C．∠A＝∠D D．∠B＝∠D
3．(甘肃酒泉质检)如图，D，E，F是△ABC各边的中点，连接DE，EF，FD，则图中共有______个平行四边形．( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD.请你添加一个条件__ __，使AB＝CD.(填一种情况即可)
5．若AD＝8，AB＝4，那么当BC＝__ __，CD＝__ __时，四边形ABCD是平行四边形．
6．(甘肃天水质检)如图，两条射线AM∥BN，点C，D分别在射线BN，AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是__ __(写出一个即可).
7．(乌鲁木齐质检)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB边上的中点．
求证：四边形BDEF是平行四边形．
8．如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF.
(1)求证：△AEC≌△BFD.
(2)判断四边形DECF的形状，并证明．
能力提升
1．(兰州期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为( )
A．4 s B．3 s C．2 s D．1 s
2．(宁夏中卫质检)(多选)如图，平面直角坐标系中，△OAC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，0)，C(1，2)，若以O，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则D点坐标为( )
A．(5，2) B．(－5，2) C．(－3，2) D．(3，－2)
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点．则△AOE与△BMF的面积比为__ __．
4．(素养提升)如图，四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形，连接AF，BE交于点I.求证：AF和BE互相平分．
PAGE2平行四边形的判定
第2课时
教材认知
对角线__互相平分__的四边形是平行四边形．
微点拨
判定平行四边形的方法选择
已知条件 证明思路
一组对边相等 1.另一组对边也相等 2.相等的边也平行
一组对边平行 1.另一组对边也平行 2.平行的边也相等
对角线相交 对角线互相平分
基础必会
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是(A)
A．OA＝OC，OB＝OD B．AD∥BC
C．AB＝CD，AD∥BC D．AC⊥BD
3．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD＋PE＋PF＝(B)
A．条件不够，不能确定 B．6
C．9 D．18
4．小玲的爸爸在做平行四边形框架时，采用如下方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是__对角线互相平分的四边形是平行四边形__．
5．(青海海西质检)已知四边形ABCD，点O是对角线AC与BD的交点，且OA＝OC，请再添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，那么添加的条件可以是__OB＝OD(答案不唯一)__．(用数学符号语言表达)
6．(青海玉树质检)若AC＝10，BD＝8，那么当AO＝__5__，DO＝__4__时，四边形ABCD是平行四边形．
7.如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.
(1)求证：△AOF≌△COE；
(2)连接AE，CF，则四边形AECF________(填“是”或“不是”)平行四边形．
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE(ASA).
(2)四边形AECF是平行四边形．理由如下：由(1)得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．
答案：是
8.如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)若AD的长为2，求CF的长．
(2)若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴CF＝AD＝2.
(2)添加条件：∠B＝60°，∵∠BAF＝90°，当∠B＝60°时，∠F＝90°－60°＝30°(答案不唯一).
能力提升
1．(新疆吐鲁番期中)如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①BE＝DF；②EF＝CD；③四边形AEFD为平行四边形．其中正确的结论是(D)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．在平面直角坐标系中，已知A(2，1)，B(3，－1)，C(1，－1).若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是__(4，1)或(0，1)或(2，－3)__．
3．(宁夏吴忠质检)四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD；②AD∥BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有__6__种．
4．(素养提升)如图所示，已知D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长至G，使FG＝2DF，连接AG，则ED，AG互相平分吗？请说明理由．
【解析】互相平分．理由：连接EG，AD，
∵DE＝AF，DE∥AF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴AE∥DF，AE＝DF.
又∵FG＝2DF，∴GD＝DF.
∴AE∥DG，AE＝DG.
∴四边形AEGD为平行四边形，
∴ED，AG互相平分．
PAGE2平行四边形的判定
第3课时
教材认知
1．若两条直线互相平行，则其中一条直线上__ __两点到另一条直线的距离__ __，这个距离称为平行线之间的距离．结论：夹在两平行线间的平行线段__ __．
2．符号语言：如图，E，N为直线a上任意两点且直线a∥b，EF⊥b，NM⊥b，垂足分别为F，M，则EF＝__ __．
微点拨
平行线之间的距离是指其中一条直线上的点到另一条直线的距离，是垂线段的长度，而不是垂线段．
基础必会
1．(宁夏固原质检)体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )
A.平行线间的距离相等
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
2．(青海玉树质检)以长为5 cm，4 cm，7 cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(内蒙古通辽质检)如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5 cm，BC＝3 cm，那么平行线a，b之间的距离为( )
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．不能确定
4．如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，则S1，S2，S3的关系是__ __．
5．(甘肃天水质检)如图，已知AD∥BC，CE＝5，CF＝8，则AD与BC间的距离是__ __．
6．如图，直线MN过 ABCD的顶点D，过A，B，C三点，分别作MN的垂线，垂足分别是E，F，G.求证：DE＝FG.
能力提升
1．(兰州质检)已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3 cm，直线b与c之间的距离是5 cm，那么直线a与c的距离是( )
A．2 cm B．8 cm C．8或2 cm D．不能确定
2．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为__ __．
3.(素养提升)如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C.
(1)若∠1＝60°，求∠2的度数；
(2)若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
PAGE
