4角 平 分 线
第2课时
教材认知
1．三角形三条角平分线的交点情况：三角形的三条角平分线相交于__ __．
2．三角形三条角平分线的交点性质：三角形三条角平分线的交点到__ __的距离相等．
微点拨
三角形三条角平分线的三类应用
1．利用角平分线的性质求角的度数．
2．利用角平分线的性质求线段的长或证明线段相等．
3．确定到三角形三边距离相等的点．
基础必会
1．(青海玉树质检)如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝50°，则∠BOC等于( )
A．115° B．105° C．125° D．130°
2．(兰州质检)如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点D.则下列说法正确的是( )
A．AD＋BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心
3．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，若EC＝1，则OF＝__ __．
4．(宁夏中考)如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝__ __度．
5.(新疆吐鲁番质检)如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP.
(1)求证：CP平分∠ACB；
(2)若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
能力提升
1．(乌鲁木齐质检)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是( )
A．30° B．35° C．45° D．60°
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF.若AF与PQ的夹角为α，则α＝__ __°.
3．(宁夏中卫质检)如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝__ __．
PAGE4角 平 分 线
第2课时
教材认知
1．三角形三条角平分线的交点情况：三角形的三条角平分线相交于__一点__．
2．三角形三条角平分线的交点性质：三角形三条角平分线的交点到__三条边__的距离相等．
微点拨
三角形三条角平分线的三类应用
1．利用角平分线的性质求角的度数．
2．利用角平分线的性质求线段的长或证明线段相等．
3．确定到三角形三边距离相等的点．
基础必会
1．(青海玉树质检)如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝50°，则∠BOC等于(A)
A．115° B．105° C．125° D．130°
2．(兰州质检)如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点D.则下列说法正确的是(C)
A．AD＋BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心
3．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，若EC＝1，则OF＝__2__．
4．(宁夏中考)如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝__32__度．
5.(新疆吐鲁番质检)如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP.
(1)求证：CP平分∠ACB；
(2)若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
【解析】(1)过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，
则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离，
∵
P是△ABC角平分线的交点，∴PD＝PE＝PF，
∴CP平分∠ACB；
(2)∵∠CAB＝60°，∴∠PAB＝30°，在Rt△PAD中，PA＝4，
∴PD＝2，
∴S△ABC＝S△APB＋S△BPC＋S△CPA
＝AB·PD＋BC·PE＋CA·PF
＝(AB＋BC＋CA)·PD＝×20×2＝20.
能力提升
1．(乌鲁木齐质检)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是(C)
A．30° B．35° C．45° D．60°
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF.若AF与PQ的夹角为α，则α＝__55__°.
3．(宁夏中卫质检)如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝__6∶8∶3__．
PAGE4 角 平 分 线
第1课时
教材认知
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离__ __．
2．角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离__ __的点，在这个角的__ __上．
3．作一个角的平分线的实质是构造了两个__ __的三角形．
微点拨
用尺规作角的平分线的“三个应用”
(1)把一个角分成2n(n为正整数)等份．
(2)解决到角两边距离相等的问题．
(3)结合线段的垂直平分线解决实际问题．
注意：所画弧的交点要在角的内部．
基础必会
1．(甘肃庆阳质检)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3 cm，那么CE等于( )
A． cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
2．(青海中考)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A．8 B．7.5
C．15 D．无法确定
3．如图，∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠DOC＝__ __．
4．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为__ __°.
5.(内蒙古包头质检)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152 cm2，AB＝20 cm，AC＝18 cm，求DE的长．
6.(甘肃张掖期中)如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°.
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的
________________，射线AE是∠DAC的______________；
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
能力提升
1．(青海玉树质检)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为( )
A．2＋ B．＋ C．2＋ D．3
2．(甘肃庆阳质检)在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为(a，2)，则a的值是__ __．
3．如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为__ __．
PAGE4 角 平 分 线
第1课时
教材认知
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离__相等__．
2．角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离__相等__的点，在这个角的__平分线__上．
3．作一个角的平分线的实质是构造了两个__全等__的三角形．
微点拨
用尺规作角的平分线的“三个应用”
(1)把一个角分成2n(n为正整数)等份．
(2)解决到角两边距离相等的问题．
(3)结合线段的垂直平分线解决实际问题．
注意：所画弧的交点要在角的内部．
基础必会
1．(甘肃庆阳质检)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3 cm，那么CE等于(C)
A． cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
2．(青海中考)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为(B)
A．8 B．7.5
C．15 D．无法确定
3．如图，∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠DOC＝__30°__．
4．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为__82__°.
5.(内蒙古包头质检)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152 cm2，AB＝20 cm，AC＝18 cm，求DE的长．
【解析】∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，∴S△ABC＝×AB×DE＋×AC×DF，∵△ABC面积是152 cm2，AB＝20 cm，AC＝18 cm，∴152＝×20×DE＋×18×DF，∴10DE＋9DF＝152 cm2，∵DE＝DF，∴19DE＝152 cm2，∴DE＝8 cm.
6.(甘肃张掖期中)如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°.
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的
________________，射线AE是∠DAC的______________；
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
【解析】(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线．
答案：垂直平分线 角平分线
(2)∵DF垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝40°，∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝50°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE＝∠CAD＝25°.
能力提升
1．(青海玉树质检)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为(A)
A．2＋ B．＋ C．2＋ D．3
2．(甘肃庆阳质检)在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为(a，2)，则a的值是__2或－2__．
3．如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为__3__．
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