3线段的垂直平分线
第2课时
教材认知
1．三角形三条边的垂直平分线的交点情况：三角形三条边的垂直平分线相交于__ __点．
2．三角形三条边的垂直平分线的交点性质：三角形三条边的垂直平分线的交点到__ __的距离相等．
3．等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上．
基础必会
1．(内蒙古通辽质检)如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
2．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
3．(甘肃金昌质检)如图，在△ABC中，点D是边AB，AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝50°，则∠BDC＝( )
A．180° B．100° C．80° D．50°
4．已知如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长等于__ __．
5．(新疆昌吉质检)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为__ __cm.
6．(兰州质检)某会馆要组织人员修建一处公共服务设施，使它到三所会馆A，B，C的距离相等．
(1)若三所会馆A，B，C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施(用点P表示)的位置．
(2)
若∠BAC＝66°，求∠BPC的度数．
能力提升
1．(甘肃酒泉质检)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点作已知直线的垂线．则对应选项中做法错误的是__ __．
2．(宁夏石嘴山质检)如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC＝__ __．
3.(素养提升)(新疆塔城质检)如图，在△ABC中，AB，AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M，N，与AB，AC分别交于点E，F，连接AM，AN.
(1)若△AMN的周长为6，求BC的长；
(2)若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；
(3)若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．
PAGE3 线段的垂直平分线
第1课时
教材认知
1．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__ __．
2．线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的__ __上．
3．用尺规作线段AB的垂直平分线CD的步骤是：
(1)分别以点__ __为圆心，以__ __的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D.
(2)作__ __，则直线CD就是线段AB的垂直平分线．
微点拨
线段垂直平分线的应用特征
1．线段垂直平分线中的两组线段相等：
(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
(2)被垂直平分的线段，被分为两条相等的线段．
2．当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直，且垂足是中点时，要联想到线段垂直平分线的性质．
基础必会
1．(青海玉树质检)如图所示的尺规作图的痕迹表示的是( )
A．尺规作线段的垂直平分线 B．尺规作一条线段等于已知线段
C．尺规作一个角等于已知角 D．尺规作角的平分线
2．如图所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是( )
A．AB＋DB>DE B．AB＋DB3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为__ __．
4．(新疆生产建设兵团中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则∠BDC＝__ __°.
5.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝__ __°.
6．(甘肃白银期末)如图，已知：点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，点C，D是垂足，连接CD，且交OE于点F.
(1)求证：OE是线段CD的垂直平分线．
(2)若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
能力提升
1．(新疆阿克苏质检)如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建( )
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
2．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD.若AC＝6，AD＝2，则BD的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
3．(河北中考)如图，直线l，m相交于点O.P为这两直线外一点，且OP＝2.8.若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( )
A．0 B．5 C．6 D．7
PAGE3线段的垂直平分线
第2课时
教材认知
1．三角形三条边的垂直平分线的交点情况：三角形三条边的垂直平分线相交于__一__点．
2．三角形三条边的垂直平分线的交点性质：三角形三条边的垂直平分线的交点到__三个顶点__的距离相等．
3．等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上．
基础必会
1．(内蒙古通辽质检)如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在(D)
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
2．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是 (C)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
3．(甘肃金昌质检)如图，在△ABC中，点D是边AB，AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝50°，则∠BDC＝(B)
A．180° B．100° C．80° D．50°
4．已知如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长等于__8__．
5．(新疆昌吉质检)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为__2__cm.
6．(兰州质检)某会馆要组织人员修建一处公共服务设施，使它到三所会馆A，B，C的距离相等．
(1)若三所会馆A，B，C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施(用点P表示)的位置．
(2)
若∠BAC＝66°，求∠BPC的度数．
【解析】(1)连接AB，AC，BC，分别作线段AB和BC的垂直平分线EF和GH，它们相交于P点，则P点即为所求．
(2)如图所示，连接PA，PB，PC，
则PA＝PB＝PC.
∴∠PBA＝∠PAB，
∠PCA＝∠PAC.
∴∠PBA＋∠PCA
＝∠PAB＋∠PAC
＝∠BAC＝66°，
∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)
＝180°－[180°－(∠BAC＋∠PBA＋∠PCA)]
＝2∠BAC＝132°.
能力提升
1．(甘肃酒泉质检)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点作已知直线的垂线．则对应选项中做法错误的是__③__．
2．(宁夏石嘴山质检)如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC＝__8__．
3.(素养提升)(新疆塔城质检)如图，在△ABC中，AB，AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M，N，与AB，AC分别交于点E，F，连接AM，AN.
(1)若△AMN的周长为6，求BC的长；
(2)若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；
(3)若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．
【解析】(1)∵直线OM是AB的垂直平分线，∴MA＝MB，同理，NA＝NC，∵△AMN的周长为6，∴MA＋MN＋NA＝6，即MB＋MN＋NC＝BC＝6；
(2)∵∠MON＝30°，∴∠OMN＋∠ONM＝150°，∴∠BME＋∠CNF＝150°，∵MA＝MB，ME⊥AB，∴∠BMA＝2∠BME，同理，∠ANC＝2∠CNF，∴∠BMA＋∠ANC＝300°，
∴∠AMN＋∠ANM＝360°－300°＝60°，∴∠MAN＝180°－60°＝120°；
(3)由(2)的解题方法可知，∠MAN＝90°，由题可知，MA＝MB＝3，NA＝NC，设MN＝x，
∴NA＝NC＝12－3－x＝9－x，由勾股定理得，MN2＝AM2＋AN2，即x2＝32＋(9－x)2，解得，x＝5，即MN＝5.
PAGE3 线段的垂直平分线
第1课时
教材认知
1．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__相等__．
2．线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的__垂直平分线__上．
3．用尺规作线段AB的垂直平分线CD的步骤是：
(1)分别以点__A，B__为圆心，以__大于AB__的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D.
(2)作__直线CD__，则直线CD就是线段AB的垂直平分线．
微点拨
线段垂直平分线的应用特征
1．线段垂直平分线中的两组线段相等：
(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
(2)被垂直平分的线段，被分为两条相等的线段．
2．当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直，且垂足是中点时，要联想到线段垂直平分线的性质．
基础必会
1．(青海玉树质检)如图所示的尺规作图的痕迹表示的是(A)
A．尺规作线段的垂直平分线 B．尺规作一条线段等于已知线段
C．尺规作一个角等于已知角 D．尺规作角的平分线
2．如图所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是(C)
A．AB＋DB>DE B．AB＋DB3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为__19__．
4．(新疆生产建设兵团中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则∠BDC＝__80__°.
5.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝__30__°.
6．(甘肃白银期末)如图，已知：点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，点C，D是垂足，连接CD，且交OE于点F.
(1)求证：OE是线段CD的垂直平分线．
(2)若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【解析】(1)∵点E是∠AOB的平分线上一点，∴∠1＝∠2，∵EC⊥OB，ED⊥OA，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，DE＝CE，
∵到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，∴点O，E都在线段CD的垂直平分线上，∴OE是线段CD的垂直平分线．
(2)OE＝4EF.∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF.
能力提升
1．(新疆阿克苏质检)如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建(C)
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
2．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD.若AC＝6，AD＝2，则BD的长为(C)
A．2 B．3 C．4 D．6
3．(河北中考)如图，直线l，m相交于点O.P为这两直线外一点，且OP＝2.8.若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是(B)
A．0 B．5 C．6 D．7
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