2直角三角形
第2课时
教材认知
斜边、直角边定理：
__ __和一条__ __分别相等的两个__ __三角形全等，简称“斜边、直角边”定理，记作“__ __”．
微点拨
直角三角形全等的判定方法
已知条件 判定方法
两直角边 SAS
斜边与一条直角边 HL
一锐角与斜边 AAS
一锐角与一条直角边 ASA或AAS
基础必会
1．(甘肃天水质检)如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝( )
A．40° B．50° C．60° D．75°
2．(内蒙古包头质检)如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )
A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC
3．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
4．(乌鲁木齐质检)结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，__ __，∴Rt△ABC≌Rt△DEF.
5.(宁夏中卫质检)如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝__ __时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．
6．如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，D，BD＝CF，BE＝CD.若∠AFD＝140°，则∠EDF＝__ __．
7．(甘肃定西质检)如图，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__ __，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
8．(内蒙古赤峰质检)如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC.
9．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD＝CB，∠ABC＋∠ADC＝180°.求证：AE＝(AB＋AD).
能力提升
1．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝A′D′，则∠C和∠C′的关系是( )
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上都不对
2．(新疆哈密质检)如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD＋∠BDC＝__ __°.
3．(新疆阿克苏期中)在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝__ __.
4．(素养提升)在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF.
(1)如图1，当点O在BC边中点时，试说明AB＝AC.
(2)如图2，当点O在△ABC内部时，且OB＝OC，试说明AB与AC的关系．
(3)当点O在△ABC外部时，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．(画出图形，写出结果即可，无须说明理由)
PAGE2 直角三角形
第1课时
教材认知
1．直角三角形的性质
(1)定理：直角三角形的两个锐角__互余__．
(2)勾股定理：直角三角形两条直角边的__平方和__等于斜边的平方．
2．直角三角形的判定
(1)定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
(2)勾股定理逆定理：如果三角形__两边的平方和__等于__第三边的平方__，那么这个三角形是直角三角形．
3．互逆命题、互逆定理
(1)互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和__结论__分别是另一个命题的__结论__和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的__逆命题__.
(2)互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是__真命题__，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的__逆定理__．
基础必会
1．(内蒙古赤峰质检)“直角都相等”与“相等的角是直角”是(A)
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
2．(甘肃金昌质检)如图，已知直线l1，l2，l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为(C)
A．120° B．130° C．140° D．150°
3．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是(C)
A．x＝－1 B．x＝＋1
C．x＝3 D．x＝－
4.(西宁期中)如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为(D)
A．(0，5) B．(5，0) C．(6，0) D．(0，6)
5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(B)
A．∠A＋∠C＝∠B B．a＝，b＝，c＝
C．(b＋a)(b－a)＝c2 D．∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2
6．(甘肃酒泉质检)如图，AC⊥BC于点C，DE⊥BE于点E，BC平分∠ABE，∠BDE＝58°.则∠A＝__58__°.
7．(内蒙古通辽质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝__54__°.
8．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为__100__．
9．如图，△ABC中，D为BC边上任意一点，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为__直角三角形__．
10.(甘肃陇南质检)如图，在△ABC中，D为BC上的一点，若AC＝17，AD＝8，CD＝15，AB＝10，求 △ABC的周长和面积．
【解析】∵CD2＋AD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴BD＝＝＝6，
∴BC＝21，∴C△ABC＝10＋21＋17＝48；S△ABC＝BC·AD＝×21×8＝84.
∴△ABC的周长为48，面积为84.
能力提升
1．(银川质检)如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2＋CF2的值为(D)
A．8 B．16 C．32 D．64
2．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD.若E是AD的中点，则EC＝__1__．
3.(杭州中考)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°.
(1)求证：AB＝BD；
(2)若AE＝3，求△ABC的面积．
【解析】(1)证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠ADB＝∠DBC＋∠C＝75°，
∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴AB＝BD；
(2)由题意得，BE＝，EC＝3，
∴BC＝3＋，
∴S△ABC＝BC×AE＝.
PAGE2 直角三角形
第1课时
教材认知
1．直角三角形的性质
(1)定理：直角三角形的两个锐角__ __．
(2)勾股定理：直角三角形两条直角边的__ __等于斜边的平方．
2．直角三角形的判定
(1)定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
(2)勾股定理逆定理：如果三角形__ __等于__ __，那么这个三角形是直角三角形．
3．互逆命题、互逆定理
(1)互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和__ __分别是另一个命题的__ __和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的__ __.
(2)互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是__ __，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的__ __．
基础必会
1．(内蒙古赤峰质检)“直角都相等”与“相等的角是直角”是( )
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
2．(甘肃金昌质检)如图，已知直线l1，l2，l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
3．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是( )
A．x＝－1 B．x＝＋1
C．x＝3 D．x＝－
4.(西宁期中)如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为( )
A．(0，5) B．(5，0) C．(6，0) D．(0，6)
5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A．∠A＋∠C＝∠B B．a＝，b＝，c＝
C．(b＋a)(b－a)＝c2 D．∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2
6．(甘肃酒泉质检)如图，AC⊥BC于点C，DE⊥BE于点E，BC平分∠ABE，∠BDE＝58°.则∠A＝__ __°.
7．(内蒙古通辽质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝__ __°.
8．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为__ __．
9．如图，△ABC中，D为BC边上任意一点，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为__ __．
10.(甘肃陇南质检)如图，在△ABC中，D为BC上的一点，若AC＝17，AD＝8，CD＝15，AB＝10，求 △ABC的周长和面积．
能力提升
1．(银川质检)如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2＋CF2的值为( )
A．8 B．16 C．32 D．64
2．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD.若E是AD的中点，则EC＝__ __．
3.(杭州中考)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°.
(1)求证：AB＝BD；
(2)若AE＝3，求△ABC的面积．
PAGE2直角三角形
第2课时
教材认知
斜边、直角边定理：
__斜边__和一条__直角边__分别相等的两个__直角__三角形全等，简称“斜边、直角边”定理，记作“__HL__”．
微点拨
直角三角形全等的判定方法
已知条件 判定方法
两直角边 SAS
斜边与一条直角边 HL
一锐角与斜边 AAS
一锐角与一条直角边 ASA或AAS
基础必会
1．(甘肃天水质检)如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝(B)
A．40° B．50° C．60° D．75°
2．(内蒙古包头质检)如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是(C)
A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC
3．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是(A)
A．90° B．120° C．135° D．150°
4．(乌鲁木齐质检)结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，__AB＝DE__，∴Rt△ABC≌Rt△DEF.
5.(宁夏中卫质检)如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝__2__时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．
6．如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，D，BD＝CF，BE＝CD.若∠AFD＝140°，则∠EDF＝__50°__．
7．(甘肃定西质检)如图，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__AB＝ED__，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
8．(内蒙古赤峰质检)如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC.
【证明】∵∠1＝∠2，∴DE＝CE.
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE.
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)
9．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD＝CB，∠ABC＋∠ADC＝180°.求证：AE＝(AB＋AD).
【证明】过C作CM⊥AD交AD的延长线于M，∵CE⊥AB，∴∠M＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠MDC＝180°，∴∠B＝∠MDC，
∵AC平分∠BAD，CM⊥AD，CE⊥AB，
∴CM＝CE，∠MAC＝∠EAC，
在△MAC和△EAC中，
∴△MAC≌△EAC(AAS)，∴AM＝AE，
∵∠M＝∠BEC＝90°，
∴在Rt△DMC和Rt△BEC中，
∴Rt△DMC≌Rt△BEC(HL)，∴BE＝DM，
∴AB＋AD＝AE＋BE＋AD＝AE＋DM＋AD＝2AM＝2AE，即AE＝(AB＋AD).
能力提升
1．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝A′D′，则∠C和∠C′的关系是(C)
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上都不对
2．(新疆哈密质检)如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD＋∠BDC＝__90__°.
3．(新疆阿克苏期中)在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝__315°__.
4．(素养提升)在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF.
(1)如图1，当点O在BC边中点时，试说明AB＝AC.
(2)如图2，当点O在△ABC内部时，且OB＝OC，试说明AB与AC的关系．
(3)当点O在△ABC外部时，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．(画出图形，写出结果即可，无须说明理由)
【解析】(1)∵OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL)；∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
(2)AB＝AC.同(1)可证得Rt△OBE≌Rt△OCF，∴∠OBE＝∠OCF，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
(3)当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB＝AC成立，如图①；
当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立，如图②.(图形不唯一，符合题意，画图规范即可)
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