4 分 式 方 程
第1课时
教材认知
1．分式方程：分母中含有__ __的方程．
2．解分式方程的一般思路是：
分式方程整式方程．
3．解分式方程一定要__ __．
4．产生增根的原因：在方程的两边同乘以了一个使__ __的整式．
微点拨
检验分式方程根的方法
1．直接代入最简公分母．
2．代入原分式方程检验，但注意分母为0时，应写出增根．
基础必会
1．(西宁质检)下列关于x的方程：＋x＝1，＋＝，＝，＝2中，分式方程的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．解分式方程＋＝3时，去分母后变形正确的为( )
A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3 D．2－(x＋2)＝3(x－1)
3．(兰州期中)分式方程＋1＝的解是( )
A．x＝1 B．x＝－2 C．x＝ D．x＝2
4．(甘肃白银质检)定义a b＝2a＋，则方程3 x＝4 2的解为( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
5．方程＝的解为__ __．
6．(银川质检)若关于x的方程＋＝3的解是正数，则m的取值范围为__ __.
7．分式方程＋＝3的解是__ __．
8．解方程：(1)－＝1.
(2)＋1＝.
能力提升
1．(常德中考)分式方程＋＝的解为__ __．
2．若分式方程－4＝的解为整数，则整数a＝__ __．
3．(呼和浩特期中)若关于x的分式方程－3＝的解为正数，则m的取值范围是__ __.
4．(素养提升)已知关于x的分式方程＋＝.
(1)若方程的增根为x＝2，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值．
PAGE4 分 式 方 程
第1课时
教材认知
1．分式方程：分母中含有__未知数__的方程．
2．解分式方程的一般思路是：
分式方程整式方程．
3．解分式方程一定要__检验__．
4．产生增根的原因：在方程的两边同乘以了一个使__分母为零__的整式．
微点拨
检验分式方程根的方法
1．直接代入最简公分母．
2．代入原分式方程检验，但注意分母为0时，应写出增根．
基础必会
1．(西宁质检)下列关于x的方程：＋x＝1，＋＝，＝，＝2中，分式方程的个数是(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．解分式方程＋＝3时，去分母后变形正确的为(D)
A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3 D．2－(x＋2)＝3(x－1)
3．(兰州期中)分式方程＋1＝的解是(D)
A．x＝1 B．x＝－2 C．x＝ D．x＝2
4．(甘肃白银质检)定义a b＝2a＋，则方程3 x＝4 2的解为(B)
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
5．方程＝的解为__x＝9__．
6．(银川质检)若关于x的方程＋＝3的解是正数，则m的取值范围为__m>－7且m≠－3__.
7．分式方程＋＝3的解是__x＝3__．
8．解方程：(1)－＝1.
(2)＋1＝.
【解析】(1)方程两边都乘以(x＋1)(x－1)得：(x－1)2－3＝(x＋1)(x－1)，
x2－2x＋1－3＝x2－1，x2－2x－x2＝－1－1＋3，－2x＝1，x＝－，
检验：当x＝－时，(x＋1)(x－1)≠0，所以x＝－是原方程的解．
(2)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得2(x－1)＋x2－1＝x(x＋1)，解得x＝3.
经检验x＝3是原方程的根，∴原方程的解x＝3.
能力提升
1．(常德中考)分式方程＋＝的解为__x＝3__．
2．若分式方程－4＝的解为整数，则整数a＝__±1__．
3．(呼和浩特期中)若关于x的分式方程－3＝的解为正数，则m的取值范围是__m>－3且m≠－2__.
4．(素养提升)已知关于x的分式方程＋＝.
(1)若方程的增根为x＝2，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值．
【解析】(1)去分母得：2(x＋2)＋mx＝2(x－2)，整理，得mx＝－8.
若增根为x＝2，则2m＝－8，得m＝－4；
(2)若原分式方程有增根，则(x＋2)(x－2)＝0.所以x＝－2或x＝2.
当x＝－2时，－2m＝－8，得m＝4；
当x＝2时，2m＝－8，得m＝－4.
所以若原分式方程有增根，则m＝±4；
(3)由(2)知，当m＝±4时，原分式方程有增根，即无解；
当m＝0时，方程mx＝－8无解．
综上知，若原分式方程无解，则m＝±4或m＝0.
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第2课时
教材认知
列分式方程解应用题的一般步骤
1．审：分析题意，找出数量关系和等量关系．
2．设：直接设法与间接设法．
3．列：根据__等量关系__，列出方程．
4．解：解方程，得未知数的值．
5．检：有两次检验．
①是否是所列方程的解；②是否符合__实际意义__．
6．答：注意__单位__和__答案完整__．
微点拨
列分式方程解应用题常见错误
1．设答不详细，包括漏单位．
2．漏写验根．
3．有时易出现单位不统一的错误．
基础必会
1．(甘肃金昌质检)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是(B)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝50 D．－＝50
2．(兰州质检)随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得(B)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．(嘉兴中考)为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为(B)
A．－＝20 B．－＝20
C．－＝20 D．－＝20
4.为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为__＝__．
5．(乌鲁木齐质检)“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6 000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__500__棵．
6．太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，
路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．
【解析】设走路线一到达太原机场需要x分钟．
根据题意，得×＝，解得x＝25.
经检验，x＝25是原方程的解且符合实际．
答：走路线一到达太原机场需要25分钟．
能力提升
(泰安中考)接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人？
(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
【解析】(1)设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：＝，解得：x＝30，
经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，
∴当前参加生产的工人有30人；
(2)每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05(万剂)，
设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：
4×15＋(30＋10)×10×0.05y＝760，解得：y＝35，35＋4＝39(天)，
∴该厂共需要39天才能完成任务．
PAGE4分 式 方 程
第2课时
教材认知
列分式方程解应用题的一般步骤
1．审：分析题意，找出数量关系和等量关系．
2．设：直接设法与间接设法．
3．列：根据__ __，列出方程．
4．解：解方程，得未知数的值．
5．检：有两次检验．
①是否是所列方程的解；②是否符合__ __．
6．答：注意__ __和__ __．
微点拨
列分式方程解应用题常见错误
1．设答不详细，包括漏单位．
2．漏写验根．
3．有时易出现单位不统一的错误．
基础必会
1．(甘肃金昌质检)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝50 D．－＝50
2．(兰州质检)随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．(嘉兴中考)为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为( )
A．－＝20 B．－＝20
C．－＝20 D．－＝20
4.为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为__ __．
5．(乌鲁木齐质检)“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6 000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__ __棵．
6．太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，
路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．
能力提升
(泰安中考)接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人？
(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
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