1等腰三角形
第3课时
教材认知
1．等腰三角形的判定定理：有两个角__ __的三角形是等腰三角形，简述为__ __．
2．等边三角形的判定方法：
(1)定义法：有__ __相等的三角形是等边三角形．
(2)定理：__ __都相等的三角形是等边三角形．
(3)定理：有一个角等于60°的__ __三角形是等边三角形．
3．含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__ __．
微点拨
1．证明等腰三角形的方法
(1)定义法：证明三角形中有两条边相等．
(2)等角对等边：证明三角形中有两个角相等．
2．选用等边三角形判定方法的技巧
(1)如果已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定．
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定．
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
基础必会
1．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝20°，∠B＝80° D．∠A＝40°，∠B＝80°
2．(甘肃天水质检)已知，如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝( )
A．150° B．30° C．120° D．60°
3．(呼和浩特质检)如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是( )
A．8 B．6 C．4 D．7
4．(银川质检)若△ABC的内角满足：2∠A－∠B＝60°，4∠A＋∠C＝300°，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定
5．如图，∠BAC＝100°，∠B＝40°，∠D＝20°，AB＝3，则CD＝__ __．
6．(青海中考)已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，则△ABC的形状为__ __三角形．
7.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形．
能力提升
1．(新疆哈密质检)已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O，C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F.画直线EF，分别交OA于D，交OB于G.那么△ODG一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
2．(甘肃白银质检)用反证法证明“如果|a|＞a，那么a＜0.”是真命题时，第一步应先假设__ __．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为__ __．
4．(素养提升)一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把它剪开，恰好得到2个等腰三角形，求出它的最大内角可能值．
PAGE第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第1课时
教材认知
1．三角形全等的判定方法有SSS，__SAS__，__ASA__和AAS.
2．全等三角形的性质是对应边__相等__，对应角__相等__．
3．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角__相等__，简述为__等边对等角__．
4．等腰三角形性质定理的推论：等腰三角形顶角的__平分线__、底边上的__中线__及底边上的高线互相重合，即__三线合一__．
微点拨
等腰三角形的性质及应用
(1)两腰相等 证明线段相等．
(2)两底角相等 证明角相等．
(3)三线合一 证明角相等，线段相等或垂直．
(4)轴对称性 证明角相等，线段相等或垂直．
基础必会
1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是(A)
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
2．(青海中考)已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为(D)
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
3．(青海中考)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(D)
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
4．(宁夏固原质检)已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是(D)
A．8 B．9 C．10或12 D．11或13
5．(赤峰中考)如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D的度数为(B)
A．85° B．75° C．65° D．30°
6．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝__40__°.
7.如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
【解析】(1)∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，∵∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC；
(2)∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－65°－45°＝70°.
∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝35°.
能力提升
1．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为(C)
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
2.(青海海东质检)如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC＝(C)
A．45° B．60°
C．67.5° D．75°
3．(素养提升)已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA.
(1)求∠DAE的度数；
(2)如果把题目中“AB＝AC”的条件去掉，其他条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？请说明理由；
(3)若∠BAC＝α，其他条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少？为什么？
【解析】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠ACB＝40°，∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝(180°－∠B)＝70°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝20°，
在△ABE中，∠BAE＝180°－∠B－∠E
＝120°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝50°；
(2)不改变，设∠CAE＝x°，
∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝x°，
∴∠ACB＝∠E＋∠CAE＝2x°，
∵在△ABC中，∠BAC＝100°，
∴∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝80°－2x°，
又∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝(180°－∠B)＝50°＋x°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝(100°＋x°)－(50°＋x°)＝50°；
(3)∠DAE＝α，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝(∠180°－∠B)，
∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝
α－(180°－∠B)＝α－90°＋∠B，
∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝α－90°＋∠B＋∠ACB＝α－90°＋(180°－α)＝α.
PAGE1等腰三角形
第2课时
教材认知
1．等腰三角形两底角的平分线__ __、两腰上的中线__ __、两腰上的高线__ __.
2．等边三角形的性质：
(1)等边三角形的每个内角的度数均为__ __．
(2)等边三角形是轴对称图形，它有__ __条对称轴，分别是三条中线所在的直线．
微点拨
证明两条线段相等的两种方法
位置特征 方法选择
同一个三角形 利用“等腰三角形中的特殊线段”相等
两个三角形 利用全等三角形的对应边相等证明
基础必会
1．(乌鲁木齐质检)如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形．若∠1＝40°，则∠2的大小为( )
A．60° B．80° C．90° D．100°
2．(兰州质检)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35° C．40° D．70°
3．(甘肃天水质检)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
4．已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为( )
A．2 B．3 C．4 D．4
5．(西宁质检)如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BC＝BD，若∠BAC＝18°，则∠CBD的度数为__ __度．
6．(仙桃中考)已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
(2)如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG.
7.(新疆石河子质检)如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q.求证：∠BQM＝60°.
能力提升
1．(银川质检)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．(西宁质检)如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.
(1)求BD的长；
(2)求证：BF＝EF；
(3)求△BDE的面积．
PAGE1等腰三角形
第2课时
教材认知
1．等腰三角形两底角的平分线__相等__、两腰上的中线__相等__、两腰上的高线__相等__.
2．等边三角形的性质：
(1)等边三角形的每个内角的度数均为__60°__．
(2)等边三角形是轴对称图形，它有__3__条对称轴，分别是三条中线所在的直线．
微点拨
证明两条线段相等的两种方法
位置特征 方法选择
同一个三角形 利用“等腰三角形中的特殊线段”相等
两个三角形 利用全等三角形的对应边相等证明
基础必会
1．(乌鲁木齐质检)如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形．若∠1＝40°，则∠2的大小为(B)
A．60° B．80° C．90° D．100°
2．(兰州质检)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(B)
A．20° B．35° C．40° D．70°
3．(甘肃天水质检)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为(D)
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
4．已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为(C)
A．2 B．3 C．4 D．4
5．(西宁质检)如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BC＝BD，若∠BAC＝18°，则∠CBD的度数为__84__度．
6．(仙桃中考)已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
(2)如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG.
【解析】(1)如图1中，线段BF即为所求．
(2)如图2中，线段BG即为所求．
7.(新疆石河子质检)如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q.求证：∠BQM＝60°.
【证明】∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN，
又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM，
∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC，
∵∠MAN＋∠ANB＋∠AQN＝180°，∠MAN＋∠AMC＋∠ACB＝180°，
∴∠AQN＝∠ACB，
∵∠BQM＝∠AQN，∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°.
能力提升
1．(银川质检)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(A)
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．(西宁质检)如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.
(1)求BD的长；
(2)求证：BF＝EF；
(3)求△BDE的面积．
【解析】(1)∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∵AB＝6，∴AD＝3，
∴由勾股定理得，BD＝＝3；
(2)证明∵BD是等边△ABC的中线，∴BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°.
∴∠DBE＝∠E，∴DB＝DE.又∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．∴BF＝EF；
(3)∵AD＝CD，CE＝CD，∴CE＝CD＝3，
∴BE＝BC＋CE＝9，BF＝BE＝，
∵DB＝3，
∴DF＝＝.
∴△BDE的面积＝BE·DF＝×9×＝.
PAGE第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第1课时
教材认知
1．三角形全等的判定方法有SSS，__ __，__ __和AAS.
2．全等三角形的性质是对应边__ __，对应角__ __．
3．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角__ __，简述为__ __．
4．等腰三角形性质定理的推论：等腰三角形顶角的__ __、底边上的__ __及底边上的高线互相重合，即__ __．
微点拨
等腰三角形的性质及应用
(1)两腰相等 证明线段相等．
(2)两底角相等 证明角相等．
(3)三线合一 证明角相等，线段相等或垂直．
(4)轴对称性 证明角相等，线段相等或垂直．
基础必会
1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是( )
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
2．(青海中考)已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
3．(青海中考)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
4．(宁夏固原质检)已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是( )
A．8 B．9 C．10或12 D．11或13
5．(赤峰中考)如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D的度数为( )
A．85° B．75° C．65° D．30°
6．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝__ __°.
7.如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
能力提升
1．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
2.(青海海东质检)如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC＝( )
A．45° B．60°
C．67.5° D．75°
3．(素养提升)已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA.
(1)求∠DAE的度数；
(2)如果把题目中“AB＝AC”的条件去掉，其他条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？请说明理由；
(3)若∠BAC＝α，其他条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少？为什么？
PAGE1等腰三角形
第3课时
教材认知
1．等腰三角形的判定定理：有两个角__相等__的三角形是等腰三角形，简述为__等角对等边__．
2．等边三角形的判定方法：
(1)定义法：有__三条边__相等的三角形是等边三角形．
(2)定理：__三个角__都相等的三角形是等边三角形．
(3)定理：有一个角等于60°的__等腰__三角形是等边三角形．
3．含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__一半__．
微点拨
1．证明等腰三角形的方法
(1)定义法：证明三角形中有两条边相等．
(2)等角对等边：证明三角形中有两个角相等．
2．选用等边三角形判定方法的技巧
(1)如果已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定．
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定．
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
基础必会
1．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(C)
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝20°，∠B＝80° D．∠A＝40°，∠B＝80°
2．(甘肃天水质检)已知，如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝(C)
A．150° B．30° C．120° D．60°
3．(呼和浩特质检)如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是(C)
A．8 B．6 C．4 D．7
4．(银川质检)若△ABC的内角满足：2∠A－∠B＝60°，4∠A＋∠C＝300°，则△ABC是(C)
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定
5．如图，∠BAC＝100°，∠B＝40°，∠D＝20°，AB＝3，则CD＝__3__．
6．(青海中考)已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，则△ABC的形状为__等腰__三角形．
7.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形．
【证明】∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠DBF＝∠ECF，在△BDF和△CEF中，
∴△BDF≌△CEF(AAS)，∴BF＝CF，DF＝EF，∴BF＋EF＝CF＋DF，即BE＝CD，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
能力提升
1．(新疆哈密质检)已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O，C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F.画直线EF，分别交OA于D，交OB于G.那么△ODG一定是(C)
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
2．(甘肃白银质检)用反证法证明“如果|a|＞a，那么a＜0.”是真命题时，第一步应先假设__a≥0__．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为__2__．
4．(素养提升)一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把它剪开，恰好得到2个等腰三角形，求出它的最大内角可能值．
【解析】如图所示，当∠BAC＝48°时，那么它的最大内角是90°.
当∠ACB＝48°时，有以下4种情况，
其最大内角依次是116°，99°，108°，88°，
所以共5种情况，其最大内角依次是90°，116°，99°，108°，88°.
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