因式分解
单元复习
一、选择题
1．(内蒙古通辽质检)下列因式分解正确的是(D)
A．－x2＋4x＝－x(x＋4) B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)
C．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2) D．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2
2．(甘肃白银质检)若mn＝－2，m－n＝3，则代数式m2n－mn2的值是(A)
A．－6 B．－5 C．1 D．6
3．多项式x3＋6x2y＋9xy2与x3y－9xy3的公因式是(B)
A．x(x＋3y)2 B．x(x＋3y)
C．xy(x＋3y) D．x(x－3y)
4．已知x－2y＝3，那么代数式3－2x＋4y的值是(A)
A．－3 B．0 C．6 D．9
5．(赤峰中考)1.22＋2×1.2×6.7＋6.72－2.12的值为(A)
A．58 B．57 C．56 D．55
6．下列因式分解正确的是(C)
A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b) B．a2－9b2＝(a－3b)2
C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2 D．a2－ab＋a＝a(a－b)
7．(新疆塔城质检)计算(－2)2 020＋(－2)2 021所得的结果是(A)
A．－22 020 B．－22 021 C．22 020 D．－2
8．(内蒙古兴安盟质检)如果x2＋nx＋2k＝(x－1)2，那么kn是(C)
A．－ B． C．4 D．－4
9.(兰州期中)如图所示是一个边长为(m＋n)的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是(B)
A.(m＋n)2－(m－n)2＝4mn B．(m＋n)2－(m2＋n2)＝2mn
C．(m－n)2＋2mn＝m2＋n2 D．(m＋n)(m－n)＝m2－n2
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是(C)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
11．(新疆哈密质检)对于多项式9x2y3－3xy2z，各项的公因式是__3xy2__．
12．分解因式：5x4－5x2＝__5x2(x＋1)(x－1)__．
13．(新疆克拉玛依质检)简便计算：7.292－2.712＝__45.8__．
14．分解因式：(1)ab2－a＝__a(b＋1)(b－1)__．
(2)(宁夏中考)3a2－6a＋3＝__3(a－1)2__．
15．(包头中考)因式分解＋ax＋a＝__a(x＋2)2__．
16．分解因式：a3－2a2＋a＝__a(a－1)2__．
17．当x＝__－3__时，多项式x2＋6x＋11的值最小，最小值是__2__．
18．(兰州期中)若x＋y＋z＝2，x2－(y＋z)2＝6，则x－y－z＝__3__．
三、解答题
19．分解因式：
(1)3a2－48. (2)(x2－2x)2－3(x2－2x).
【解析】(1)3a2－48＝3(a2－16)＝3(a＋4)(a－4).
(2)(x2－2x)2－3(x2－2x)
＝(x2－2x)(x2－2x－3)
＝(x2－2x)(x－3)(x＋1)
＝x(x－2)(x－3)(x＋1).
20.(西宁期中)已知x－1＝，求代数式(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值．
【解析】原式＝[(x＋1)－2]2＝(x－1)2，
当x－1＝时，原式＝()2＝5.
21．在学习中，小明发现：当a＝－1，0，1时，a2－6a＋11的值都是正数，于是小明猜想：当a为任意整数时，a2－6a＋11的值都是正数，小明的猜想正确吗？简要说明你的理由．
【解析】猜想正确，
a2－6a＋11
＝a2－6a＋32＋2
＝(a－3)2＋2，
因为(a－3)2≥0，
所以 (a－3)2＋2≥2，
所以当a为任意整数时，a2－6a＋11的值都是正数．
22．(内蒙古兴安盟质检)利用因式分解计算：
1－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002＋1012
【解析】1－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002＋1012
＝1＋32－22＋52－42＋…＋1012－1002
＝1＋(3＋2)(3－2)＋(5＋4)(5－4)＋…＋(101＋100)(101－100)
＝1＋(3＋2)＋(5＋4)＋…＋(101＋100)
＝1＋2＋3＋4＋5＋…＋100＋101
＝
＝5 151.
23.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n(m，n是正整数，且m≤n)，在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f(x)＝.
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的最佳分解，所以f(18)＝＝.
(1)填空：f(6)＝______________；f(9)＝______________；
(2)一个两位正整数t(t＝10a＋b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数)，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f(t)的最大值；
(3)填空：
①f(22×3×5×7)＝______________； ②f(23×3×5×7)＝______________；
③f(24×3×5×7)＝______________； ④f(25×3×5×7)＝______________．
【解析】见全解全析
24．(甘肃白银期中)我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
(1)图B可以解释的代数恒等式是____________；
(2)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图C：
①若要拼出一个面积为(3a＋b)(a＋2b)的长方形，则需要1号卡片____________张，2号卡片____________张，3号卡片____________张；
②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的长方形，使该长方形的面积为6a2＋7ab＋2b2，并利用你画的图形面积对6a2＋7ab＋2b2进行因式分解．
【解析】(1)由图形面积可得：(2n)2＝4n2；
答案：(2n)2＝4n2
(2)①∵(3a＋b)(a＋2b)＝3a2＋7ab＋2b2，
∴需要1号卡片3张，2号卡片2张，3号卡片7张；
答案：3 2 7
②图形是一个两边长分别为(2a＋b)和(3a＋2b)的长方形；
∴6a2＋7ab＋2b2＝(2a＋b)(3a＋2b).
PAGE因式分解
单元复习
一、选择题
1．(内蒙古通辽质检)下列因式分解正确的是( )
A．－x2＋4x＝－x(x＋4) B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)
C．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2) D．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2
2．(甘肃白银质检)若mn＝－2，m－n＝3，则代数式m2n－mn2的值是( )
A．－6 B．－5 C．1 D．6
3．多项式x3＋6x2y＋9xy2与x3y－9xy3的公因式是( )
A．x(x＋3y)2 B．x(x＋3y)
C．xy(x＋3y) D．x(x－3y)
4．已知x－2y＝3，那么代数式3－2x＋4y的值是( )
A．－3 B．0 C．6 D．9
5．(赤峰中考)1.22＋2×1.2×6.7＋6.72－2.12的值为( )
A．58 B．57 C．56 D．55
6．下列因式分解正确的是( )
A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b) B．a2－9b2＝(a－3b)2
C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2 D．a2－ab＋a＝a(a－b)
7．(新疆塔城质检)计算(－2)2 020＋(－2)2 021所得的结果是( )
A．－22 020 B．－22 021 C．22 020 D．－2
8．(内蒙古兴安盟质检)如果x2＋nx＋2k＝(x－1)2，那么kn是( )
A．－ B． C．4 D．－4
9.(兰州期中)如图所示是一个边长为(m＋n)的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是( )
A.(m＋n)2－(m－n)2＝4mn B．(m＋n)2－(m2＋n2)＝2mn
C．(m－n)2＋2mn＝m2＋n2 D．(m＋n)(m－n)＝m2－n2
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
11．(新疆哈密质检)对于多项式9x2y3－3xy2z，各项的公因式是__ __．
12．分解因式：5x4－5x2＝__ __．
13．(新疆克拉玛依质检)简便计算：7.292－2.712＝__ __．
14．分解因式：(1)ab2－a＝__ __．
(2)(宁夏中考)3a2－6a＋3＝__ __．
15．(包头中考)因式分解＋ax＋a＝__ __．
16．分解因式：a3－2a2＋a＝__ __．
17．当x＝__ __时，多项式x2＋6x＋11的值最小，最小值是__ __．
18．(兰州期中)若x＋y＋z＝2，x2－(y＋z)2＝6，则x－y－z＝__ __．
三、解答题
19．分解因式：
(1)3a2－48. (2)(x2－2x)2－3(x2－2x).
20.(西宁期中)已知x－1＝，求代数式(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值．
【解析】原式＝[(x＋1)－2]2＝(x－1)2，
当x－1＝时，原式＝()2＝5.
21．在学习中，小明发现：当a＝－1，0，1时，a2－6a＋11的值都是正数，于是小明猜想：当a为任意整数时，a2－6a＋11的值都是正数，小明的猜想正确吗？简要说明你的理由．
【解析】猜想正确，
a2－6a＋11
＝a2－6a＋32＋2
＝(a－3)2＋2，
因为(a－3)2≥0，
所以 (a－3)2＋2≥2，
所以当a为任意整数时，a2－6a＋11的值都是正数．
22．(内蒙古兴安盟质检)利用因式分解计算：
1－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002＋1012
【解析】1－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002＋1012
＝1＋32－22＋52－42＋…＋1012－1002
＝1＋(3＋2)(3－2)＋(5＋4)(5－4)＋…＋(101＋100)(101－100)
＝1＋(3＋2)＋(5＋4)＋…＋(101＋100)
＝1＋2＋3＋4＋5＋…＋100＋101
＝
＝5 151.
23.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n(m，n是正整数，且m≤n)，在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f(x)＝.
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的最佳分解，所以f(18)＝＝.
(1)填空：f(6)＝______________；f(9)＝______________；
(2)一个两位正整数t(t＝10a＋b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数)，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f(t)的最大值；
(3)填空：
①f(22×3×5×7)＝______________； ②f(23×3×5×7)＝______________；
③f(24×3×5×7)＝______________； ④f(25×3×5×7)＝______________．
【解析】见全解全析
24．(甘肃白银期中)我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
(1)图B可以解释的代数恒等式是____________；
(2)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图C：
①若要拼出一个面积为(3a＋b)(a＋2b)的长方形，则需要1号卡片____________张，2号卡片____________张，3号卡片____________张；
②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的长方形，使该长方形的面积为6a2＋7ab＋2b2，并利用你画的图形面积对6a2＋7ab＋2b2进行因式分解．
【解析】(1)由图形面积可得：(2n)2＝4n2；
答案：(2n)2＝4n2
(2)①∵(3a＋b)(a＋2b)＝3a2＋7ab＋2b2，
∴需要1号卡片3张，2号卡片2张，3号卡片7张；
答案：3 2 7
②图形是一个两边长分别为(2a＋b)和(3a＋2b)的长方形；
∴6a2＋7ab＋2b2＝(2a＋b)(3a＋2b).
PAGE
