辽宁省六校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题（Word版含答案）

辽宁省六校2021-2022学年高二下学期期中联考
数学试卷
考试时间：120分 满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知在等差数列中，，，则（ ）
A．30 B．39 C．42 D．78
2．8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变则不同调换方式有（ ）
A． B． C． D．
3．“省协作校期中考试数学试卷”的第7、8两道单选题难度系数较小，甲同学答对第7道题的概率为，连续答对两道题的概率为．用事件表示“甲同学答对第7道题”，事件表示“甲同学答对第8道题”，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．等比数列，满足，，且，，则（ ）
A．31 B．36 C．42 D．48
6．数列的前项和为，且满足，（），则（ ）
A．0 B．1011 C．2022 D．3033
7．已知定义在的函数的导函数为，且满足成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，若在存在使得不等式成立，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得0分．
9．给出下列说法，其中正确的有（ ）
A．若是离散型随机变量，则，
B．如果随机变量服从二项分布，则
C．在回归分析中，相关指数为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果要好
D．对立独立性检验，随机变量的观测值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率越大
10．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最大值
11．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（ ）
A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点
12．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知随机变量，，若，则______．
14．已知数列的前项和为，若，则______．
15．已知函数（）在处有极大值，则实数的值为______．
16．已知数列满足前项和，且对一切恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列的公差，且，的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）若，，成等差数列，求的值．
18．设函数（）．
（1）若在点处的切线为，求，的值；
（2）求的单调区间．
19．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京隆重开幕，这是继2008年北京成功举办夏季奥运会后，再次举办奥运盛会，中国举办冬季奥运会，大大激发了国人对冰雪运动的关注，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，现随机抽取该市50人进行调查统计，得到如下列联表，
关注冰雪运动 不关注冰雪运动 合计
男 25 30
女 10
合计 35 50
（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有99%的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”？
（2）此次冬奥会共设七个大项，其中滑雪、雪车、雪橇、冬季两项（滑雪加射击两者相结合）四项为雪上运动项目，滑冰、冰球、冰壶三项为冰上运动项目．小明想从中挑选三个大项观看比赛，设挑选的这三个大项中含冰上运动项目的数量为，求的分布列与数学期望．
参考公式，其中．
附表
（） 0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
20．已知数列满足，．
（1）设，证明：是等差数列；
（2）设数列的前项和为，求．
21．设数列的前项和为，，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对一切正整数，有．
22．已知函数（）．
（1）若时，讨论函数的单调性；
（2）设，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围．
2021—2022学年度（下）六校高二期中考试
数学答案
一、单项选择题：
1．B 2．C 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D
二、多项选择题：
9．BCD 10．BD 11．BCD 12．BC
三、填空题：
13． 14． 15．2 16．
四、解答题：
17．解：（1）∵，
∴，∴，∴．
（2）∵，，，，，成等比数列，
∴，∴，解得，
∵，∴
18．（1），；（2）答案见解析．
（1）（）的定义域为，，
因为在点处的切线为，
所以，所以；所以
把点代入得：．
即，的值为：，．
（2）定义域为，由（1）知：（）．
①当时，在上恒成立，所以在单调递减；
②当时，令，解得：，
所以，时，的递减区间为，单增区间为．
综上所述：当时，在单调递减；
当时，的递减区间为，单调区间为．
19．（1）数据如表，没有99%的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”；（2）分布列见解析，．
关注冰雪运动 不关注冰雪运动 合计
男 25 5 30
女 10 10 20
合计 35 15 50
（1），
故没有99%的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”．
（2）由题可知的所有可能取值为：0，1，2，3．
；；；．
的分布列为：
0 1 2 3
的数学期望．
20．（1）证明见解析；（2）
（1）因为，
所以数列是以1为公差的等差数列．
（2）因为，所以，
由得．
故，
所以
，
，
．
21．（1），；（2）证明见解析．
法1：（1）当时，，，
两式相减得：，整理可得：，
而，所以是首项为2，公比为1的等比数列，
故，即，．
（2），
．
∴．
法2：（1）同法1
（2）用数学归纳法证明：由（1）知
当时，，原不等式成立
假设当时不等式成立，
即成立……①
则当时，有
……②
即当时，不等式也成立，
故由①②知对一切正整数，原不等式均成立
22．（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）
（1）当时，，定义域为，
则，
令，解得，或（舍去），
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）设，
函数在上有两个零点等价于在上有两解，
令，，则，
令，，显然，在区间上单调递增，
又，所以当时，，即，当时，有，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，，，
由方程在上有两解及，可得实数的取值范围是．