《两角和与差的余弦公式》教学设计

《两角和与差的余弦公式》教学设计
一、教材地位和作用分析：
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。
二、教学目标：
1、知识目标：
①、??????? 使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；
②、??????? 使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；
③、??????? 使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
2、能力目标：
①、培养学生逆向思维的意识和习惯；
②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；
③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3、情感目标：
①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；
②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。
三、教学重点和难点：
教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。
教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。
四、教学方法：
创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。
由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。
学法指导：
1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。)
2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。
五、教学过程
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教 学 程 序
设 计 意 图
课
题
引
入
让学生先讨论“cos（450+300）=cos450+cos300是否成立？”。（学生可能通过计算器、量余弦线的长度、特殊角三角函数值和余弦函数的值域三种途径解决问题）。得出cos（450+300）≠cos450 +cos300。进而得出cos（α+β）≠cosα+cosβ这个结论。此时再次提出那么cos（α+β）又等于什么呢？
这正是我们今天要研究的内容。
揭示课题：两角和与差的余弦。
通过创设问题情境，自然流畅地
提出问题，揭示课题，引发学生
思考。使学生目标明确、迅速进
入角色。
复
习
提
问
1、画出一个锐角、一个钝角的正弦线、余弦线。
2、如果角α的终边与单位圆相交于点P，点P的坐标能否用角α的三角函数值表示？怎样表示？
3、写出同一坐标轴上两点间距离公式。
通过复习使学生熟悉基础知识、特别是用角的正、余弦表示特殊点的坐标，为新课的推进做准备。
引
入
新
课
在解决上面的问题之前，我们先来解决“平面内两点间距离的求法”这一问题。通过上面的复习，我们已经熟悉了同一坐标轴上两点间距离公式。那么，平面内两点间距离与坐标有什么样的关系呢？（通过特殊的例子让学生体会平面内两点间距离和同一坐标轴上两点间距离的关系。）
让学生通过特殊值在转化到一般情况，符合学生的认知规律。
教

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学
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过
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程
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1、分析：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）则有：M1（x1，0），M2（x2，0）,N1 （0，y1），N2（0，y2）。
通过演示课件提出问题：P1P2
的长度与什么有关？
根据图写出M1M2和N1N2。
P1Q= M1M2=│x2-x1│
QP2= N1N2=│y2-y1│
根据勾股定理写出
P1P22=P1Q2+QP22=(x2-x1)2+(y2-y1)2
由此得平面内P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点间的距离公式:
P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)2
2、在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α,α+β和-β。它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与X轴交于P1。则： P1(1,0)、 P2（cosα，sinα）、P3（cos（α+β），sin（α+β）
P4(cosβ,-sinβ)
根据︱P1 P4︱=︱P2 P3︱即可得到
cos（α+β）= cosαcosβ- sinαsinβ
用-β代替β得cos（α-β）的公式。
注意公式的结构特征。
例1、求cos15°及cos105°的值．
分析：本题关键是将15°角分成45°与30°的差或者分解成60°与45°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解．对于cos105°，可进行类似地处理，cos105°＝cos（60°＋45°）．
2. 已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）的值．
分析：观察公式Cα＋β与本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．
1、通过几何画板动态演示，给学生以直观感受，让他们认识到：平面内两点间距离和同一坐标轴上两点间距离总能构成一个直角三角形，利用勾股定理即可解决。
2、两角和余弦公式的证明中存在困难：三角函数表示单位圆上点的坐标，它虽然算理简单，但学生由于陌生而很不习惯，通过前面习环节应该有所熟悉。3、两角和的余弦学完之后，要强调其中两角均为任意角，这样一来，两角差的余弦只是两角和的余弦的特殊形式。
例1的作用一方面让学生熟练两角和与差的余弦公式，另一方面也向学生展示了公式的一种实际应用价值，即：将非特殊角转化为特殊角的和与差。
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例2利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：
cos(-α)=sinα
sin(-α)=cosα
例3 已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）的值．
分析：观察公式Cα＋β与本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．
课堂练习：
1. （1）求sin75°的值．
（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．
2. （1）求证：cos（－α） ＝sinα．
（2）已知sinθ＝，且θ为第二象限角，求cos（θ－）的值．
（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．
例2的目的在于熟悉公式，同时对同角三角函数关系有复习的作用，其难度不是很大，在提供了公式之后，学生应当能够完成.
小
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结
本节课我们学习了下面两组公式，在公式的记忆上，我们应注意函数和符号的变化。

两角和与差的余弦：
（同名之积相加减，运算符号左右反。）
cos（α+β）= cosα cosβ- sinα sinβ
cos（α-β）= cosα cosβ+ sinα sinβ
小节以十四字口诀概括两角和与差的三角函数关系式，既体现了公式的本质特征，又朗朗上口，便于记忆。有助于学生对本节课的内容更好地掌握。
练习巩固
1、课堂练习（P38）
①、第2题（3）、（4）。
②、第3题（2）、（3）。
2、课后作业P40
习题4.6第2 、 3、(2)、(3)
3、思考题：
试运用今天所学知识和方法证明：
sin（ α+β）= sinα cosβ+cosα sinβ
sin（ α-β）= sinα cosβ-cosα sinβ
8、课堂练习有助于学生进一步熟悉公式，加深学生对公式的理解和认识。回馈教学效果。思考题对学生本节课所学知识方法的考察要求较高，但能力较强学生能够完成，也是为下一节课的内容做准备。体现问题必须略高于学生现有知识水平的原则。
六、板书设计
两角和与差的余弦
公式
推导
例1
例2
例3