内蒙古自治区赤峰市敖汉旗三校2021-2022学年高二下学期期中联考理科数学试题（Word版含答案）

敖汉旗三校2021-2022学年高二下学期期中联考
理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你的正确选项填涂在答题卡上）．
已知集合，，则
B. C. D.
2. 已知复数，且满足（为虚数单位），则实数
A. B. C. D.
3．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为
A． B． C． D．
5．已知函数的导函数为，且，则
A． B． C． D．
6.的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为
A． B．40 C．80 D．120
7.有如下四个命题：
①已知向量，则
②“”是“直线和直线互相垂直”的充要条件：
③命题“已知A，B为一个三角形的两内角，若，”的否命题为真命题；
④命题“若，则”的逆否命题是真命题.
⑤已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题是假命题；
其中正确命题的个数是
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则曲线C的离心率为
A． B． C． D．2
9．已知a是（n为正奇数）被5除的余数，则的值为
A. B. C. D.
10.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点．设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为
A． B． C． D．
11．设点在曲线上， 点， 在直线
上，当时， 的最小值为
A． B． C．e D．
12．已知，且，则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13.为促进就业，提升经济活力，2020年我国多个城市开始松绑“地摊经济”，市自大力发展“地摊经济”以来，夜市也火了起来，下表是市2020年月份代码与夜市的地摊摊位数（单位：万个）的统计数据：
月 份 4月 5月 6月 7月 8月
月份代码 1 2 3 4 5
摊位数（万个） 300 330 440 450
若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则表中的值为____.
14.已知函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心，由此推测，函数
的图象的对称中心为______．
15. 集合中有5个等差数列，集合B中有5个等比数列，的元素个数是1，在中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是___.
16.已知函数在区间上不单调，则实数b的取值范围是_____
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本题满分10分）已知，是虚数单位．
ｐ：复数在复平面内对应的点位于第四象限；
q：复数在复平面内对应的点在圆内.
⑴当p为假命题时，求的取值范围；
⑵若命题“q”为真命题，“q”为假命题，求的取值范围.
18．（本题满分12分） 已知函数.
(1)若且的图像过点，求在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求b的取值范围.
（本题满分12分）某校为研究课外阅读对语文学习的影响，随机抽取了高一年级的60名学生，统计了他们每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟），根据统计结果绘制了频率分布直方图（如图），
并将被抽取人的评为“阅读达人”以奖励
喜爱阅读的学生.
⑴求“阅读达人”每天阅读时长的最小值；
⑵若从“阅读达人”中随机抽取3人，求抽取
的3人中至少有一人来自阅读时长为7080分
钟的概率.
20.（本题满分12分） 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2且A的菱形，
,.
⑴证明：；
⑵求二面角B-AP-D的余弦值.
21.（本题满分12分）已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，直线过点与抛物线相交于，两点（点位于第一象限）.
(1)求证：为定值；
(2)过点作的平行线与抛物线相交于另一点，求点横坐标的取值范围.
22.（本题满分12分） 已知函数，为的导函数.
（1）求证：在上存在唯一零点;
（2）求证: 有且仅有两个不同的零点.
参考答案：
选择题： 1—5 A C B C D 6—10 D B C A A 11—12 C B
填空题：13. 380 14. 15. 16.
解答题：
17.解：（1）由于复数对应点在第四象限，所以有 ，所以.
∵p为假命题，∴......................................4分
（2）∵“q”为真命题，“q”为假命题，∴p、q一真一假，
若对应点在圆内，则，解得.
当p真q假时，；
当p假q真时，.
∴ ................................................................10分
18.解(1)，且
....................................................................................................3分
又因为切点 ，故切线方程为，即.......................5分
)当时，恒成立，即恒成立.
显然，故恒成立 （★）..........................................6分
即恒成立.
设，则 ......8分
当时，g＇；时，g＇
∴在上单调递增，在上单调递减 ...................................10分
∴，∴ ........................................................................12分
【★若设g，可求得，进而求得，亦得】
解：（1）因为“阅读达人”为被抽取人的，故有9人被评为“阅读达人”.
由于每天阅读时长在7080分钟、60～70分钟的人数各为
3人， .............................................................................2分
所以，每天阅读时长为50～60分钟的人有3人被评为“阅读达人”.
设此3人中的最少阅读时长为x分钟，则
解得x=55（分钟）
所以，“阅读达人”每天的最少阅读时长是55分钟. ...................................6分
因为“阅读达人”共有9人，每天阅读时长在7080分钟的人数是3人，
所以，所求事件的概率为
....................................................................12分
20.解：（1）连接AC、BD，设交点为M，连PM.如图.
因为四边形ABCD为菱形，所以，BDAC，且M为
BD中点，因为PB=PD，所以BDPM ....................2分
而AC平面PAC，PM平面PAC，
所以，BD平面PAC，所以BDPC .......................................................4分
又PCBC，所以PC平面ABCD，所以PCCD .........................................6分
（2）以C为坐标原点，CD、CP所在直线分别
为x、z轴，建立空间直角坐标系（如图），易知
C，D，P
由菱形ABCD中，可得B
A ............................7分
所以，， ...................8分
设平面BAP的法向量为，
则 ，所以 ，
令，则，所以. ...................................9分
同理，设平面DAP的法向量为，
则 ，所以 ，
令，则，所以. ......10分
所以，
所以，二面角B-AP-D的余弦值为 ................................................................12分
（也可以用几何法求：过D作AP的垂线，设垂足为E，连接BE，则为二面角B—AP—D的平面角）
21.解：(1)由题，设直线方程为，，，
联立直线与抛物线的方程，，消去，得，
故，又，...............................................................3分
所以，
即为定值-3. ................................................................................................... 5分
(2)设直线的方程为，由点在第一象限知，，
而，则直线的方程为，
联立方程，得点，同理求得点，............................. 7分
设直线方程为，
联立方程，得，
该方程有一解为，故另一解为，.......................................................9分
所以点， ........................................................................................10分
，当且仅当时等号成立，
所以点横坐标的取值范围是..............................................................................12分
22.解：（1）由题意，函数，可得，...1分
设，
当时，，所以在上单调递减，..........2分
又因为，
所以在上有唯一的零点，所以命题得证．............................................4分
（2） ①由（1）知：当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减;
所以在上存在唯一的极大值点（其中），
所以，
又因为，
所以在上恰有一个零点． ......................................................................5分
又因为，
所以在上也恰有一个零点．....................................................................6分
②当时，，
设，则，
所以在上单调递减，所以，
所以当时，恒成立
所以在上没有零点．............................................................................9分
③当时，，
设，则，
所以在上单调递减，所以，
所以当时，恒成立
所以在上没有零点．.......................................................................11分
综上，有且仅有两个零点．...........................................................................12分