苏教版（2019）数学必修第一册 7.2.2 同角三角函数的基本关系 教案

第七章　三角函数
7.2.2　同角三角函数的基本关系
本节课是学生学习了任意角和弧度值,任意角的三角函数后,安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起着承上启下的作用。同时,它体现的数学思想与方法在整个高中数学学习中都有着重要的作用。所以本节课的重点是同角三角函数基本关系式,难点是求值中的应用。
课程目标 学科素养
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.理解同角三角函数的基本关系式 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． 1.数学抽象：同角三角函数的基本关系式； 2.逻辑推理：根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式； 3.数学运算：根据一个角的三角函数值，求其它三角函数值；
1.教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用；
2.教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式应用。
1．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α＝________.
答案：
2．已知角α的终边上有一点P，则sin α＋cos α＝________.
答案：－
3．若sin α<0，tan α>0，则α在第__________象限．
答案：三
4．若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a＝________.
解析：因为点P(－4，a)且sin α·cos α＝，所以a<0，根据定义可得·＝，解得a＝－4或－.
答案：－4或－
知识点　同角三角函数的基本关系式
思考1　计算下列式子的值：
(1)sin230°＋cos230°；
(2)sin245°＋cos245°；
(3)sin290°＋cos290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它．
答案　3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝x.
∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.
思考2　由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
答案　∵tan α＝(x≠0)，∴tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z)．
梳理　(1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
②商数关系：tan α＝ .
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
②tan α＝的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝.
典型例题
类型一　利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1　已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
例1　(1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，
∴tan α＝＝－，故选D.
(2)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝ .
答案　－
解析　∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，
即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，
∴α∈，
故sin α－cos α＝＝，
可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
总结　(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口．
命题角度2　已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
例2　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
总结　利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．
类型二　齐次式求值问题
例3　已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
解　(1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝.
总结　(1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值．
(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式．
类型三　三角函数式的化简与证明
例4　(1)化简：sin2αtan α＋＋2sin αcos α.
解　原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝.
(2)求证：＝.
证明　∵右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
总结　(1)三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
变式训练　化简tan α ，其中α是第二象限角．
解　因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α ＝tan α ＝tan α
＝＝·＝－1.
教材中以单位圆作为数学工具,首先利用单位圆得到任意角与单位圆的交点坐标可用这个角的正弦、余弦表示；接着提出问题一一解决问题的教学方法帮助学生发现同角三角函数的两个基本关系式， 即平方关系和商数关系；