2013年安徽省新课标高考统计与概率测试卷

2013年安徽省新课标高考统计与概率测试卷
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）某学校有高一学生720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方法，抽取180人进行英语水平测试．已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三学生数的等差中项，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是（　　）
　
A．
480
B．
640
C．
800
D．
960
　
2．（5分）将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分成8个组，如表
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
9
14
14
13
12
x
13
10
则第6组频率为（　　）
　
A．
0.14
B．
14
C．
0.15
D．
15
　
3．（5分）从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”； ②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”； ③“取出3只红球”与“取出3只球中至少1只白球”； ④“取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的有（　　）
　
A．
①②
B．
②③
C．
③④
D．
③
　
4．（5分）盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
　
5．（5分）某城市2010年的空气质量状况如表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2010年空气质量达到良或优的概率为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
　
6．（5分）某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是（　　）
　
A．
一定不会淋雨
B．
淋雨的可能性为
　
C．
淋雨的可能性为
D．
淋雨的可能性为
　
7．（5分）在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2m3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
1﹣
　
8．（5分）集合A={（x，y）|y≥|x﹣1|}，集合B={（x，y）|y＜﹣|x|+6}，先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a，掷第二颗骰子得点数为b，则（a，b）∈A∩B的概率等于（　　）
　
A．
B．
C．
D．
　
9．（5分）在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站一次只能停靠一辆汽车），有一位乘客在等候第4路或第8路公共汽车．假定当时各路汽车首先到此站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于（　　）
　
A．
B．
C．
D．
　
10．（5分）甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们在限期内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上.
11．（4分）（2006?山东）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是
　_________　．
　
12．（4分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是
　_________　．
　
13．（4分）在边长为4的正三角形内任投一点，则该点到三边距离都不小于的概率为　_________　．
　
14．（4分）在等腰直角三角形ABC中，，在斜边AB上任取一点P，则CP≤2的概率为　_________　．
　
15．（4分）将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为
　_________　．
　
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（12分）一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少？
（1）红灯（2）黄灯（3）不是红灯
　
17．（12分）（2008?广东）某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表：
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．
（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．
　
18．（14分）（2009?广东）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
　
19．（14分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
　
20．（14分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
　
21．（14分）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应关系：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图，判断y与x是否线性相关；
（2）若y与x之间有线性相关关系，求其回归方程；
（3）若实际销售额不少于60百万元，则广告费支出应不少于多少？
　
2013年安徽省新课标高考统计与概率测试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）某学校有高一学生720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方法，抽取180人进行英语水平测试．已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三学生数的等差中项，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是（　　）
　
A．
480
B．
640
C．
800
D．
960
考点：
分层抽样方法．
专题：
计算题．
分析：
根据题意设出高一和高三要抽取的人数，根据题意列出关于所设的未知量的方程，解出结果，根据高一的总人数和要抽取的人数，求出每个个体被抽到的概率，根据概率相等做出高三的总人数．
解答：
解：设抽取高一学生x人，抽取高三学生y人，高三学生总人数为z人，
则由题意得：
解得
又由=，
得z=960．
故选D．
点评：
本题考查分层抽样方法，考查在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题是一个经常出现的一个问题，可以出现在高考卷的填空中．
　
2．（5分）将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分成8个组，如表
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
9
14
14
13
12
x
13
10
则第6组频率为（　　）
　
A．
0.14
B．
14
C．
0.15
D．
15
考点：
频率分布表．
专题：
计算题．
分析：
由表中数据，根据样本容量为100，我们可计算出第6组频数，代入频率公式：频率=可得答案．
解答：
解：∵第6组频数为100﹣（9+14+14+13+12+13+10）=15
∴第6组频率为=0.15
故选C
点评：
本题考查的知识点是频率分布表，其中熟练掌握频率公式：频率=，是解答的关键．
　
3．（5分）从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”； ②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”； ③“取出3只红球”与“取出3只球中至少1只白球”； ④“取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的有（　　）
　
A．
①②
B．
②③
C．
③④
D．
③
考点：
互斥事件与对立事件；命题的真假判断与应用．
分析：
对立事件一定是互斥事件，对立的两个事件不可能同时发生，利用此信息进行一一判断；
解答：
解：装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球；
①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”，可以同时发生，不是互斥事件，故①错误；
②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；，可以同时发生，不是互斥事件，故②错误；
③“取出3只红球”还剩2只红球，5只白球，再取3只球，肯定会有一只白球，所以取出3只球中至少1只白球，与其是对立事件，不可能同时发生，
故③正确；
④“取出3只红球”与“取出3只白球，可以同时发生，不是互斥事件，故④错误；
故选D；
点评：
此题主要考查对立事件与互斥事件的定义，是一道基础，死扣定义；
　
4．（5分）盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
考点：
古典概型及其概率计算公式．
专题：
计算题．
分析：
由已知中盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，故基本事件的总个数有10个，其中满足条件恰为合格铁钉的基本事件个数为8个，代入古典概型计算公式即可得到答案．
解答：
解：从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10，
其中抽到合格铁钉（记为事件A）包含8个基本事件，
所以所求的概率为P（A）==．
故选C．
点评：
本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出基本事件总个数，及满足条件的基本事件个数，是解答古典概型类问题的关键．
　
5．（5分）某城市2010年的空气质量状况如表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2010年空气质量达到良或优的概率为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
考点：
互斥事件的概率加法公式．
专题：
计算题．
分析：
根据题意，分析表格可得空气污染指数为30、60、100的概率，又由题意，结合互斥事件概率的加法公式，将其概率相加即可得答案．
解答：
解：根据题意可得，空气污染指数T=30的概率为，空气污染指数T=60的概率为，空气污染指数T=100的概率为，
又由污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；
则城市2010年空气质量达到良或优的概率为++=；
故选A．
点评：
本题考查互斥事件概率的加法公式，注意根据题意，从表格中得解题的信息．
　
6．（5分）某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是（　　）
　
A．
一定不会淋雨
B．
淋雨的可能性为
　
C．
淋雨的可能性为
D．
淋雨的可能性为
考点：
概率的意义．
专题：
常规题型．
分析：
本试验发生包含的事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况，而满足条件的只有下雨帐篷未到一种结果，根据概率公式得到结果．
解答：
解：基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况，
而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，
故淋雨的可能性为．
故选D
点评：
本题考查概率的意义，是一个基础题，在日常生活中经常见到有关概率的意义的问题，学会用数学知识解决实际问题，
　
7．（5分）在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2m3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
1﹣
考点：
几何概型．
专题：
计算题．
分析：
由题意可得，所求的概率属于几何概率，代入几何概率的计算公式P（A）=可求得答案．
解答：
解：可用体积作为几何度量，
由于一底面半径和高都是2m的圆柱形容器的体积=π×22×2，
易知取出带有麦锈病的种子的概率为P==．
故选C．
点评：
本题主要考查了几何概率的判断及计算公式的应用，几何概率的特点是：无限性，等可能性；几何概率懂得计算公式P=
　
8．（5分）集合A={（x，y）|y≥|x﹣1|}，集合B={（x，y）|y＜﹣|x|+6}，先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a，掷第二颗骰子得点数为b，则（a，b）∈A∩B的概率等于（　　）
　
A．
B．
C．
D．
考点：
等可能事件的概率．
专题：
计算题．
分析：
先给出所有的基本事件的总数：6×6=36种，记为坐标（a，b），再将其中（a，b）的坐标满足既符合集合A，又符合集合B的情况总数找出来，将所得结果除以36即可．
解答：
解：所有事件：先后掷两颗骰子两个的点数结果有6×6=36种，
∵集合A={（x，y）|y≥|x﹣1|}，集合B={（x，y）|y≤﹣|x|+6}，
∴A∩B={（x，y）|y≥|x﹣1|且y≤﹣|x|+6}，
把所有的点数代入交集合进行检验，
有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，3），
共有8种情况符号要求，
∴P==，
故答案为：．
点评：
本题考查了等可能性事件的概率，属于中档题．采用列举法来做，是这一类题常用的方法．
　
9．（5分）在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站一次只能停靠一辆汽车），有一位乘客在等候第4路或第8路公共汽车．假定当时各路汽车首先到此站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于（　　）
　
A．
B．
C．
D．
考点：
等可能事件的概率．
专题：
计算题．
分析：
由已知中在1，3，4，5，8五条线路的公交车都停靠的车站上，试验发生所包含的事件是五路车都有可能靠站，共有5种结果，满足条件的事件是乘客在等候第4路或第8路，有2种结果．得到概率．
解答：
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件是五路车都有可能靠站，共有5种结果，
满足条件的事件是乘客在等候第4路或第8路，有2种结果，
∴要求的概率是，
故选D．
点评：
本题考查的知识点是等可能事件的概率，其中根据已知条件计算出基本事件的总数及满足条件的基本事件的个数，是解答本题的关键．
　
10．（5分）甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们在限期内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
考点：
几何概型．
专题：
计算题．
分析：
设x表示甲到达该地点的时间，y表示乙到达该地点的时间，则0≤x≤10，0≤y≤10，整个事件空间构成一个边长为10的正方形，其中两人能会面的条件是﹣3≤x﹣y≤3，利用几何概型可求概率．
解答：
解：本题考查几何概型，设x表示甲到达该地点的时间，y表示乙到达该地点的时间，则0≤x≤10，0≤y≤10
整个事件空间构成一个边长为10的正方形，其中两人能会面的条件是﹣3≤x﹣y≤3，如图，
可知两人能会面的概率为约束条件对应的可行域的面积与正方形的面积的比，
即P==．
答案：D
点评：
本题主要考查几何概型，解题的关键是用面积作为测度，利用面积比求概率．
　
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上.
11．（4分）（2006?山东）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是
　150　．
考点：
分层抽样方法．
分析：
因为在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，根据总数和样本容量算出抽取的比例，由已知可知抽取了10位教师，算出教师总数．
解答：
解：∵有师生2400人，抽取一个容量为160的样本，
∴，
∵160﹣150=10，
∴10×15=150，
故答案为：150
点评：
近几年的高考中出现过这种问题，它主要考查的是抽样过程中每个个体被抽到的概率相等．
　
12．（4分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是
　0.30　．
考点：
古典概型及其概率计算公式．
专题：
计算题．
分析：
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，
根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28，得到结果．
解答：
解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的
摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，
摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，
故答案为：0.3
点评：
本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．
　
13．（4分）在边长为4的正三角形内任投一点，则该点到三边距离都不小于的概率为　　．
考点：
几何概型．
专题：
计算题；概率与统计．
分析：
在正三角形的内侧作三条平行线分别与三边平行，且距离等于，可得到个小正三角形，可知落在小正三角形区域的点满足条件，所求概率即为小正三角形面积与大正三角形面积之比．
解答：
解：在正三角形的内侧作三条平行线分别与三边平行，且距离等于，可得到个小正三角形，可知落在小正三角形区域的点满足条件，所求概率即为小正三角形面积与大正三角形面积之比
∵大正三角形的边长为4
∴小正三角形高为，大正三角形高2
∴两个三角形的面积比为1：4
故答案为：
点评：
本题考查几何概型，考查学生的计算能力，属于基础题．
　
14．（4分）在等腰直角三角形ABC中，，在斜边AB上任取一点P，则CP≤2的概率为　　．
考点：
几何概型．
专题：
概率与统计．
分析：
欲求CP≤2的概率，先求出P点可能在的位置的长度，以及AB的长度，再根据几何概型的概率公式让两者相除即可求出所求．
解答：
解：∵等腰直角三角形ABC中，，
∴AB==2
设CM=2，AM=x，在△CAM中由余弦定理可得
22=（）2+x2﹣2xcos45°
化简得x2﹣2x+2=0
解得：x=﹣1或+1（舍去）
根据对称性可知MN=2，当点P取在MN上是CP≤2
∴CP≤2的概率为==
故答案为：
点评：
本题主要考查了概率里的几何概型，在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，属于基础题．
　
15．（4分）将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为
　　．
考点：
古典概型及其概率计算公式．
专题：
计算题．
分析：
先根据题中的条件可判断属于古典概率模型，然后分别求解试验产生的所有结果n，基本事件的结果数m，代入古典概率模型的计算公式P（A）=进行计算．
解答：
解：将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，共有36种结果：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6），属于古典概率模型．
记“方程x2+bx+c=0有实根”为事件A，则△=b2﹣4c≥0?，A包含的结果有：（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（4，3）（5，3）（6，3）（4，4）（5，4）（6，4）（5，5）（6，5）（5，6）（6，6）共19种结果，由古典概率的计算公式可得，P（A）=．
故答案为：．
点评：
本题主要考查了古典概率的求解，此类型题的求解有两点：①首先清楚古典概率模型的特征：结果有限且每种结果等可能出现②古典概率的计算公式：P（A）=（其中n是试验的所有结果，m是基本事件的结果数．）
　
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（12分）一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少？
（1）红灯（2）黄灯（3）不是红灯
考点：
等可能事件的概率．
专题：
计算题．
分析：
本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40秒，满足条件的事件是红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，根据等可能事件的概率得到答案．
解答：
解：由题意知本题是一个那可能事件的概率，
试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒，
设红灯为事件A，黄灯为事件B．
满足条件的事件是红灯的时间为30秒，
黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒
根据等可能事件的概率得到
（1）出现红灯的概率．
（2）出现黄灯的概率
（3）不是红灯的概率．
点评：
本题考查等可能事件的概率，是一个由时间长度之比确定概率的问题，这是几何概型中的一种题目，是最基础的题．
　
17．（12分）（2008?广东）某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表：
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．
（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．
考点：
分层抽样方法；等可能事件的概率．
专题：
计算题．
分析：
（1）先根据抽到高二年级女生的概率是0.19，做出高二女生的人数，再用全校的人数减去高一和高二的人数，得到高三的人数，全校要抽取48人，做出每个个体被抽到的概率，做出高三被抽到的人数．
（2）设出高三年级女生比男生多的事件为A，高三年级女生，男生数记为（y，z），因为y+z=500，且y，z∈N，列举出基本事件空间包含的基本事件有共11个，事件A包含的基本事件数，得到结果．
解答：
解：（1）∵，∴x=380
高三年级人数为y+z=2000﹣（373+377+380+370）=500
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，
应在高三年级抽取的人数为（名）．
（2）设高三年级女生比男生多的事件为A，高三年级女生，
男生数记为（y，z），由（2）知y+z=500，且y，z∈N，
基本事件空间包含的基本事件有（245，255），（246，254），（247，253），┅，（255，245）共11个．
事件A包含的基本事件（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共5个．
∴
点评：
本题考查等可能事件的概率，考查分层抽样，是一个统计的综合题，题目运算量不大，也没有难理解的知识点，是一个基础题．
　
18．（14分）（2009?广东）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
考点：
茎叶图；极差、方差与标准差；等可能事件的概率．
分析：
本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．
解答：
解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160～169之间，而乙班身高集中于170～180之间．
因此乙班平均身高高于甲班
（2），
甲班的样本方差为+（170﹣170）2+（171﹣170）2+（179﹣170）2+（179﹣170）2+（182﹣170）2]=57．
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）
（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）
（178，176）（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件．∴．（12分）
点评：
茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键．
　
19．（14分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
考点：
随机抽样和样本估计总体的实际应用；众数、中位数、平均数．
专题：
计算题；综合题．
分析：
（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．
（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．
解答：
解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为
∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为
∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，
∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，
即X的分布列为
X
﹣2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
点评：
本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题
　
20．（14分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
考点：
等可能事件的概率．
专题：
计算题．
分析：
（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．
（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．
解答：
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是3×5=15，
函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，
要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
当且仅当a＞0且，即2b≤a
若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为．
（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，
函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分
由得交点坐标为，
∴所求事件的概率为．
点评：
古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．
　
21．（14分）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应关系：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图，判断y与x是否线性相关；
（2）若y与x之间有线性相关关系，求其回归方程；
（3）若实际销售额不少于60百万元，则广告费支出应不少于多少？
考点：
线性回归方程．
专题：
计算题．
分析：
（1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．
（2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．
（3）将y=60代入回归直线方程求出x的值即为实际销售额不少于60百万元时广告费支出的估计值
解答：
解：（1）
（2）=5，=50，=145，=1380
设回归方程为 =bx+a
则b==（1380﹣5×5×50）÷（145﹣5×52）=6.5
a=﹣b=50﹣6.5×5=17.5
故回归方程为 =6.5x+17.5
（3）当y=60时，6.5x+17.5=60，
解处x≈6.539
若实际销售额不少于60百万元，则广告费支出应不少于6.539百万元
点评：
本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．
　

参与本试卷答题和审题的老师有：涨停；翔宇老师；lcb001；吕静；danbo7801；minqi5；俞文刚；lily2011；xiaozhang（排名不分先后）
菁优网
2013年3月30日