26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时
教材认知
1．一般地，反比例函数y＝(k≠0)的图象是__ __．
2．反比例函数图象的常用画法是__ __法，其具体步骤为：
(1)列表；(2)__ __；(3)__ __.
3．反比例函数y＝(k≠0)的性质：
(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第__ __象限，在每一象限内，y随x的增大而__ __；
(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第__ __象限，在每一个象限内，y随x的增大而__ __．
微点拨
1．注意不要忽视k值的符号．
2．画反比例函数图象连线时，切忌画成折线，注意画出的反比例函数图象不能与x，y轴相交，也不过原点．
3．利用反比例函数性质比较大小时，注意两点不在同一象限的情况，比较大小不要错用性质，反比例函数的增减性只能在同一个象限内讨论．
基础必会
1．反比例函数y＝(x＜0)的图象位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．(内蒙古包头期中)如图所示的图象对应的函数关系式可能是( )
A.y＝5x
B．y＝2x＋3
C．y＝
D．y＝－
3．下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是( )
A．(－1，8) B．(－2，4) C．(1，7) D．(2，4)
4．(内蒙古鄂尔多斯期末)下列说法中不正确的是( )
A．函数y＝3x的图象经过原点
B．函数y＝的图象位于第一、三象限
C．函数y＝2x－1的图象不经过第二象限
D．函数y＝－的值随x的增大而减小
5．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是( )
A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－
6．(大连中考)下列说法正确的是( )
①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P(－3，2)在反比例函数y＝－的图象上；
③反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．(新疆生产建设兵团中考)若点A(1，y1)，B(2，y2)在反比例函数y＝的图象上，则y1__ __y2(填“＞”“＜”或“＝”).
8．(甘肃陇南质检)已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是__ __．
9．(乌鲁木齐期末)已知反比例函数y＝.
(1)若图象在第二、四象限，求k的取值范围；
(2)当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？
能力提升
1．若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
2．(甘肃酒泉质检)若一元二次方程x2－4x－4m＝0有两个不等的实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限是( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．(兰州质检)已知反比例函数y＝(m－2)xm2－10的图象，在每一象限内y随x的增大而增大，则反比例函数的解析式为__ __．
4．(素养提升)(西宁期末)已知反比例函数y＝的图象经过A(2，－4).
(1)求k的值；
(2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
(3)画出函数的图象；
(4)点B(－2，4)，C(－1，5)在这个函数的图象上吗？
PAGE26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时
教材认知
1．反比例函数y＝(k≠0)中比例系数k的几何意义：
(1)如图，过反比例函数y＝图象上任意一点P向x轴、y轴分别作垂线，交于M，N，则矩形PMON的面积为S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝__ __．
(2)如图，过反比例函数y＝图象上任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴，垂足为F，连接EO，则S△EOF＝__ __．
2．利用反比例函数图象与一次函数图象的__ __坐标，是解决反比例函数与一次函数综合题的关键．
微点拨
1．因为反比例函数y＝(k为常数，k≠0)中k有正负之分，所以在利用k表示矩形或三角形面积时，都应加上绝对值符号．
2．求一次函数大于反比例函数的函数值问题时，注意不要漏解．
基础必会
1．(宁夏中卫质检)如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A，B两点，B点坐标为(－2，－3)，则A点坐标为( )
A．(－2，－3) B．(2，3) C．(－2，3) D．(2，－3)
2．(青海中考)若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
3．(内蒙古通辽期末)如图，已知双曲线y＝与正比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C，则△ABC的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．与k值有关
4．反比例函数y＝与一次函数y＝x＋的图象有一个交点B，则k的值为( )
A．1 B．2 C． D．
5．如图，点A是反比例函数y＝图象上任意一点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为__ __．
6．(内蒙古包头期中)函数y＝和y＝－x＋4的图象的交点在第__ __象限．
7．(银川质检)已知直线y＝x－3与函数y＝的图象交于点(a，b)，则a2＋b2的值是__ __．
能力提升
1．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
2．(新疆生产建设兵团中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
3．(宁夏中考)如图，函数y1＝x＋1与函数y2＝的图象相交于点M(1，m)，
N(－2，n).若y1＞y2，则x的取值范围是( )
A．x＜－2或0＜x＜1 B．x＜－2或x＞1
C．－2＜x＜0或0＜x＜1 D．－2＜x＜0或x＞1
4．(西宁质检)若反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象只有一个交点，则k＝__ __．
5．(素养提升)(天水中考)如图所示，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于第二、四象限的点A(－2，a)和点B(b，－1)，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4.
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出mx＋n＞中x的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使PB－PA取得最大值时，求出点P的坐标．
PAGE26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时
教材认知
1．一般地，反比例函数y＝(k≠0)的图象是__双曲线__．
2．反比例函数图象的常用画法是__描点__法，其具体步骤为：
(1)列表；(2)__描点__；(3)__连线__.
3．反比例函数y＝(k≠0)的性质：
(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第__一、三__象限，在每一象限内，y随x的增大而__减小__；
(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第__二、四__象限，在每一个象限内，y随x的增大而__增大__．
微点拨
1．注意不要忽视k值的符号．
2．画反比例函数图象连线时，切忌画成折线，注意画出的反比例函数图象不能与x，y轴相交，也不过原点．
3．利用反比例函数性质比较大小时，注意两点不在同一象限的情况，比较大小不要错用性质，反比例函数的增减性只能在同一个象限内讨论．
基础必会
1．反比例函数y＝(x＜0)的图象位于(C)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．(内蒙古包头期中)如图所示的图象对应的函数关系式可能是(C)
A.y＝5x
B．y＝2x＋3
C．y＝
D．y＝－
3．下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是(D)
A．(－1，8) B．(－2，4) C．(1，7) D．(2，4)
4．(内蒙古鄂尔多斯期末)下列说法中不正确的是(D)
A．函数y＝3x的图象经过原点
B．函数y＝的图象位于第一、三象限
C．函数y＝2x－1的图象不经过第二象限
D．函数y＝－的值随x的增大而减小
5．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是(A)
A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－
6．(大连中考)下列说法正确的是(A)
①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P(－3，2)在反比例函数y＝－的图象上；
③反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．(新疆生产建设兵团中考)若点A(1，y1)，B(2，y2)在反比例函数y＝的图象上，则y1__＞__y2(填“＞”“＜”或“＝”).
8．(甘肃陇南质检)已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是__a＞2__．
9．(乌鲁木齐期末)已知反比例函数y＝.
(1)若图象在第二、四象限，求k的取值范围；
(2)当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？
【解析】(1)∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限，
∴2k＋1＜0，
解得：k＜－.
(2)∵反比例函数y＝的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
∴2k＋1＞0，
∴k＞－.
能力提升
1．若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(C)
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
2．(甘肃酒泉质检)若一元二次方程x2－4x－4m＝0有两个不等的实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限是(B)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．(兰州质检)已知反比例函数y＝(m－2)xm2－10的图象，在每一象限内y随x的增大而增大，则反比例函数的解析式为__y＝－__．
4．(素养提升)(西宁期末)已知反比例函数y＝的图象经过A(2，－4).
(1)求k的值；
(2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
(3)画出函数的图象；
(4)点B(－2，4)，C(－1，5)在这个函数的图象上吗？
【解析】(1)∵反比例函数y＝的图象经过点
A(2，－4)，
∴1－k＝2×(－4)＝－8，解得：k＝9；
(2)∵反比例函数y＝－，比例系数小于0，
∴图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大；
(3)画图象为：
(4)∵－2×4＝－8，－1×5＝－5≠－8，
∴B(－2，4)在反比例函数的图象上，C(－1，5)不在反比例函数的图象上．
PAGE26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时
教材认知
1．反比例函数y＝(k≠0)中比例系数k的几何意义：
(1)如图，过反比例函数y＝图象上任意一点P向x轴、y轴分别作垂线，交于M，N，则矩形PMON的面积为S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝__|k|__．
(2)如图，过反比例函数y＝图象上任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴，垂足为F，连接EO，则S△EOF＝____．
2．利用反比例函数图象与一次函数图象的__交点__坐标，是解决反比例函数与一次函数综合题的关键．
微点拨
1．因为反比例函数y＝(k为常数，k≠0)中k有正负之分，所以在利用k表示矩形或三角形面积时，都应加上绝对值符号．
2．求一次函数大于反比例函数的函数值问题时，注意不要漏解．
基础必会
1．(宁夏中卫质检)如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A，B两点，B点坐标为(－2，－3)，则A点坐标为(B)
A．(－2，－3) B．(2，3) C．(－2，3) D．(2，－3)
2．(青海中考)若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(B)
3．(内蒙古通辽期末)如图，已知双曲线y＝与正比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C，则△ABC的面积为(C)
A．1 B．2 C．4 D．与k值有关
4．反比例函数y＝与一次函数y＝x＋的图象有一个交点B，则k的值为(C)
A．1 B．2 C． D．
5．如图，点A是反比例函数y＝图象上任意一点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为__3__．
6．(内蒙古包头期中)函数y＝和y＝－x＋4的图象的交点在第__一__象限．
7．(银川质检)已知直线y＝x－3与函数y＝的图象交于点(a，b)，则a2＋b2的值是__13__．
能力提升
1．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为(C)
A．4 B．6 C．8 D．12
2．(新疆生产建设兵团中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D)
3．(宁夏中考)如图，函数y1＝x＋1与函数y2＝的图象相交于点M(1，m)，
N(－2，n).若y1＞y2，则x的取值范围是(D)
A．x＜－2或0＜x＜1 B．x＜－2或x＞1
C．－2＜x＜0或0＜x＜1 D．－2＜x＜0或x＞1
4．(西宁质检)若反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象只有一个交点，则k＝__－1__．
5．(素养提升)(天水中考)如图所示，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于第二、四象限的点A(－2，a)和点B(b，－1)，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4.
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出mx＋n＞中x的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使PB－PA取得最大值时，求出点P的坐标．
【解析】(1)∵△AOC的面积为4，
∴|k|＝4，
解得，k＝－8，或k＝8(不符合题意舍去)，
∴反比例函数的关系式为y＝－，把点A(－2，a)和点B(b，－1)代入y＝－得，a＝4，b＝8；
(2)根据一次函数与反比例函数的图象可知，
不等式mx＋n＞的解集为x＜－2或0＜x＜8；
(3)∵点A(－2，4)关于y轴的对称点A′(2，4)，
又B(8，－1)，则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，
设直线A′B的关系式为y＝cx＋d，则有解得，
∴直线A′B的关系式为y＝－x＋，
∴直线y＝－x＋与y轴的交点坐标为，即点P的坐标为.
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