28．2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
教材认知
解直角三角形中的边角关系
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则有：
(1)三边之间的关系：__a2＋b2＝c2__(勾股定理)；
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝__90°__；
(3)边角之间的关系：sin A＝____，sin B＝____；cos A＝
____，cos B＝____；tan A＝____，tan B＝____．
微点拨
1．在解直角三角形时，经常要画出图形帮助分析，遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形求解．
2．在解直角三角形时要注意“有斜用弦，无斜用切”“宁乘毋除”“取原避中”．
基础必会
1．(新疆伊犁质检)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，∠B＝36°，D为BC的中点，则AD的长是(C)
A．5sin 36° B．5cos 36° C．5tan 36° D．10tan 36°
2．(甘肃庆阳质检)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)(B)
A． B． C． D．h·cos α
3．如图，若∠A＝60°，AC＝20 m，则BC大约是(≈1.732，结果精确到0.1m)(B)
A．34.64 m B．34.6 m C．28.3 m D．17.3 m
4．(西宁质检)如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100米，则B点到河岸AD的距离为(B)
A．100米 B．50米 C．米 D．50米
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，c＝10，则∠A＝__45°__，∠B＝____45°__，b＝__10__．
6．(赤峰中考)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__8.1__m.
(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)
7．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝__48__米．
8．(甘肃天水质检)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，tan ∠CBD＝，线段AB的长度是__4__．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝2，AC＝6，解此直角三角形．
【解析】∵tan A＝＝＝，∴∠A＝30°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，AB＝2BC＝4.
能力提升
1．(甘肃嘉峪关质检)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－4，0)，(0，4)，点C(3，n)在第一象限内，连接AC，BC.已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝____．
2．在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是__75或25__．
3．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为__7或5__．
4．(乌鲁木齐期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cos C＝，AB＝10，AC＝6，则BC的长为__3＋__．
5．(素养提升)如图，已知sin O＝，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，求AP的长．
【解析】当AP⊥ON时，∠APO＝90°，
则sin O＝＝，∵OA＝6，∴AP＝OA＝2；
当PA⊥OA时，∠A＝90°，则sin O＝＝，设AP＝x(x＞0)，则OP＝3x，
由勾股定理得(x)2＋62＝(3x)2，解得x＝，
∴AP＝×＝3.
综上所述，AP的长为2或3.
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28.2.1 解直角三角形
教材认知
解直角三角形中的边角关系
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则有：
(1)三边之间的关系：__ __(勾股定理)；
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝__ __；
(3)边角之间的关系：sin A＝__ __，sin B＝__ __；cos A＝
__ __，cos B＝__ __；tan A＝__ __，tan B＝__ __．
微点拨
1．在解直角三角形时，经常要画出图形帮助分析，遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形求解．
2．在解直角三角形时要注意“有斜用弦，无斜用切”“宁乘毋除”“取原避中”．
基础必会
1．(新疆伊犁质检)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，∠B＝36°，D为BC的中点，则AD的长是( )
A．5sin 36° B．5cos 36° C．5tan 36° D．10tan 36°
2．(甘肃庆阳质检)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)( )
A． B． C． D．h·cos α
3．如图，若∠A＝60°，AC＝20 m，则BC大约是(≈1.732，结果精确到0.1m)( )
A．34.64 m B．34.6 m C．28.3 m D．17.3 m
4．(西宁质检)如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100米，则B点到河岸AD的距离为( )
A．100米 B．50米 C．米 D．50米
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，c＝10，则∠A＝__ __，∠B＝____ __，b＝__ __．
6．(赤峰中考)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__ __m.
(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)
7．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝__ __米．
8．(甘肃天水质检)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，tan ∠CBD＝，线段AB的长度是__ __．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝2，AC＝6，解此直角三角形．
能力提升
1．(甘肃嘉峪关质检)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－4，0)，(0，4)，点C(3，n)在第一象限内，连接AC，BC.已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝__ __．
2．在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是__ __．
3．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为__ __．
4．(乌鲁木齐期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cos C＝，AB＝10，AC＝6，则BC的长为__ __．
5．(素养提升)如图，已知sin O＝，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，求AP的长．
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