29．1 投 影
第2课时
教材认知
1．正投影：投影线__垂直__于投影面产生的投影．
2．正投影的性质：
位置 平行于投影面 倾斜于投影面 垂直于投影面
线段 形状、大小 不变(全等) 形状、大小 发生变化 点
物体的面 形状、大小 不变(全等) 形状、大小 发生变化 线段
微点拨
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
基础必会
1．一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是(D)
A．AB＝CD B．AB≤CD C．AB>CD D．AB≥CD
2．(青海玉树期末)矩形的正投影不可能是(B)
A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．线段
3．如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是(D)
A．圆 B．圆柱 C．梯形 D．矩形
4．(银川质检)如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是(C)
5．(兰州质检)如图所示，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是(D)
6．当线段垂直于投影面时，它的正投影是__一个点__．
7．(内蒙古包头质检)如图所示，这些图形的正投影分别是__圆和矩形__．
8．当棱长为10 cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为__100__cm2__．
9.画出如图所示物体(正三棱柱)的正投影．
(1)投影线由物体前方射到后方；
(2)投影线由物体左方射到右方；
(3)投影线由物体上方射到下方．
【解析】
(1)如图所示： (2)如图所示： (3)如图所示：
10．(宁夏石嘴山期末)如图，正三棱柱的面EFDC平行于投影面P，且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6.
(1)三棱柱在投影平面P上的正投影的图形是______；
A．一条线段 B．矩形 C．平行四边形 D．等腰梯形
(2)求正投影的面积．
【解析】(1)∵正三棱柱的面EFDC平行于投影面P，
∴三棱柱在投影平面P上的正投影的图形是矩形EFDC，故选B；
(2)正投影的面积＝S矩形EFDC＝2×6＝12.
能力提升
1．在平面直角坐标系xOy中，位于第一象限内的点A(1，2)在x轴上的正投影为点A′，则cos ∠AOA′＝____．
2．(兰州质检)如图，从热气球P上测得两建筑物A，B的底部的俯角分别为45°和30°，如果A，B两建筑物的距离为60 m，P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上，则热气球P的高度是__(30－30)__m.(结果保留根号)
3．如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是
__ __．
4．(素养提升)(甘肃白银质检)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在阳光的垂直照射下，点C落在斜边AB上的D点．
(1)试探究线段AC，AB和AD之间的关系，并说明理由．
(2)线段BC，AB和BD之间也有类似的关系吗？
【解析】当阳光垂直照射时，点C在AB上的正投影是D点，连接CD，则CD⊥AB.
(1)在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD·AB.
(2)线段BC，AB和BD之间有类似的关系．
可得△BDC∽△BCA，∴＝，即BC2＝BD·AB.
PAGE29．1 投 影
第2课时
教材认知
1．正投影：投影线__ __于投影面产生的投影．
2．正投影的性质：
位置 平行于投影面 倾斜于投影面 垂直于投影面
线段 形状、大小 形状、大小
物体的面 形状、大小 形状、大小
微点拨
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
基础必会
1．一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( )
A．AB＝CD B．AB≤CD C．AB>CD D．AB≥CD
2．(青海玉树期末)矩形的正投影不可能是( )
A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．线段
3．如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是( )
A．圆 B．圆柱 C．梯形 D．矩形
4．(银川质检)如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是( )
5．(兰州质检)如图所示，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )
6．当线段垂直于投影面时，它的正投影是__ __．
7．(内蒙古包头质检)如图所示，这些图形的正投影分别是__ __．
8．当棱长为10 cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为__ __ __．
9.画出如图所示物体(正三棱柱)的正投影．
(1)投影线由物体前方射到后方；
(2)投影线由物体左方射到右方；
(3)投影线由物体上方射到下方．
10．(宁夏石嘴山期末)如图，正三棱柱的面EFDC平行于投影面P，且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6.
(1)三棱柱在投影平面P上的正投影的图形是______；
A．一条线段 B．矩形 C．平行四边形 D．等腰梯形
(2)求正投影的面积．
能力提升
1．在平面直角坐标系xOy中，位于第一象限内的点A(1，2)在x轴上的正投影为点A′，则cos ∠AOA′＝__ __．
2．(兰州质检)如图，从热气球P上测得两建筑物A，B的底部的俯角分别为45°和30°，如果A，B两建筑物的距离为60 m，P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上，则热气球P的高度是__ __m.(结果保留根号)
3．如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是
__ __．
4．(素养提升)(甘肃白银质检)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在阳光的垂直照射下，点C落在斜边AB上的D点．
(1)试探究线段AC，AB和AD之间的关系，并说明理由．
(2)线段BC，AB和BD之间也有类似的关系吗？
PAGE第二十九章 投影与视图
29．1 投 影
第1课时
教材认知
1．投影的有关概念：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的__ __叫做物体的投影．照射__ __叫做投影线．__ __所在的平面叫做投影面．
2．投影的类型：
(1)平行投影：由__ __线形成的投影．
(2)中心投影：由__ __发出的光线形成的投影．
微点拨
平行投影的特点
1．平行投影中，同一时刻的光线是平行的．
2．平行投影的物高与影长对应成比例．
基础必会
1．(乌鲁木齐质检)下列现象不属于投影的是( )
A．皮影 B．素描画 C．手影 D．树影
2．下列光线所形成的是平行投影的是( )
A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线
3．某一时刻，身高1.6 m的小明在阳光下的影子是0.4 m，同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5 m，则该旗杆的高度为( )
A．1.25 m B．10 m C．20 m D．8 m
4．(新疆吐鲁番期末)两个不同长度的物体在同一时刻同一地点的太阳光下得到的投影是( )
A．相等 B．长的较长 C．短的较长 D．不能确定
5．(兰州期末)广场上一个大型艺术字板块在地上的投影如图所示，则该投影属于__ __．(填写“平行投影”或“中心投影”)
6．(甘肃白银质检)日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于__ __投影．
7．(西宁质检)如图，电线杆的顶上有一盏高为6 m的路灯，电线杆底部为A，身高1.5 m的男孩站在与点A相距6 m的点B处，若男孩以6 m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子BC扫过的面积为__ __m2.
8．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为__ __ __．
9.(甘肃武威期末)如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
(1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
(2)如果小明的身高AB＝1.6 m，他的影子长AC＝1.4 m，且他到路灯的距离AD＝2.1 m，求灯泡的高．
能力提升
1．(青海海东期中)在同一天的四个不同时刻，北半球的某学校旗杆的影子如图所示，按时间先后顺序排列是( )
A．①②③④ B．②③④① C．③④①② D．④③①②
2．如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1).则木杆AB在x轴上的投影长为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
3．(教材拓展题)(呼和浩特质检)如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8 m，身高为1.6 m的小明站在D处的影长为2 m，那么此时小明离AB的距离BD为__ __m.
4．(素养提升)某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度(结果精确到0.1米).
(参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08)
PAGE第二十九章 投影与视图
29．1 投 影
第1课时
教材认知
1．投影的有关概念：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的__影子__叫做物体的投影．照射__光线__叫做投影线．__投影__所在的平面叫做投影面．
2．投影的类型：
(1)平行投影：由__平行__线形成的投影．
(2)中心投影：由__同一点(点光源)__发出的光线形成的投影．
微点拨
平行投影的特点
1．平行投影中，同一时刻的光线是平行的．
2．平行投影的物高与影长对应成比例．
基础必会
1．(乌鲁木齐质检)下列现象不属于投影的是(B)
A．皮影 B．素描画 C．手影 D．树影
2．下列光线所形成的是平行投影的是(A)
A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线
3．某一时刻，身高1.6 m的小明在阳光下的影子是0.4 m，同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5 m，则该旗杆的高度为(C)
A．1.25 m B．10 m C．20 m D．8 m
4．(新疆吐鲁番期末)两个不同长度的物体在同一时刻同一地点的太阳光下得到的投影是(D)
A．相等 B．长的较长 C．短的较长 D．不能确定
5．(兰州期末)广场上一个大型艺术字板块在地上的投影如图所示，则该投影属于__中心投影__．(填写“平行投影”或“中心投影”)
6．(甘肃白银质检)日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于__平行__投影．
7．(西宁质检)如图，电线杆的顶上有一盏高为6 m的路灯，电线杆底部为A，身高1.5 m的男孩站在与点A相距6 m的点B处，若男孩以6 m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子BC扫过的面积为__28π__m2.
8．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为__3__m__．
9.(甘肃武威期末)如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
(1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
(2)如果小明的身高AB＝1.6 m，他的影子长AC＝1.4 m，且他到路灯的距离AD＝2.1 m，求灯泡的高．
【解析】(1)如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
(2)由已知可得，＝，∴＝，
∴OD＝4(m).
∴灯泡的高为4米．
能力提升
1．(青海海东期中)在同一天的四个不同时刻，北半球的某学校旗杆的影子如图所示，按时间先后顺序排列是(B)
A．①②③④ B．②③④① C．③④①② D．④③①②
2．如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1).则木杆AB在x轴上的投影长为(C)
A．3 B．5 C．6 D．7
3．(教材拓展题)(呼和浩特质检)如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8 m，身高为1.6 m的小明站在D处的影长为2 m，那么此时小明离AB的距离BD为__4__m.
4．(素养提升)某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度(结果精确到0.1米).
(参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08)
【解析】如图，作CM∥AB交AD于点M，MN⊥AB于点N.
由题意得＝，即＝，CM＝(米).
在Rt△AMN中，
∵∠ANM＝90°，MN＝BC＝4米，∠AMN＝72°，
∴tan 72°＝，∴AN≈12.32米，
∵MN∥BC，AB∥CM，MN⊥AB，
∴四边形MNBC是矩形，∴BN＝CM＝米，
∴AB＝AN＋BN≈13.8米．
∴旗杆的高度约为13.8米．
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